新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講練+易錯題型第06講 函數(shù)的概念與運算（解析版）

第06講函數(shù)的概念與運算【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．3．函數(shù)的表示方法(1)用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做解析法．(2)用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖象法．(3)列出表格表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法．4．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域．(2)兩個函數(shù)相等：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等．5．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．【知識拓展】1．復(fù)合函數(shù)：一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．2．抽象函數(shù)的定義域的求法：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．【考點研習(xí)一點通】考點01：映射的概念1．以下對應(yīng)中，從集合A到集合B的映射有；其中是函數(shù)。（1） （2）（3）（4）【解析】（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函數(shù)?！军c評】1.判斷是否映射的方法：先看集合A中的每個元素是否在集合B中都有象；再看集合A中的每個元素的象是否唯一；2.函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的特殊映射，函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù).【變式1】設(shè)集合A=R，集合B=R＋，則從集合A到集合B的映射只可能是（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0【答案】C；【解析】A、B、D中元素SKIPIF1<0沒有象。2.已知SKIPIF1<0在映射SKIPIF1<0的作用下的像是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0作用下的像和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0作用下的原像?！窘馕觥縎KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0作用下的像是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0作用下的原像是SKIPIF1<0.【點評】弄清題意，明白已知是什么，求的又是什么是本題的關(guān)鍵.【變式2】在映射SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則與A中的元素SKIPIF1<0對應(yīng)的B中的元素為（ ）A、SKIPIF1<0 B、SKIPIF1<0 C、SKIPIF1<0 D、SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0考點02：函數(shù)的概念3．下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是。（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0?！窘馕觥勘硎就缓瘮?shù)的是（1）、（3）。其中第（2）組的定義域不同，第（4）組的對應(yīng)法則不同。【點評】對應(yīng)法則相同與函數(shù)的解析式相同是不一樣的。對應(yīng)法則是函數(shù)的核心，如（1）、（3）的對應(yīng)法則是相同的?！咀兪?】下面各組函數(shù)中為相同函數(shù)的是（）A、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C；【解析】A中兩函數(shù)的定義域不同，SKIPIF1<0的定義域不含SKIPIF1<0；B中兩函數(shù)的定義域也不同，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的定義域為R；D中的對應(yīng)法則不同。4．已知SKIPIF1<0是一次函數(shù)，且滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0【解析】由題可設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0【點評】換元法是常用的求解析式法，注意新元的范圍，最后要給出函數(shù)的定義域；也可以用配湊的方法；除以之外，若已知函數(shù)類型，還可以利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式?！咀兪健恳阎瘮?shù)SKIPIF1<0分別由下表給出：則滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的值是.【答案】2；【解析】∵SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0中SKIPIF1<0.考點03：分段函數(shù)5．已知函數(shù)SKIPIF1<0，求：（1）SKIPIF1<0的值；（2）SKIPIF1<0的定義域、值域?！窘馕觥浚?）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；綜上可得SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0。【點評】分段函數(shù)分段討論，先局部后整體；結(jié)果應(yīng)當(dāng)要并?！咀兪?】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】：SKIPIF1<0?！窘馕觥縎KIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【考點易錯】易錯01函數(shù)的概念1.【多選題】（2021·浙江高一期末）在下列四組函數(shù)中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不表示同一函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】根據(jù)同一函數(shù)的要求，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則應(yīng)相同，對四個選項中的兩個函數(shù)分別進行判斷，得到答案.【詳解】A選項，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以二者不是同一函數(shù)，故A符合題意；B選項，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域相同，對應(yīng)法則也相同，所以二者是同一函數(shù)，故B不符合題意；C選項，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以二者不是同一函數(shù)，故C符合題意；D選項，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以二者不是同一函數(shù)，故D符合題意；故選：ACD.【規(guī)律方法】函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對應(yīng)關(guān)系是否分別相同．【變式探究1】（2021·浙江高一期末）下列函數(shù)中，與函數(shù)SKIPIF1<0是相等函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依次判斷各個選項的解析式和定義域是否和SKIPIF1<0相同，二者皆相同即為同一函數(shù)，由此得到結(jié)果.【詳解】SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0；對于A，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯誤；對于B，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域相同，解析式相同，是同一函數(shù)，B正確；對于C，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯誤；對于D，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0解析式不同，不是同一函數(shù)，D錯誤.故選：B.【易混辨析】1.判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)，注意把握兩點，一看定義域是否相等，二看對應(yīng)法則是否相同．2.從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個交點.易錯點02：求函數(shù)的解析式2.（2021·全國高一課時練習(xí)）已知fSKIPIF1<0=x2+SKIPIF1<0，則函數(shù)f(x)=_______，f（3）=_______．【答案】SKIPIF1<011【解析】利用換元法可求出SKIPIF1<0，進一步可得SKIPIF1<0.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.3.（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖所示，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函數(shù)SKIPIF1<0的解析式．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)圖象分段求出解析式，再寫成分段的形式即可得解.【詳解】設(shè)線段SKIPIF1<0所對應(yīng)的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，線段SKIPIF1<0所對應(yīng)的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式．2.已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示．3.已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法．4.若與或滿足某個等式，可構(gòu)造另一個等式，通過解方程組求解．5.應(yīng)用題求解析式可用待定系數(shù)法求解．易錯點03：分段函數(shù)及其應(yīng)用5.（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三月考（理））如圖，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0從點SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0向，以每SKIPIF1<0個單位的速度在正方形SKIPIF1<0的邊上運動；點SKIPIF1<0從點SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0方向，以每秒SKIPIF1<0個單位的速度在正方形SKIPIF1<0的邊上運動.點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0同時出發(fā)，運動時間為SKIPIF1<0(單位：秒)，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0(規(guī)定SKIPIF1<0共線時其面積為零，則點SKIPIF1<0第一次到達點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，分別求出當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對應(yīng)的函數(shù)解析式，進而得答案.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0所以根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可得在區(qū)間上的函數(shù)圖像為選項A.故選:A.【鞏固提升】1.[2021江西模擬]已知函數(shù)f(x)的圖象如圖2-1-1所示,則函數(shù)f(x)的解析式可能是 ()圖2-1-1A.f(x)=(4x+4-x)|x|B.f(x)=(4x-4-x)log4|x|C.f(x)=(4x+4-x)log1D.f(x)=(4x+4-x)log4|x|【答案】D【解析】對于A,f(x)大于等于0恒成立,與圖象不符,排除;對于B,當(dāng)x<-1時,f(x)<0,與圖象不符,排除;對于C,當(dāng)x>1時,f(x)<0,與圖象不符,排除.選D.2.下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是 ()A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=1【答案】D【解析】解法一函數(shù)y=10lgx的定義域為(0,+∞),當(dāng)x>0時,y=10lgx=x,故函數(shù)的值域為(0,+∞).只有選項D符合.解法二易知函數(shù)y=10lgx中x>0,排除選項A,C;因為10lgx必為正值,所以排除選項B.選D.3.[2021貴陽市摸底測試]已知函數(shù)f(x)=sinπxA.12 B.-1C.32 D.-【答案】【解析】D∵f(x)=sinπ6x,x≤0,log4.[多選題]下列說法中正確的是()A.f(x)=1x-4B.已知f(x)=m(x∈R),則f(m3)=mC.y=lnx2與y=2lnx表示同一函數(shù)D.f(x)=x2+1【答案】BD【解析】對于A,定義域是空集,不滿足函數(shù)的概念,故A錯誤;對于B,f(x)是常數(shù)函數(shù),所以f(m3)=m,故B正確;對于C,兩個函數(shù)的定義域不同,故不是同一函數(shù),C錯誤;對于D,結(jié)合分段函數(shù)可知D正確.故選BD.5.函數(shù)f(x)=1x+1+lnx的定義域是.【答案】(0,+∞)【解析】函數(shù)f(x)=1x+1+lnx的自變量滿足x+1≠0,x>0,6.若函數(shù)f(x)=-x+6,x≤2,3+logax【答案】(1,2]【解析】因為f(x)=-x+6,x≤2,3+logax,x>2,7.已知函數(shù)f(x)=1x(x<0),x【答案】(1)1x【解析】當(dāng)x<0時,f(x)=1x,則g(f(x))=1x+1;當(dāng)x≥0時,f(x)=x2,則g(f(x))=x∴g(f(x))=1【答案】(2)1x+1【解析】令g(x)=x+1<0,得x<-1,則此時f(g(x))=1x+1.令g(x)=x+1≥0,得x≥-1,則此時f(g(x))=(x+1)2.∴f(g(x))=8.(1)已知函數(shù)f(x)=lg(2a·x-1)的定義域是(2,+∞),則實數(shù)a的取值集合是.

(2)已知函數(shù)f(x)=12(x-1)2+1的定義域與值域都是[1,b](b>1),則實數(shù)b的值為.【答案】(1){-1}【解析】由題意得,不等式2a·x-1>0的解集為(2,+∞),由2a·x-1>0可得x>12a,∴12【答案】(2)3【解析】f(x)=12(x-1)2+1,x∈[1,b]且b>1,f(1)=1,f(b)=12(b-1)2+1,函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,且f(x)在[1,b]上單調(diào)遞增.∴函數(shù)的值域為[1,12(b-1)2+1].由已知得19.(1)已知函數(shù)f(x)=2x+1,x<1,x(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,(3)[2016北京,5分]設(shè)函數(shù)f(x)=x①若a=0,則f(x)的最大值為;

②若f(x)無最大值,則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】(1)54【解析】依題意知f(-2)=2-2+1=54.因為f(0)=20+1=2,所以f(f(0))=f(2)=22【答案】(2)(-14,+∞【解析】當(dāng)x≤0時,f(x)+f(x-12)=x+1+x-12+1=2x+32>