第十九章 幾何證明 知識(shí)歸納與題型突破（21類題型清單）（解析版）-A4

第頁第十九章幾何證明知識(shí)歸納與題型突破（21類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記0303題型歸納題型一命題1．下列命題中，是真命題的是（

）A．對(duì)頂角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】本題主要考查了真假命題的判斷、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角、平方根以及不等式性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角的定義以及平方根的運(yùn)算法則、不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A．“對(duì)頂角相等”，這個(gè)命題是真命題，故符合題意；B．“內(nèi)錯(cuò)角相等”，這個(gè)命題是假命題，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等才是真命題，故不合題意；C．“若，則”，這個(gè)命題是假命題，“若，則”是真命題，故不符合題意：D．“若，則”，這個(gè)命題是假命題，“若，則”才是真命題，故不合題意．故選：A．2．下列選項(xiàng)中，可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了舉反例判斷命題，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)要證明一個(gè)命題結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個(gè)命題是假命題，可以舉反例．【詳解】A．當(dāng)時(shí)，滿足條件，不滿足結(jié)論，故該選項(xiàng)可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；B．當(dāng)時(shí)，不滿足條件，故該選項(xiàng)不可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；C．當(dāng)時(shí)，不滿足條件，故該選項(xiàng)不可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；D．當(dāng)時(shí)，滿足滿足條件，滿足結(jié)論，故該選項(xiàng)不可以用來證明命題“若，則”的逆命題是假命題的反例；故選：A．3．下列命題是真命題的有（）A．若，則B．若a，b是有理數(shù)，則C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行D．如果，那么與是對(duì)頂角【答案】C【分析】本題考查命題的真假判斷，熟練掌握課本中的性質(zhì)定理是判斷真假命題的關(guān)鍵，根據(jù)正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題是假命題來逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：A、若，則，是假命題，也有可能；B、若a，b是有理數(shù)，則，是假命題，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；C、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，是真命題；D、如果，那么與是對(duì)頂角，是假命題，相等的角不一定是對(duì)頂角；故選：C．鞏固訓(xùn)練1．如圖，銳角三角形中，，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．由，可得，再分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，若，又，，∴，∴，則原命題是真命題，故選項(xiàng)A不符合題意；若，∴，又，，∴，∴，則原命題是真命題，故選項(xiàng)B不符合題意；若，又，，不能證明與全等，則與不一定相等，則原命題是假命題，故選項(xiàng)C符合題意；若，又，，∴，∴，∵，∴，則原命題是真命題，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．2．下列四個(gè)命題其中正確的有（填序號(hào)）．①全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；②，，，則；③，，，則和全等；④如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．【答案】①④/④①【分析】本題主要考查了判斷命題真假，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；根據(jù)全等三角形的判定定理即可判斷②③；先證明，得到，再證明即可判斷④．【詳解】解：①全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，原命題是真命題；②，，，不可以利用證明，原命題是假命題；③，，，則和不全等，原命題是假命題；④如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等，原命題是真命題．如圖所示，和中，，分別是對(duì)應(yīng)三角形的中線，∴，∴，∴．故答案為：①④．3．寫出下列命題的條件和結(jié)論．(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；(3)等角的補(bǔ)角相等．【答案】(1)條件：兩條直線相交；結(jié)論：它們只有一個(gè)交點(diǎn)(2)條件：兩條平行線被第三條直線所截；結(jié)論：內(nèi)錯(cuò)角相等(3)條件：兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等【分析】本題考查了命題的組成，明確命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成是解答本題的關(guān)鍵．（1）條件：兩條直線相交；結(jié)論：它們只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）這個(gè)命題可以改成：如果兩條平行線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等．故這個(gè)命題的條件：兩條平行線被第三條直線所截；結(jié)論：內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）這個(gè)命題可以改成：如果兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等，故這個(gè)命題的條件：兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，條件：兩條直線相交；結(jié)論：它們只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）解：根據(jù)題意，條件：兩條平行線被第三條直線所截；結(jié)論：內(nèi)錯(cuò)角相等（3）解：根據(jù)題意，條件：兩個(gè)角是等角的補(bǔ)角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等．題型二證明4．，，，，五名學(xué)生猜測(cè)自己能否進(jìn)入市中國象棋前三強(qiáng)．說：“如果我進(jìn)入，那么也進(jìn)入．”說：“如果我進(jìn)入，那么也進(jìn)入．”說：“如果我進(jìn)入，那么也進(jìn)入．”說：“如果我進(jìn)入，那么也進(jìn)入，”大家都沒有說錯(cuò)，則進(jìn)入前三強(qiáng)的三個(gè)人是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】此題考查了推理與論證，若，進(jìn)入了前三強(qiáng)，那么、、、也均能進(jìn)入，由于前三強(qiáng)只有三個(gè)人，顯然這是不合理的；因此只有當(dāng)進(jìn)行前三強(qiáng)，那么、也進(jìn)入，這樣才符合題意．【詳解】若進(jìn)入前三強(qiáng)，那么進(jìn)入前三強(qiáng)的有、、、、共5人，顯然不合題意，同理，當(dāng)進(jìn)入前三強(qiáng)時(shí)，也不合題意，所以應(yīng)從開始進(jìn)入前三強(qiáng)．即進(jìn)入前三強(qiáng)的是，，．故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(

)A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】求出∠ADC=∠BDF，∠DBF=∠DAC，AD=BD，根據(jù)ASA推出△ADC≌△BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出AC=BF即可．【詳解】∵AD、BE是高，∴∠ADC=∠BDF=90°，∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC，∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AC=5，∴BF=5，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ADC≌△BDF，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．6．如圖，直線、與直線相交，給出下列條件：①；②；③；④．能判斷a∥b的是（

）．A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③【答案】B【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【詳解】：①∵∠1=∠2，∴a∥b，故此選項(xiàng)正確；②∠3=∠5無法得出a∥b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③∵∠4+∠7=180°，∴a∥b，故此選項(xiàng)正確；④∵∠5+∠3=180°，∴∠2+∠5=180°，∴a∥b，故此選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的有①③④．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定，正確把握平行線的幾種判定方法是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．利用反證法證明命題“在ΔABC中，若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，據(jù)此進(jìn)行解答．【詳解】解：用反證法證明命題“在ΔABC中，若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)若，則，故選．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．2．如圖所示，如果BD平分∠ABC，補(bǔ)上一個(gè)條件作為已知，就能推出AB∥CD．【答案】∠2=∠3【分析】由角平分線，可得∠1=∠2，可添加∠2=∠3，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，判定兩直線平行．【詳解】解：可添加∠2=∠3；∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，若∠2=∠3，∴可得∠1=∠3，∴AB∥CD．故答案為∠2=∠3【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，平行線的判定方法有：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，熟練掌握平行線的判定是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：；；．（1）請(qǐng)以其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論組成命題，你能組成哪幾個(gè)命題？（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請(qǐng)你選擇一個(gè)真命題加以證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）分別以其中兩個(gè)作為條件，第三個(gè)作為結(jié)論依次交換寫出即可；（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)對(duì)（1）題的3個(gè)命題進(jìn)行證明即可判斷其真假．【詳解】解：（1）由，，得到；由，，得到；由，，得到；故能組成3個(gè)命題．（2）由，，得到，是真命題．理由如下：，．，∴，，．由，，得到，是真命題．理由如下：，．，，．由，，得到，是真命題．理由如下：∵，，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)和平行線的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三逆命題和逆定理7．下列各命題的逆命題成立的是（

）A．對(duì)頂角相等B．如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等C．兩直線平行，同位角相等D．如果兩個(gè)角都是，那么這兩個(gè)角相等【答案】C【分析】本題考查了逆命題以及判斷命題的真假，寫出各命題的逆命題即可判斷.【詳解】解：對(duì)頂角相等的逆命題為：相等的角是對(duì)頂角，為假命題，故A不符合題意；如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等的逆命題為：絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等．因?yàn)榻^對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，故逆命題為假命題，故B不符合題意；兩直線平行，同位角相等的逆命題為：同位角相等，兩直線平行，為真命題，故C符合題意；如果兩個(gè)角都是，那么這兩個(gè)角相等的逆命題為：如果兩個(gè)角相等，那么它們都為，為假命題，故D不符合題意；故選：C8．?dāng)?shù)學(xué)中有一些命題的特征是：原命題是真命題，但它的逆命題卻是假命題．例如：如果，那么．下列命題中，具有以上特征的命題是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．如果，那么C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．如果，那么【答案】C【分析】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的寫出一個(gè)命題的逆命題，難度不大．分別判斷原命題和其逆命題的真假后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、原命題正確，逆命題為同位角相等，兩直線平行，正確，為真命題，不符合題意；B、原命題錯(cuò)誤，是假命題；逆命題為如果，那么，正確，是真命題，不符合題意；C、原命題正確，是真命題；逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，錯(cuò)誤，是假命題，符合題意；D、當(dāng)時(shí)原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．故選：C．9．已知下列命題：①對(duì)頂角相等；②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余；④三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查了原命題與逆命題、真命題與假命題、對(duì)頂角相等、平行線的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)．先根據(jù)相關(guān)知識(shí)判斷四個(gè)命題的真假，再寫出逆命題并判斷真假即可求解．【詳解】解：①“對(duì)頂角相等”是真命題，逆命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，不合題意；②“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是真命題，逆命題“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是真命題，符合題意；③“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”是真命題，逆命題“兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形”是真命題，符合題意；④“三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是真命題，逆命題“兩個(gè)全等三角形的三條對(duì)應(yīng)邊分別相等”是真命題，符合題意．故選：B鞏固訓(xùn)練1．已知下列命題：①若，則；②若，則；③三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)所學(xué)知識(shí)，逐一判斷解答即可．本題考查了命題，逆命題，真命題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①“若，則”是真命題；其逆命題“若，則”也是真命題；②“若，則”是真命題，其逆命題“若，則”是假命題，∵當(dāng)時(shí)，不成立；③三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分是真命題，其逆命題“若一條直線把三角形分成面積相等的兩部分，則這條直線是三角形的中線”是假命題，∵直線不是中線；④“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”是真命題，是判定定理，其逆命題“若兩直線平行，則內(nèi)錯(cuò)角相等”也是真命題，是平行線的性質(zhì)定理；綜上所述，原命題與逆命題均為真命題的只有①④，2個(gè).故選：B.2．下列命題中，其逆命題成立的是（填序號(hào)）①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）且滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形．③如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；【答案】①②/②①【分析】本題考查的是逆命題的概念以及命題的真假判斷，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．根據(jù)逆命題的概念得出原命題的逆命題，判斷即可．【詳解】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題；②如果三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）且滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形的逆命題是如果這個(gè)三角形是直角三角形，那么三角形的三邊長a，b，c（c為最長邊）滿足，是真命題；③如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角，是假命題；④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，是假命題；故答案為：①②．3．寫出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題．（1）若，則．（2）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等．（3）若，則．【答案】（1）逆命題為：若，則，假命題；（2）逆命題為：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，真命題；（3）逆命題為：若，則，真命題．【分析】分析命題的條件與結(jié)論，然后交換條件與結(jié)論即可寫出逆命題，最后進(jìn)行判斷真假即可．【詳解】解：（1）逆命題為：若，則；它是假命題；如，；（2）逆命題為：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；它是真命題；（3）逆命題為：若，則；它是真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了逆命題、真假命題，解題的關(guān)鍵熟練掌握命題和逆命題之間的關(guān)系．題型四線段垂直平分線的性質(zhì)10．如圖，四邊形中，垂直平分，垂足為E，下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．平分【答案】C【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形底邊上三線合一及三角形全等的判定，根據(jù)垂直平分線得到，，，根據(jù)可證，根據(jù)三線合一可得平分，即可得出結(jié)論．【詳解】解∶∵垂直平分，∴，，，∴平分，∵，，，∴，由條件無法得,∴選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C．11．如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，將分成兩個(gè)角，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出關(guān)于的方程，解出即可得出答案．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，∵是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，在中，，解得：，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形的外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．12．如圖，邊，的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，M，N在邊上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得，即可求解．【詳解】解：∵、分別垂直平分、，∴，，∴，，又∵，，∴，∴．故選：A．鞏固訓(xùn)練1．A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首佑螒?，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘模?/p>

）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：要使游戲公平，那么凳子到三個(gè)人額距離相等才行，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，故凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘娜叴怪逼椒志€的交點(diǎn)，故選：B．2．如圖，在中，，，，AB的垂直平分線分別交AB，于點(diǎn)、，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)、，則的周長為．【答案】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴的周長，故答案為：．3．如圖，在中，l是的垂直平分線，交于點(diǎn)D，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（）由等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求解；本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：在中，，，，；（2）解：是的垂直平分線，，，是的外角，，．題型五線段垂直平分線的判定13．如圖，在中，已知點(diǎn)在上，且，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)是的中點(diǎn) B．平分C．點(diǎn)在的垂直平分線上 D．點(diǎn)在的垂直平分線上【答案】C【分析】此題考查線段垂直平分線的判定：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，根據(jù)題意得到，判定點(diǎn)在的垂直平分線上，由此判斷．【詳解】解：∵，，∴，∴點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，故選C．14．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中，，小明在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，連結(jié)了AC，BD，并設(shè)交點(diǎn)為O，得到了如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出是的垂直平分線，可判斷A，B；再根據(jù)“邊邊邊”證明C；能否確定三者之間的關(guān)系判斷D．【詳解】∵，∴是的垂直平分線，∴，所以A，B正確；∵，∴，所以C正確；不能確定之間的關(guān)系，所以D不正確．故選：D．15．如圖，點(diǎn)在直線外，請(qǐng)閱讀以下作圖步驟：①以點(diǎn)為圓心，以大于點(diǎn)到直線的距離的長為半徑作弧，交于點(diǎn)和點(diǎn)；②分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的同一長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，如圖所示；③作射線，連接，，，，根據(jù)以上作圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：，，再根據(jù)等邊對(duì)等角和線段垂直平分線的逆定理可得結(jié)論．本題考查作圖基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用基本作圖解決問題．【詳解】解：由①知：，，由②知：，是的垂直平分線，；故選：D．鞏固訓(xùn)練1．如圖，將長方形紙片沿折疊后點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則下列關(guān)于線段與的關(guān)系描述正確的是（

）

A． B．和相互垂直平分C．且 D．且平分【答案】D【分析】只要證明是線段的垂直平分線即可解決問題．【詳解】解：是由翻折得到，，，，平分，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、線段的垂直平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的判定，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．2．風(fēng)箏又稱“紙鳶”、“風(fēng)鳶”、“紙鷂”等，起源于中國東周春秋時(shí)期，距今已有多年的歷史，如圖是一款風(fēng)箏骨架的簡化圖，已知，，，，制作這個(gè)風(fēng)箏需要的布料至少為．【答案】【分析】本題考查線段垂直平分線的判定，熟練掌握線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．利用線段垂直平分線的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解．【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，故答案為：2700．3．如圖，在中，邊，的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E．

(1)若，，則；(2)若，求的度數(shù)；(3)設(shè)直線，交于點(diǎn)O，判斷點(diǎn)O是否在的垂直平分線上．【答案】(1)11(2)(3)點(diǎn)O在的垂直平分線上，理由見解析【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角等等：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，則；（2）先由三角形內(nèi)角和定理得到，再由等邊對(duì)等角得到，，則，據(jù)此可得；（3）如圖，連接，，，由線段垂直平分線的性質(zhì)證明，即可證明點(diǎn)O在的垂直平分線上．【詳解】（1）解：∵邊，的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E，∴，．∵，，∴，故答案為：11；（2）解：∵，∴．∵，，∴，，∴，∴，∴的度數(shù)為20°；（3）解：點(diǎn)O在的垂直平分線上．理由：如圖，連接，，，

∵是的垂直平分線，是的垂直平分線，∴，，∴，∴點(diǎn)O在的垂直平分線上．題型六作垂線16．如圖，在中，，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的周長是（

）A．13 B．11 C．8 D．6.5【答案】C【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)．由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可得出答案．【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，所作直線為線段的垂直平分線，，，，，的周長為．故選：C．17．如圖，在中，分別以A，B為圓心，大于線段長度一半的長為半徑作弧，相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)，交于點(diǎn)P．若，的周長為10，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由作圖可知垂直平分，則有，然后問題可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∵，的周長為10，∴，即，∴；故選：B．18．如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，作直線，交于點(diǎn)，連接．若，，則的周長為（）A．12 B．14 C．19 D．26【答案】C【分析】本題考查作圖，線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)．由題意可得垂直且平分，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，求解即可．【詳解】解：由作圖痕跡可得，垂直且平分，，，故選：C．鞏固訓(xùn)練1．如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線交于點(diǎn)D，連接若，，則的周長為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】A【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．證明，推出的周長，可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，，的周長．故選：A．2．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線，分別交邊于點(diǎn)D和E，連接．若，，則的長為．【答案】4【分析】本題考查了基本作圖作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接．由作圖知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：4．3．已知：線段，，利用直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡，不寫作法．(1)求作：線段的垂直平分線．(2)求作：，使，．【答案】(1)如圖，直線l即為所求；(2)如圖，即為所求．【分析】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握基本作圖是解題關(guān)鍵．（1）作線段垂直平分線即可；（2）先作，再取即可．利用已知角和線段，首先作一角等于已知角，進(jìn)而得出符合題意的答案即可．【詳解】（1）如圖，由線段垂直平分線作法得：直線為所求直線，（2）先作，再取即可．如圖：為所求．題型七角平分線的判定與性質(zhì)19．如圖，在中，，，為角平分線的交點(diǎn)，若的面積為20，則的面積為是（

）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作于，于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，則根據(jù)三角形面積公式得到，然后利用比例性質(zhì)計(jì)算．【詳解】解：過點(diǎn)作于，于，如圖，為角平分線的交點(diǎn)，，，．故選：B．20．如圖，在中，，，點(diǎn)E在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)D，連接，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平線的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，過點(diǎn)分別作，，，可證到，得到平分，再利用三角形外角性質(zhì)即可求解，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)分別作，，，垂足分別是點(diǎn)，

∵平分，，，∴，同理可得，，∴，∵，，∴平分，∵，，∴，∴．故選：．21．如圖，在中，，，M為邊上的點(diǎn)，連接，如果將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)到的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、三角形面積公式，作于，于，由折疊的性質(zhì)可得：，，再由角平分線的性質(zhì)定理可得，再結(jié)合面積公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖：作于，于，，∵在中，，∴由折疊的性質(zhì)可得：，，∵，，∴，∵將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：A．鞏固訓(xùn)練1．如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)．已知，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，即可得解．解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，∵，，，∴，∴，∴的面積為．故選：B．2．如圖，是的角平分線，，，，的面積為14，則．【答案】6【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作上于點(diǎn)，得到，再根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算．【詳解】解：過點(diǎn)作上于點(diǎn)是的角平分線，，∵，∴，∴，故答案為：6．3．如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)D．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并標(biāo)明字母）(2)若，，求的長及的面積．【答案】(1)見解析(2)，【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)：（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法，作圖即可；（2）過點(diǎn)作，由角平分線的性質(zhì)得到，等積法求出的長，三角形的面積公式求出的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：過點(diǎn)作，∵平分，，∴，∵，∴，即：，解得：，∴．題型八作角平分線22．如圖，在中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使，分別以，為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．若，，則的面積為（

）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】本題考查作圖基本作圖、角平分線的性質(zhì)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得，為的平分線，即可得，利用三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得，為的平分線，，，的面積為．故選：B．23．如圖，中，，利用尺規(guī)在上分別截取，使，分別以為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．在上找一點(diǎn)，使得，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，，再利用角平分線的定義求出即可．【詳解】解：，，，，，由題意得，平分，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查作圖作角平分線，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．24．如圖，在中，，以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N、再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫?。畠苫〗挥邳c(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D．若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．利用基本作圖得平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得點(diǎn)到的距離為，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．【詳解】解：由作法得平分，，點(diǎn)到和的距離相等，即點(diǎn)到的距離為，的面積．故選：A鞏固訓(xùn)練1．如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，小于長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)E、F；②分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③作射線，交邊于點(diǎn)D．則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了作角平分線，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．由作圖方法可得是的角平分線，進(jìn)而根據(jù)，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵是的角平分線，，∴，∵，∴，故選：C．2．如圖，在中，，，以點(diǎn)A為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接并延長，交于點(diǎn)D，則°．【答案】【分析】本題主要考查角平分線的尺規(guī)作圖及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得平分，則有，然后問題可求解．【詳解】解：由題意得：平分，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：65．3．如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．（尺規(guī)作圖）【答案】見解析【分析】本題主要考查了角平分線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，據(jù)此作直線m和直線n所夾銳角的的角平分線，作的垂直平分線，二者的交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：作直線m和直線n所夾銳角的的角平分線，作的垂直平分線，二者的交點(diǎn)即為所求．題型九直角三角形全等的判定與綜合25．如圖，在中，于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，由題意證得即可求解．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴，∴∴，故選：B．26．如圖，AD是的角平分線，于點(diǎn)，點(diǎn)E，G分別在AB，AC上，且，若，，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到的面積的面積，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作于H，∵是的角平分線，，，∴，在和中，，∴，∴的面積的面積，設(shè)的面積的面積，同理可證，，∴的面積的面積，∴，解得，，故選：A．27．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，若的面積為10，的面積為6，則的面積為（

）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作，角平分性質(zhì)的得到，證明，進(jìn)而得到，進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，∵平分交于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，∴；故選A．鞏固訓(xùn)練1．中，，AD是邊上的高，，點(diǎn)在上，交AD于點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．根據(jù)，，證明，求出，即可．【詳解】解：∵AD是邊上的高，∴，在和，，∴，∴，∴．故選：B．2．如圖，點(diǎn)在上，，，．若．則．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明，可得，即可求解．【詳解】解：，在與中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．3．如圖，在中，F(xiàn)是上的一點(diǎn)，，的延長線于點(diǎn)E，．(1)求證：．(2)判斷、、這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)已知條件用證兩個(gè)直角三角形全等即可；（2）由（1）中的結(jié)論可得，再結(jié)合已知條件即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，的延長線于點(diǎn)E，∴和是直角三角形，在和中，，∴，即；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，，∴．題型十含30度角的直角三角形28．如圖，在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作垂直交于點(diǎn)E，，則的長度為（

）A．7 B．9 C．8 D．10【答案】C【分析】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，理解在直角三角形中，的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．連接，先求出，，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，，由此得，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得，然后求出，再利用直角三角形的性質(zhì)即可求出的長．【詳解】解：連接，如圖：

在中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，是線段的垂直平分線，，，在中，，，，，，，在中，，，．故選：C．29．如圖，在中，平分，交邊上的高于點(diǎn)．已知，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查含角的直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線定義，由直角三角形的性質(zhì)求出，由角平分線定義得到，因此，推出，由含角的直角三角形的性質(zhì)推出，推出，由三角形外角的性質(zhì)推出，得到．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故選：C．30．中，，P在線段上，于E，于D，若它一腰上的高與另一腰所成的銳角等于，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，分一腰上的高在外部和內(nèi)部討論即可．【詳解】解：當(dāng)一腰上的高在外部時(shí)，如圖，連接，

由題意知：，，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)一腰上的高在內(nèi)部時(shí)，如圖，連接，

由題意知：，，∴，∴，∵，∴，∴；綜上，，故選：B．鞏固訓(xùn)練1．如圖，，點(diǎn)D是平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)F，，則DE的長為（

）

A．7 B．3.5 C．7.5 D．5【答案】A【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)作于G，由角平分線的性質(zhì)得，結(jié)合，可知，從而可得答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于G，

∵平分，D是上一點(diǎn)，，，，∴，又∵，，∴，∴，故選：A．2．如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，那么的長為．【答案】4【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等邊對(duì)等角，條件輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：43．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別在、邊上勻速移動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)為何值時(shí)，為等邊三角形？(2)當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了含角的直角三角形、等邊三角形的判定，本題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出、，熟練掌握等邊三角形的判定，當(dāng)不確定哪個(gè)是直角時(shí)注意分類討論的思想方法．（1）用含的代數(shù)式表示出、，由于，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，列式求解即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，時(shí)，利用直角三角形中，含角的邊的關(guān)系，列式求解即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，∴，∵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，即，解得：；所以當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；（2）解：若為直角三角形，①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，為直角三角形．題型十一斜邊的中線等于斜邊的一半31．如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，若，，則的長為（

）A．11 B．12 C．12.5 D．14【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的定義和性質(zhì)，先根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半求出，進(jìn)而得出，再根據(jù)中位線的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵是的中線，且，∴，∴．∵點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴．故選：D．32．如圖，在中，的中垂線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，進(jìn)而得，由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半可得，再利用余角性質(zhì)可得，即可得到，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的中垂線，∴，，∴，在中，為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，故選：．33．如圖，在中，，于點(diǎn)，，是斜邊的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，先得出的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余分別求出的度數(shù)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，算出的度數(shù)，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵是直角三角形，，，∴，∵，∴在中，，同理，在中，，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，即，∴，∴，故選：D．鞏固訓(xùn)練1．如圖所示，，矩形的頂點(diǎn)分別在邊上，當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形的形狀保持不變，其中，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，矩形的性質(zhì)，三角形不等式，熟練掌握三角形不等式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．取線段的中點(diǎn)E，連接，根據(jù)直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可．【詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)，連接．，且矩形當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，使得最大．的最大值為三點(diǎn)共線時(shí)為．故選：D．2．如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)．若點(diǎn)在邊的垂直平分線上，且，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案【詳解】∵點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴故答案為：3．如圖，在中，于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，M為的中點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）利用直角三角形中三十度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得出．【詳解】（1）證明：∵，，∴與都為直角三角形，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴、為斜邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴是等腰三角形；（2）解：在中，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型十二勾股定理的證明方法34．我國是最早了解勾股定理的國家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個(gè)部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵．先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可．【詳解】解：A、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．35．勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理的證明過程，關(guān)鍵是要牢記勾股定理的概念，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．分別利用每個(gè)圖形面積的兩種不同的計(jì)算方法，再建立等式，再整理即可判斷．【詳解】解：A、由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，，整理可得，故A選項(xiàng)可以證明勾股定理；B、大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，，整理得，故B選項(xiàng)可以證明勾股定理，C、大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，，整理得，故C選項(xiàng)可以證明勾股定理，D、大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積與兩個(gè)長方形的面積和，，以上公式為完全平方公式，故D選項(xiàng)不能說明勾股定理，故選：D．36．在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，對(duì)于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的是（

）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的證明，分別用不同的方法表示出大正方形的面積，即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：甲方案中：大正方形的面積可以表示為，還可以表示為，∴，即，可以證明勾股定理，故甲正確；乙方案中：大正方形的面積可以表示為，還可以表示為，∴，不可以證明勾股定理，故乙錯(cuò)誤；故選：A．鞏固訓(xùn)練1．我國是最早了解勾股定理的國家之一．下列四幅圖中，不能驗(yàn)證勾股定理的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等面積法證明即可．【詳解】解：A、這個(gè)圖無法證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；B、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，則4個(gè)直角三角形面積+小正方形面積=大正方形面積，即+=，化簡得：．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，先求出小正方形的邊長，再根據(jù)4個(gè)直角三角形面積+小正方形面積=大正方形面積解答即可．【詳解】解：由圖可知，小正方形的邊長為，∵4個(gè)直角三角形面積+小正方形面積=大正方形面積，∴，∴．故答案為：，，．3．我們知道，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對(duì)的邊叫斜邊（如圖①所示）．?dāng)?shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方．即如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么．(1)直接填空：如圖①，若，則_________；若．則直角三角形的面積是_________．(2)觀察圖②，其中兩個(gè)相同的直角三角形邊在一條直線上，請(qǐng)利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系，試說明．【答案】(1)5；(2)見詳解【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形面積之和即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴；∵，∴，∴，∴該直角三角形的面積為；故答案為5；；（2）解：由圖可知：，整理得：．題型十三以弦圖為背景的計(jì)算題37．如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，則的值為（

）A．25 B．19 C．13 D．169【答案】A【分析】考查勾股定理的證明，完全平方公式的運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)正方形、直角三角形的性質(zhì)及分析問題解答．根據(jù)正方形的面積及直角邊的關(guān)系，列出，然后求解．【詳解】解：∵它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，∴，∴，則故選：A．38．如圖，用4個(gè)全等直角三角形與1個(gè)正方形拼成正方形圖案．已知大正方形面積為100．小正方形面積為9．若用表示直角三角形的兩條直角邊．下列說法正確的有（

）①；②；③；④A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理、完全平方公式等知識(shí)，掌握完全平方公式成為解題的關(guān)鍵．用勾股定理解直角三角形可判斷①正確；根據(jù)4個(gè)直角三角形全等，可判斷②正確；根據(jù)“大正方形面積等于4個(gè)直角三角形面積加上小正方形面積”，可判斷④正確；利用①④，根據(jù)完全平方公式可判斷③正確．【詳解】解：∵大正方形面積為100，小正方形面積為9，∴大正方形邊長為10，小正方形邊長為3，由勾股定理可得：，即①正確；∵圖中4個(gè)直角三角形全等，∴，即②正確；∵大正方形面積個(gè)直角三角形面積小正方形面積，∴，∴，即④正確；∵，，∴，∵，∴，即③正確．綜上所述，①②③④正確．故選D．39．“趙爽弦圖”巧妙地利用了面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長的直角邊長為a，較短的直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的邊長為．【答案】1【分析】本題考查了勾股定理的背景圖中與面積有關(guān)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中的面積關(guān)系與掌握勾股定理的計(jì)算公式．本題利用13減去四個(gè)直角三角形的面積等于小正方形的面積即可求解．【詳解】解：∵，∴小正方形面積為1，∴小正方形邊長為1，故答案為：1．鞏固訓(xùn)練1．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間陰影部分是一個(gè)小正方形，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”．若，，則的面積為（

）A．20 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，利用中間小正方形的面積=大正方形的面積個(gè)全等的直角三角形的面積，求出即可．【詳解】解：有圖形可得：個(gè)全等的直角三角形的面積=大正方形的面積中間小正方形的面積，∴，∴，故選：B．2．如圖是在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的邊長是，每個(gè)直角三角形較短的一條直角邊的長是，則小正方形的邊長為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是知道小正方形的邊長等于直角三角形較長直角邊減去較小直角邊．先設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是，，斜邊是，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)大直角三角形的兩直角邊分別是，，斜邊是，則，∴，∵大正方形的邊長是，每個(gè)直角三角形較短的一條直角邊的長是，∴，解得（舍去負(fù)值），∴小正方形的邊長為：．故答案為：．3．對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是；(2)如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個(gè)正方形拼成，試通過兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系．【答案】(1)a2+b2=(a+b)2-2ab；(2)．【分析】（1）分別用兩種不同的方法表示陰影部分面積即可得等式．（2）先直接用c表示中間正方形的面積，再用大正方形的面積減去4個(gè)小三角形的面積表示中間正方形的面積，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解∶如圖1，∵S陰影=a2+b2，S陰影=(a+b)2-2ab．∴a2+b2=(a+b)2-2ab，故答案為∶a2+b2=(a+b)2-2ab；（2）解：如圖2，∵S中間正方形=c2，S中間正方形=(a+b)2-4×ab，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式及勾股定理的幾何背景，用兩種方法表示同一個(gè)圖形的面積是求解本題的關(guān)鍵．題型十四勾股定理與網(wǎng)格問題40．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若是的高，則的長為（

）．

A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先利用勾股定理求出的長，再利用等積法即可求出的長．本題考查勾股定理與網(wǎng)格問題．熟練掌握勾股定理，以及等積法求線段的長度，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：，，又，，，．故選：A．41．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，以A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，則CE的長為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了在格點(diǎn)圖中勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)半徑相等，得出，再根據(jù)勾股定理即可求出DE的長，即可得出CE的長．【詳解】解：∵以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作弧，∴，∵，∴，∴，故選：C．42．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，下面結(jié)論：①；②；③的面積為10；④點(diǎn)A到直線的距離是2．正確的結(jié)論共有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法計(jì)算，利用勾股定理即可判斷①；利用勾股定理分別求出，，進(jìn)而得到，則由勾股定理的逆定理即可判斷②；根據(jù)三角形面積計(jì)算公式即可判斷③；根據(jù)等面積法即可判斷④．【詳解】解：①由勾股定理得，故①正確；②由勾股定理得，，∴，∴，故②正確；③，故③錯(cuò)誤；④點(diǎn)A到直線的距離是，故④正確；∴正確的有①②③，共3個(gè)，故選：C．鞏固訓(xùn)練1．如圖所示邊長為1的的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，則點(diǎn)A到的距離等于（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算．根據(jù)網(wǎng)格特征和勾股定理求出的邊長和面積，利用三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于，由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，，，，，是直角三角形，，即，，故選：C．2．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論：①；②；③的面積為10；④點(diǎn)A到直線的距離是2，其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①②④【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．利用勾股定理求出的長，即可判斷①；利用勾股定理分別求出、、的長，然后用勾股定理的逆定理即可判斷②；利用②的結(jié)論即可求解判斷③；設(shè)A到的距離為h，利用面積法即可求出h，即可判斷④．【詳解】解：如圖所示：，，，∴①正確；∵，∴三角形是直角三角形，，∴②正確；∴，∴③錯(cuò)誤；∵，∴，∴A到的距離為2，∴④正確，故答案為：①②④．3．（1）請(qǐng)你在圖1中畫一個(gè)邊長為的正方形，要求所畫正方形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；（2）如圖2，面積為7的正方形的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為；（3）以圖1中1個(gè)方格的邊長為單位1，畫出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上表示和．【答案】（1）見解析；（2）；（3）點(diǎn)D所表示的數(shù)為，點(diǎn)E所表示的數(shù)為【分析】（1）可看作是直角邊分別為1和4的直角三角形的斜邊，再結(jié)合正方形的性質(zhì)畫圖即可．（2）由題意可得，由數(shù)軸的定義可知點(diǎn)E所表示的數(shù)為．（3）由題意畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上取點(diǎn)A，使點(diǎn)A表示的數(shù)為2，作直角三角形，使，則，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫弧，分別交數(shù)軸于點(diǎn)D，E，則點(diǎn)D所表示的數(shù)為，點(diǎn)E所表示的數(shù)為．本題考查了無理數(shù)與勾股定理，數(shù)軸與實(shí)數(shù)，勾股定理與網(wǎng)格，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）如圖1，正方形即為所求．（2）∵正方形的面積為7，∴正方形的邊長為，即，∴，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為，∴點(diǎn)E所表示的數(shù)為故答案為：．（3）如圖，點(diǎn)D所表示的數(shù)為，點(diǎn)E所表示的數(shù)為．題型十五用勾股定理解三角形43．如圖，，，，，點(diǎn)在線段上，若，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直角三角形的兩個(gè)銳角互余和平角的定義可得，進(jìn)而可證得，于是可得，根據(jù)勾股定理可求得，然后利用三角形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：，，又，，在和中，，，，，，的面積，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．44．如圖，中，，E為邊上的一點(diǎn)，連接并延長，過點(diǎn)A作，垂足為D，若，，．記的面積為，的面積為，則的值為（

）．

A．56 B．66 C．74 D．84【答案】B【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形的面積．解題的關(guān)鍵是利用“割補(bǔ)法”將兩三角形的面積差轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)三角形的面積差．先利用勾股定理求得的長，然后再求得的長，根據(jù)題意推出再由三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵∴，由知，又∴故選：B．45．如圖，在中，，，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線上，且之間的距離為1，之間的距離為2，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，并運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算．作于，作于，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)三角形全等求出，由勾股定理求出的長，再利用勾股定理即可求出的值．【詳解】解：作于，作于，∵之間的距離為1，之間的距離為2，∴，，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得．故選：A．鞏固訓(xùn)練1．如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c．若a，b的面積分別為5和11，則c的面積為（

）A．6 B．16 C．4 D．55【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．利用正方形邊長相等，結(jié)合全等三角形和勾股定理可得出，進(jìn)而計(jì)算即可．【詳解】解：有三個(gè)正方形a，b，c，，，，，，，，，，在中，勾股定理得：，．∴故選A．2．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接CE，則CE的長是．

【答案】4【分析】本題考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，故是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴是等邊三角形，∴．故答案為：4．3．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，試求的長．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握翻折的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理求得的長，然后由翻折的性質(zhì)求得，即可求解；（2）設(shè)，則，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵在中，兩直角邊，，，由折疊的性質(zhì)可知：，；（2）解：設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴．題型十六勾股定理與折疊問題46．如圖，三角形紙片中，，，，沿和將紙片折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都落在邊上的點(diǎn)處，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，，，可得，繼而設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)P處，∴，，∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得，即，∴，故選：B．47．如圖，中，，，，，，，P是直線上一點(diǎn)，把沿所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線上的點(diǎn)H處，（

）．A．10 B． C．8或 D．10或【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，分兩種情況：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)．分別畫出圖形，利用折疊性質(zhì)得到，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理建立方程解答即可．【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)，如圖1所示，由折疊的性質(zhì)得，∵，，，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，，即；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)，如圖2所示，由折疊的性質(zhì)可得，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，，即；綜上所述，或10；故選：D．48．如圖，，將邊沿翻折，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)D處；再將邊沿翻折，使點(diǎn)B落在的延長線上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)E、F，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)勾股定理以及面積法即可得到的長，再根據(jù)是等腰直角三角形，即可得到的長；利用勾股定理求得的長，即可得到的長，進(jìn)而得出的長．本題考查了折疊問題，我們常常設(shè)要求的線段長為，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．【詳解】解：中，，，，由勾股定理可得，將邊沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，，，，，，在中，，將邊沿翻折，使點(diǎn)落在的延長線上的點(diǎn)處，，，，，又，，，，，故選：B．鞏固訓(xùn)練1．如圖，長方形紙片中，，，將此長方形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，折痕為，則的長度為(

)A．6 B．10 C．24 D．48【答案】B【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；由折疊可知，設(shè)利用勾股定理進(jìn)行分析計(jì)算即可．【詳解】解：由折疊可知，設(shè)由勾股定理可得，即，解得，，故選：B．2．如圖，在直角中，直角邊，現(xiàn)要在上找一點(diǎn)D，使得將沿翻折后，點(diǎn)C落在斜邊上，則．

【答案】3【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理等．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，用勾股定理解，即可求解．【詳解】解：設(shè)翻折后點(diǎn)C在斜邊上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，中，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，．設(shè)，則，在中，，，解得，，故答案為：3．3．如圖，，寬的長方形紙片；將紙片沿著直線折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，解答下列問題：(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理，即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：在長方形中，，，∵將紙片沿著直線折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，∴，在中，由勾股定理得：；（2）解：∵，，，∴，，∵將紙片沿著直線折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圖形的折疊問題，熟練掌握勾股定理，圖形折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型十七勾股定理的應(yīng)用149．如圖，一架25分米長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距墻底部7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯子的底端將向外平滑（

）A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米【答案】D【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用．掌握直角三角形三邊之間滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解決此題的關(guān)鍵．注意：整個(gè)過程中，梯子的長度不變．先利用勾股定理求出，再根據(jù)頂端下滑4分米求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出底部平滑的距離．【詳解】解：在中，根據(jù)勾股定理分米，當(dāng)梯子的頂端沿墻下滑4分米時(shí)，梯子的頂部距離墻底端距離：分米，在中根據(jù)勾股定理分米，則梯子的底部將向外平滑距離：分米．故選：D50．如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，根據(jù)題意，可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得：．故選D51．如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開，一個(gè)身高米的學(xué)生剛走到離門間距米的地方時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開，則該感應(yīng)器感應(yīng)長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，四邊形是長方形，米，米，米，（米，（米．故選：B．鞏固訓(xùn)練1．一架長10米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻底端6米，如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那么梯足將滑（

）A．米 B．米 C．1米 D．2米【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接著利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，在中，，且，∴，∴，∵，∴在中，由勾股定理得，∴，∴梯足將滑2米，故選：D．2．如圖在一棵樹的高的D處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹處的池塘A處，另一只爬到樹頂C處后直接躍向池塘A處．如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹高m．【答案】15【分析】本題考查的是勾股定理的靈活運(yùn)用，要求在變通中熟練掌握勾股定理．設(shè)，根據(jù)題意得到，，然后利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，設(shè)，∴，∴∵∴，即∴∴∴．即：這棵樹的高度為．故答案為：．3．如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點(diǎn)處飛到另一棵樹的樹梢B點(diǎn)處，則小鳥至少要飛行多少米？【答案】小鳥至少飛行了10米【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，大樹高為AC=10米，小樹高為BD=4米，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AB，∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），∴AE=AC-EC=10-4=6（米），在中，（米），答：小鳥至少飛行了10米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．題型十八勾股定理的應(yīng)用252．《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，在中，，求的長，如果設(shè)，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)，則，根據(jù)列得等式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴∴，故選：B53．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是，內(nèi)壁高，則這支鉛筆在筆筒內(nèi)部的長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意，當(dāng)筆斜放時(shí)，運(yùn)用勾股定理可得的最大值，當(dāng)筆豎立時(shí)可得最小值，由此即可求解．【詳解】解：當(dāng)筆豎立時(shí)，；當(dāng)筆斜放時(shí)，，∴，故選：A．54．如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交匯，．公路上處距點(diǎn)240米，如果火車行駛時(shí)，周圍200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車在鐵路上沿方向以20米/秒的速度行駛時(shí)，處受噪音影響的時(shí)間為（

）

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒【答案】B【分析】本題考查的是點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用，過點(diǎn)作，利用直角三角形的性質(zhì)求出的長與相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然后過點(diǎn)作，求出的長即可得出受噪音影響的時(shí)間．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)作，米，，米，米，當(dāng)火車到點(diǎn)時(shí)對(duì)處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)米，米，米，由勾股定理得：米，米，即米，火車在鐵路上沿方向以20米秒的速度行駛，影響時(shí)間應(yīng)是：秒．故選：B．

鞏固訓(xùn)練1．《九章算術(shù)》有個(gè)問題“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確畫出圖形，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則，，在中，，即．故選D．

2．如圖，有一個(gè)長方體盒子，其長、寬、高分別是、、，則該長方體盒子內(nèi)可放入的木棒（木棒的粗細(xì)忽略不計(jì)）的長度最長是．【答案】【分析】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于理解最長的木棒和矩形的高，以及長和寬組成的長方形的對(duì)角線長組成了直角三角形．兩次運(yùn)用勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可解決．【詳解】解：長和寬組成的長方形的對(duì)角線長為．這根最長的木棒和矩形的高，以及長和寬組成的長方形的對(duì)角線組成了直角三角形．盒內(nèi)可放木棒最長的長度是．故答案為：．3．今年，第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”9月16日登陸后的影響還在持續(xù)，第14號(hào)臺(tái)風(fēng)“普拉?！焙偷?5號(hào)臺(tái)風(fēng)“蘇力”又于19日登陸．A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心位于距離A市的B處（即），正以的速度沿直線方向移動(dòng)．(1)已知A市到的距離，那么臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)經(jīng)過多長時(shí)間？(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到