新高考數(shù)學一輪復習考點精講練+易錯題型第13講 對數(shù)函數(shù)（解析版）

對數(shù)函數(shù)【基礎知識網(wǎng)絡圖】對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)對數(shù)運算性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)的概念指對互化運算【基礎知識全通關】知識點01對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)知識點02反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)和指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱．【知識拓展】1.換底公式的兩個重要結論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限.【考點研習一點通】考點01：對數(shù)函數(shù)的概念與圖象【典例1】函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系的圖像只可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當時，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，當時函數(shù)的值為負.無滿足條件的圖像.當時，對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)的值為正.C滿足.故選：C【典例2】在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，D選項符合；當時，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【典例3】在同直角坐標系中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性排除選項，以及根據(jù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象判斷SKIPIF1<0，再利用函數(shù)SKIPIF1<0的對稱性排除選項.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性與SKIPIF1<0的單調(diào)性一致，兩段區(qū)間都是單調(diào)遞增，故排除BC，AD選項中，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱，因為SKIPIF1<0，故排除D.故選：A【總結提升】1.對數(shù)函數(shù)的解析式同時滿足：①對數(shù)符號前面的系數(shù)是1；②對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實數(shù)(常數(shù))；③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.2.(1)不管a>1還是0<a<1，底大圖低；(2)在第一象限內(nèi)，依圖象的分布，逆時針方向a逐漸變小，即a的值越小，圖象越靠近y軸．3.熟記函數(shù)圖象的分布規(guī)律，就能在解答有關對數(shù)圖象的選擇、填空題時，靈活運用圖象，數(shù)形結合解決．4．對數(shù)值logax的符號(x>0，a>0且a≠1)規(guī)律：“同正異負”．(1)當0<x<1,0<a<1或x>1，a>1時，logax>0，即當真數(shù)x和底數(shù)a同大于(或小于)1時，對數(shù)logax>0，即對數(shù)值為正數(shù)，簡稱為“同正”；(2)當0<x<1，a>1或x>1,0<a<1時，logax<0，即當真數(shù)x和底數(shù)a中一個大于1，而另一個小于1時，也就是說真數(shù)x和底數(shù)a的取值范圍“相異”時，對數(shù)logax<0，即對數(shù)值為負數(shù)，簡稱為“異負”．因此對數(shù)的符號簡稱為“同正異負”．5．指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的討論，常常要轉化為相應指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題．考點02：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用【典例4】設SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)運算與對數(shù)運算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0即可判斷SKIPIF1<0，進而得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：A【典例5】若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則為增函數(shù)，因為所以，所以，所以.，當時，，此時，有當時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：B.考點03：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用【典例6】若函數(shù)則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出函數(shù)的圖像如下圖所示，由圖可知，函數(shù)的值域為，故選A.【典例7】滿足，且在單調(diào)遞減，若，，，則，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】為偶函數(shù).，，.在單調(diào)遞減，，即.故選：.【典例8】【多選題】若實數(shù)SKIPIF1<0，則下列不等式中一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】構造函數(shù)SKIPIF1<0，利用導數(shù)可得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由SKIPIF1<0可推得A正確，由SKIPIF1<0可推得B正確，當SKIPIF1<0時，作差比較可知C錯：作差，利用換底公式變形，再根據(jù)基本不等式判斷符號，可得D正確.【詳解】對A，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；對B，由A知，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確：對C選項，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C錯：對D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD【典例9】函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】由題意可知，解得．【典例10】已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增區(qū)間為__________；若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)，則a的取值范圍為__________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)定義域得到單調(diào)增區(qū)間；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得答案.【詳解】SKIPIF1<0，函數(shù)的定義域滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，定義域滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，無解．故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【易錯提醒】解答對數(shù)函數(shù)型問題，易忽視函數(shù)的定義域而導致錯誤.【考點易錯】1.已知，若正實數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】因為與都是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，又因為所以等價于，由，知,當時，在上單調(diào)遞減，故，從而；當時，在上單調(diào)遞增，故，從而，綜上所述，的取值范圍是或，故選C.2．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先求出SKIPIF1<0的定義域，然后求出SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0故選：D【點睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域.3.已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關于對稱，若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，的圖象關于對稱，則函數(shù)的圖象關于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，解得：，即a的取值范圍為；故選：C．4.如圖為函數(shù)SKIPIF1<0）的部分圖象，已知SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知條件推出SKIPIF1<0為偶函數(shù)，然后由SKIPIF1<0的部分圖象得到SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，從而將SKIPIF1<0轉化為SKIPIF1<0即可得解．【詳解】由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為偶函數(shù)．由SKIPIF1<0的部分圖象知SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則不等式SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【總結提升】1.解對數(shù)不等式的類型及方法（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．（2）形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式．2.應用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)值域和復合函數(shù)的單調(diào)性等問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的．另外，解題時要注意數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸思想的使用．【鞏固提升】1．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項，再由SKIPIF1<0時的單調(diào)性排除一個選項，得正確選項．【詳解】易知SKIPIF1<0是非奇非偶函數(shù)，所以排除選項A，C；當x>0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞増?所以排除選項B.故選：D．2．已知函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的解析式，根據(jù)函數(shù)的特殊點和正負判斷即可.【詳解】因為函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當x＝0時，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的圖象過點(0，3)，排除A；當x＝－2時，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的圖象過點(－2，－1)，排除B；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，排除C，故選：D．3．如圖，直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖象分別交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得SKIPIF1<0點的橫坐標SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點的縱坐標和中點坐標公式列方程SKIPIF1<0，解方程即可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是等邊三角形，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)中點坐標公式可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C4.設函數(shù)SKIPIF1<0，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，關于坐標原點對稱，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，排除B；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.5.設是定義域為R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定義域為的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即.故選C．6．已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關系正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結合基本不等式、比較法進行判斷即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<07．【多選題】若正實數(shù)a，b滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，下列不等式恒成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】由已知不等式，求出SKIPIF1<0之間的關系，結合選項一一判斷即可．【詳解】由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，對于選項A，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，選項A錯誤；對于選項B，比如當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0故SKIPIF1<0不成立，選項B錯誤；對于C，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，選項C正確；對于選項D，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選項D正確，故選：CD．8．已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得函數(shù)的周期為2，然后利用周期和SKIPIF1<0對SKIPIF1<0化簡可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而可求得結果【詳解】解：由題意，函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0是以2為周期的周期函數(shù)，又由SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．9．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分段討論即可求解.【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.10．求函數(shù)y=SKIPIF1<0(-x2+2x+3)的值域和單調(diào)區(qū)間.【解析】設t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4.∵y=SKIPIF1<0t為減函數(shù)，且0<t≤4，∴y≥SKIPIF1<0=-2，即函數(shù)的值域為[-2，+∞SKIPIF1<0.再由：函數(shù)y=SKIPIF1<0(-x2+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2