第12題有點難的抽象函數(shù)問題（原卷版）

第12題有點難的抽象函數(shù)問題一、原題呈現(xiàn)【原題】已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,記,若,均為偶函數(shù),則A. B. C. D.【答案】BC【解析】因為為偶函數(shù),所以,令,得,C正確；由得,所以,兩邊求導(dǎo)得,令得,又均為偶函數(shù),所以,所以,所以,所以,構(gòu)造函數(shù),則,則不成立,不成立,A,D錯誤,故選BC.【就題論題】本題以抽象函數(shù)為載體,考查函數(shù)的性質(zhì),對邏輯思維能力要求較高,對這類問題的考查近幾年有升溫趨勢，涉及奇偶性與周期性的綜合問題，有時可通過構(gòu)造具體的三角函數(shù)輔助求解,該題的模型是.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì),考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難點：難【考情分析】函數(shù)性質(zhì)一直是高考考查的熱點，綜合考查抽象函數(shù)的性質(zhì)是高考中的難點，此類問題常把函數(shù)求值、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性綜合考查，如果還涉及周期性難度更大，常作為壓軸題?！镜梅置丶?.是偶函數(shù);是奇函數(shù).2.若函數(shù)在處有意義，則.3.若滿足對任意實數(shù)a,b都有,則是奇函數(shù);4.若滿足對任意實數(shù)a,b都有，則是奇函數(shù).5.若的定義域，且對任意，都有，則是偶函數(shù).6.若的圖象關(guān)于直線對稱,則或7.若的圖象關(guān)于點對稱,則或8.函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)都有（其中為非零常數(shù)）,①，則是以為周期的周期函數(shù)；②，則是以為周期的周期函數(shù)；③，則是以為周期的周期函數(shù)；④，則是以為周期的周期函數(shù)； ⑤，則是以為周期的周期函數(shù).⑥，則是以為周期的周期函數(shù).⑦，則是以為周期的周期函數(shù)9.若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于直線對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.10.若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.11.若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.12.對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,則T＝2a(a>0)．13.增函數(shù)與減函數(shù)的等價形式：若，且，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).14.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可簡記為“同增異減”.15.若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上也是增函數(shù)；若偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù).16.判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性,一般根據(jù)定義來判斷,即在所給區(qū)間上,然后利用題中條件確定的大小.17.解決周期性、奇偶性與單調(diào)性及圖象的結(jié)合．問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,將涉及到的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi),然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．三、三年新高考同類題展示1.（2022新高考全國2卷）已知函數(shù)的定義域為R,且,則（）A. B. C.0 D.12.（2020新高考山東卷）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.3.（2021新高考全國2卷）已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù),為奇函數(shù),則（）A. B. C. D.四、以例及類 （以下所選試題均來自新高考1卷地區(qū)2022年1月以后模擬試卷）1．（2022屆山東省肥城市高考適應(yīng)性訓(xùn)練）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且則（

）A． B． C． D．2．（2022屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三下學(xué)期二模）函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C． D．3．（2022屆廣東省惠州市六校聯(lián)盟高三下學(xué)期第六次聯(lián)考）定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列選項中一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù)，任意，滿足，且，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．45．（2022屆福建省廈門集美中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷）已知函數(shù)是定義域為R的函數(shù)，，對任意，，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個解，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．（2023屆湖南省邵陽市第二中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．7．（2022屆江蘇省七市高三下學(xué)期第二次調(diào)研）已知是定義域為R的偶函數(shù)，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函數(shù)，則＝(

)A．－3 B．－2 C．2 D．38．（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期考試）已知正實數(shù)C滿足：對于任意，均存在，使得，記C的最小值為，則（

）A． B．C． D．9．（多選）（2023屆福建省龍巖第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．圖象關(guān)于對稱 B．C．的最小正周期為4 D．對任意都有10．（多選）（2023屆山東省青島市高三上學(xué)期期初調(diào)研）已知函數(shù)的定義域為為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．11．（多選）（2023屆湖北省“宜荊荊恩”20222023學(xué)年高三上學(xué)期起點考試）函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，設(shè)，，則以下結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．若的導(dǎo)函數(shù)為，定義域為，則C．的圖象關(guān)于點中心對稱D．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則12．（多選）（2023屆廣東省廣州市高三上學(xué)期8月階段測試）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，對任意的，，恒有，則下列說法正確的有（

）A． B．必為奇函數(shù)C． D．若，則13．（多選）（2023屆江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期期質(zhì)量監(jiān)測）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．的解析式唯一C．若是周期為的函數(shù)，則D．若時，，則是上的增函數(shù)14．（多選）（2023屆江蘇省揚州市寶應(yīng)縣高三上學(xué)期期初檢測）設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時，的取值范圍為C．為奇函數(shù) D．方程僅有5個不同實數(shù)解15．（2023屆福建省上杭第一中學(xué)高三上學(xué)期考試）定義在上的函數(shù)滿足以下兩個性質(zhì)：①，②，滿足①②的一個函數(shù)是______．16．（2022屆山東省東營市勝利第一中學(xué)高三仿真演練試）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則_________．17．（2023屆湖南省邵陽市第二中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）設(shè)，若方程有四個不相等的實根，則的取值范圍為___________.18．（2022屆江蘇高考押題預(yù)測卷02）已知奇函數(shù)在區(qū)間上是