專題3-9 拋物線與直線聯(lián)立韋達(dá)化運(yùn)算（解析版）-A4

1/33第頁專題3-9拋物線與直線聯(lián)立韋達(dá)化運(yùn)算總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】焦點(diǎn)弦中點(diǎn)相關(guān)運(yùn)算與證明【題型2】向量數(shù)量積的處理【題型3】過焦點(diǎn)的直線與拋物線聯(lián)立韋達(dá)化計(jì)算【題型4】不過焦點(diǎn)的直線與拋物線聯(lián)立計(jì)算【題型5】垂直關(guān)系的處理【題型6】弦長公式與面積計(jì)算【題型7】拋物線中三角形與四邊形面積最值問題【題型8】拋物線中的定點(diǎn)與定值問題題型題型匯編知識梳理與?？碱}型直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式①拋物線的焦點(diǎn)為F，是過的直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，則有.②一般地，如果直線恒過定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么.【題型1】焦點(diǎn)弦中點(diǎn)相關(guān)運(yùn)算與證明已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)Q作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若，則．【答案】【分析】先求出的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與拋物線方程表示的縱坐標(biāo)，故可求斜率.【詳解】易知設(shè)，因?yàn)?，故，故，而，?故，聯(lián)立直線與拋物線方程得，，所以的縱坐標(biāo)，故直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是________．【答案】(3,2)【解析】將y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝6，eq\f(x1＋x2,2)＝3，∴eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2.∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)Q作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若，則．【答案】【分析】先求出的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與拋物線方程表示的縱坐標(biāo)，故可求斜率.【詳解】易知設(shè)，因?yàn)?，故，故，而，?故，聯(lián)立直線與拋物線方程得，，所以的縱坐標(biāo)，故已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．若為線段的中點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】直線的斜率存在，可設(shè)為，與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用求解，再結(jié)合拋物線定義得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，顯然當(dāng)直線垂直于軸時，與重合，此時不滿足條件，所以可設(shè)直線的方程為，代入的方程有，，所以，，，所以，解得，，由拋物線的幾何性質(zhì)可知，，所以．設(shè)拋物線W：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l：y＝x＋m與拋物線W相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)．(1)求m的取值范圍；(2)求證：點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為定值．【答案】(1)m＜1，(2)Q的縱坐標(biāo)為定值2【解析】(1)直線l：y＝x＋m與拋物線W聯(lián)立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋m＋x2＋m,2)＝2.∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為定值2.物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】y2＝4x或y2＝－4x【詳解】解：如圖，依題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)，則直線方程為y＝－x＋eq\f(1,2)p.設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則由拋物線定義，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋x2＋p＝8.①又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線和拋物線的交點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))消去y，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.所以x1＋x2＝3p，②將②代入①，得p＝2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2＝－2px(p＞0)時，同理可求得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4x.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或y2＝－4x.【題型2】向量數(shù)量積的處理數(shù)量積一般化為過坐標(biāo)運(yùn)算的形式，再韋達(dá)化處理（23-24高二上·河南信陽·期末）直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（O為拋物線頂點(diǎn)）的值為（

）A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程求得，從而利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】由，得，易得，設(shè)，則，.（高二上·四川成都·期末）已知拋物線上的兩點(diǎn)A，B滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且A，B分處對稱軸的兩側(cè)，則直線AB所過定點(diǎn)為．【答案】【分析】設(shè)，，寫出直線AB方程，由及A，B位置可解得，即可化簡解析式，確定定點(diǎn).【詳解】設(shè)，，則，即，即.由A，B分處對稱軸的兩側(cè)得，又∵，解得（舍）或，故，則直線過定點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，且A到的焦點(diǎn)的距離為1．(1)求的方程；(2)若直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，，且，試探究直線是否過定點(diǎn)，若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)【分析】（1）利用拋物線的定義及點(diǎn)在拋物線上計(jì)算即可；（2）設(shè)的方程，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及韋達(dá)定理求參數(shù)即可.【詳解】（1）依題意可得，解得，所以拋物線方程為：；（2）設(shè)直線顯然存在，聯(lián)立方程，化簡可得所以在拋物線C上，故，，解得或，因?yàn)?，所以，得所以直線過定點(diǎn).已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，且，則________【答案】【解析】過的直線l的方程可設(shè)為，聯(lián)立拋物線方程，可得，所以，，則，解得過拋物線的焦點(diǎn)作直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，若，則的值為．【答案】8【分析】首先設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可求直線的方程，并代入焦點(diǎn)弦長公式，即可求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F1,0，顯然的斜率不為0，設(shè)直線，Ax聯(lián)立x=my+1y2=4x，得，，，則，，，，，解得：，所以，.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線相交于不同的A、兩點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)如果，證明直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求得即得；（2）設(shè)，，設(shè)，代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，，代入可求得，從而得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可知，將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為．（2）因?yàn)橹本€與拋物線相交于不同的A、兩點(diǎn)，所以直線不與x軸平行，可設(shè)，與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．，由，解得，∴過定點(diǎn)．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上點(diǎn)T(3，t)到焦點(diǎn)F的距離為4.(1)求t，p的值；(2)如圖所示，設(shè)A，B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點(diǎn)，且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．求證直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】p＝2，t＝±2eq\r(3)直線AB過定點(diǎn)(5,0)解：(1)由已知得3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x，代入可解得t＝±2eq\r(3).(2)設(shè)直線AB的方程為x＝my＋n，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,y2＝4x))得y2－4my－4n＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由，得eq\f(y1y22,16)＋y1y2＝5，∴y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)．即－4n＝－20，∴n＝5，∴直線AB過定點(diǎn)(5,0)【題型3】過焦點(diǎn)的直線與拋物線聯(lián)立韋達(dá)化計(jì)算拋物線的焦點(diǎn)為F，是過的直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，則有.（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，弦長為12，則直線的方程為.【答案】或【分析】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，,，,，聯(lián)立直線與拋物線方程，消掉得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得，由，解得，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，,，,，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)椋獾?，，則直線的方程為或（廣東深圳·高二?？计谀┮阎c(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.【答案】（1）；（2）1或.【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過拋物線焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，即可求出弦長AB【詳解】（1）拋物線C：的準(zhǔn)線為，由得：，得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，由，，∴，∵直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，∴解得：，所以k的值為1或過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，求拋物線C的方程．【答案】y2＝4x【解析】由于拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，故可設(shè)直線AB的方程為x＝my＋eq\f(p,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為eq\f(π,4)的直線被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】y2＝3x【解析】解：當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上時，可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，則焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直線l的方程為y＝x－eq\f(p,2).設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點(diǎn)A，B向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)A1，點(diǎn)B1，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq\f(3,2).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝3x.（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則分別在點(diǎn)的拋物線的切線交點(diǎn)軌跡方程是．【答案】【分析】由標(biāo)準(zhǔn)方程表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程與交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程，寫出韋達(dá)定理，利用數(shù)量積可得，進(jìn)而求切線方程和交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)分析軌跡分析.【詳解】由題意可得，設(shè)，顯然直線的斜率存在，則可設(shè)為，聯(lián)立可得，消去可得，則，可得，，則，因?yàn)?，，由可得，由，解?此時拋物線，即，可得，可知在點(diǎn)處的切線斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程，消去y得，可得，解得，則切線方程為，即，同理可得在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立方程，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，可知所求軌跡方程為.故答案為：.【題型4】不過焦點(diǎn)的直線與拋物線聯(lián)立計(jì)算1、若直線過x軸上的定點(diǎn)，可以考慮設(shè)直線方程為2、一般地，如果直線恒過定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么.過點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)【答案】B【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由題意知AB的方程為y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2))得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.∴|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])已知點(diǎn)，，中恰有兩個點(diǎn)在拋物線上．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若點(diǎn)，在上，且，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線也關(guān)于軸對稱，將點(diǎn)代入拋物線方程即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可求定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于軸對稱，拋物線也關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)，在上，將點(diǎn)代入拋物線得，，即，所以拋物線的方程為：；（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，則設(shè)直線的方程為，由消得：，由韋達(dá)定理得，所以直線，顯然恒過定點(diǎn)0,1．

設(shè)點(diǎn)P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的一個動點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P到定點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大eq\f(1,2).(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與點(diǎn)P的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(6)，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】x2＝2y，k＝±1【詳解】解：(1)過點(diǎn)P作x軸的垂線且垂足為點(diǎn)N，則|PN|＝y(tǒng)，由題意知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y(tǒng)＋eq\f(1,2)，化簡得x2＝2y.故點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝2y.(2)由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化簡得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.【題型5】垂直關(guān)系的處理坐標(biāo)系中的垂直關(guān)系一般化為數(shù)量積相乘為0或斜率之積為-1若拋物線y2＝4x與直線y＝x－4相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求證OA⊥OB.【詳解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－4))消去y，得x2－12x＋16＝0.∵直線y＝x－4與拋物線相交于不同兩點(diǎn)A，B，∴可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1＋x2＝12，x1x2＝16.∵＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴，即OA⊥OB.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．【解析】直線由，得則由，得：，整理得：，即：．所以，則，即：過拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上存在點(diǎn)M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．【答案】（1）x2＝4y，（2）y＝2x＋1解：(1)C：x2＝2py的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，∴p＝2，拋物線C的方程為x2＝4y．(2)∵M(jìn)(－2，y0)在C上，∴y0＝eq\f(－22,4)＝1，又F(0，1)，設(shè)l的方程為y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2－4kx－4＝0，令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)，∵M(jìn)A⊥MB，∴＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，∴k＝2或0，當(dāng)k＝0時，l過M點(diǎn)(舍)，當(dāng)k＝2時，l不過M點(diǎn)，∴k＝2，∴l(xiāng)的方程為y＝2x＋1．【題型6】弦長公式與面積計(jì)算拋物線中弦長公式與橢圓雙曲線一致（為直線的斜率，且）.過拋物線的焦點(diǎn)F分別作兩條相互垂直的直線，，若直線與拋物線C交于，兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于，兩點(diǎn)，且，則四邊形ADBE的面積為．【答案】【分析】設(shè)出兩直線的方程，求出AB、，表示出四邊形面積，即可得出答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F1,0，因?yàn)楹偷臋M坐標(biāo)相同且在拋物線上，易知關(guān)于x軸對稱且夾角為90°，所以直線的斜率為，則直線的斜率為，顯然直線和的斜率都存在，則設(shè)直線的方程為，直線的方程為y=-x-1，聯(lián)立方程組，消元得，則，即，同理，所以四邊形的面積為：過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，若，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合弦長公式即可列方程求得參數(shù)，進(jìn)而得解；（2）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方程即可求得參數(shù)，進(jìn)一步即可求解的面積.【詳解】（1）拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，，顯然，設(shè)Ax1,則，解得，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)Ax顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，顯然，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，設(shè)的面積為，則，所以的面積為.已知拋物線的焦點(diǎn)為和定點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)．設(shè)直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)時，求的面積．【答案】答案見解析【分析】由拋物線可知焦點(diǎn)，又，因此可知直線的方程，與拋物線聯(lián)立，可求出弦長；因?yàn)?，由拋物線的定義可求，進(jìn)而可求出，分兩種情況求的面積即可.【詳解】

因?yàn)椋?，所以直線方程為．設(shè)Ax聯(lián)立得，顯然，所以，則，因?yàn)椋?，則．當(dāng)時，到的距離；當(dāng)時，到的距離．已知A、B是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩個動點(diǎn)，直線與x軸交于P．(1)若，求P的坐標(biāo)；(2)若P為拋物線的焦點(diǎn)，且弦的長等于6，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積公式可求得t的值，從而求出P的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式可求得的值，再求出點(diǎn)到直線的距離，從而求出的面積.【詳解】（1）因?yàn)橹本€不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，，，由消去x得，，所以，，，由，得，解得，滿足，所以直線方程為，令得，即P的坐標(biāo).（2）由題意知拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去x得，，所以，，，所以，解得，點(diǎn)到直線的距離為，所以,故的面積為.

如圖，已知直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)求的值．(2)若線段的垂直平分線于拋物線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)12【分析】（1）由兩直線垂直得到直線，再聯(lián)立曲線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合向量的數(shù)量積為零求出即可；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到方程，聯(lián)立曲線方程，得到韋達(dá)定理，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式化簡即可；【詳解】（1）設(shè)Ax因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，，則，因?yàn)?，所以，即，即，解得，?）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由（1）知，所以，所以，即，聯(lián)立，消去可得，，設(shè)，則，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.已知動圓過點(diǎn)且與直線相切，記該動圓圓心的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，求的面積．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，利用兩點(diǎn)之間距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程方程，可得答案；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案.【詳解】（1）設(shè)，動圓的半徑，整理可得．故曲線的方程為.（2）法一：設(shè)Ax1,y1由可得，由已知直線斜率必不為0，故可設(shè)直線，聯(lián)立方程，可得，故，解得，故，．法二：設(shè)Ax1,y1由可得，若直線的斜率不存在，則，不符合題意，舍去；設(shè)直線，聯(lián)立方程可得，，解得，，，解得．原點(diǎn)到直線的距離，故的面積.【題型7】拋物線中三角形與四邊形面積最值問題面積的表示：可以考慮結(jié)合鉛錘高或水平寬來表示面積求解最值：一般化為二次函數(shù)模型或利用基本不等式來求最值已知拋物線，過該拋物線焦點(diǎn)的直線與該拋物線相交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角為時，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為．【答案】【分析】結(jié)合題意求出,設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】如圖所示，分別過向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，過作的垂線，垂足為，當(dāng)直線的傾斜角為時，結(jié)合題意易得，所以，即，設(shè)Ax1,y1，B設(shè)直線，代入拋物線方程，可得，，所以，當(dāng)時，三角形面積取最小值，此時最小值為．故答案為：．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且，則面積的最小值等于．【答案】22【分析】設(shè)方程為，代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，，由求得，距離公式求得，再求得原點(diǎn)到直線l的距離可得三角形面積，從而得最小值．【詳解】拋物線C的方程為，由題可知直線l斜率若存在，則斜率不為0，故設(shè)l為，由，得，則，即，∴，，則，解得，直線方程為，恒過定點(diǎn)，，到直線AB的距離為，∴，∴時，為最小值，故答案為：已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，得，聯(lián)立直線與拋物線方程得，再通過計(jì)算即可；（2）先求弦長，再求到直線的距離，可表示出，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為；

如圖：設(shè)，將直線的方程代入，得，

所以，

因?yàn)橹本€與傾斜角互補(bǔ)，所以，

即，所以，即，所以.（2）由（1）可知，所以，則，

因?yàn)?，所以，即?/p>

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以，

因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積最大值為．（23-24高二上·浙江寧波·期末）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則的面積最小值為.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，由，得，求出的關(guān)系，進(jìn)而可求出的范圍，再根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由已知F1,0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，則，由，得，即，所以，化簡得，所以，化簡得，解得或，則，則或，所以或，，所以當(dāng)時，，所以的面積最小值為.故答案為：.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是．【答案】12【分析】先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及可求出，進(jìn)而求出直線在軸上的截距，最后將面積之和表示出來，利用基本不等式求最值，即可得到結(jié)果．【詳解】由題意可知：，設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)，直線與x軸的交點(diǎn)為，聯(lián)立方程，消去x得，根據(jù)韋達(dá)定理有，因?yàn)?，所以，解得或，由點(diǎn)在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，可知，所以，故，此時，即，不妨設(shè)點(diǎn)A在軸上方，則，，且，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以與面積之和的最小值是.故答案為：12．

已知拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，，交E于A，C兩點(diǎn)，交E于B，D兩點(diǎn)．求四邊形ABCD的面積的最小值．【答案】(1)(2)32【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義可知，從而可得拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及拋物線定義求出，，由結(jié)合基本不等式求出最小值．【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線．∵拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．根據(jù)拋物線的定義可知，，∴，∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可知均有斜率且斜率不為零，且過焦點(diǎn)，

設(shè)，，，設(shè)，由，消可得，∴，，∴，∴，同理可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴四邊形ABCD面積的最小值為32．【題型8】拋物線中的定點(diǎn)與定值問題常見定點(diǎn)問題與定值問題的常見條件有數(shù)量積為定值，斜率和或積為定值，其中數(shù)量積可以化為坐標(biāo)運(yùn)算再代入韋達(dá)定理，斜率和積為定值時可以考慮平移齊次化來解決定點(diǎn)問題.1、過拋物線上的一定點(diǎn)作兩條斜率之和為的直線，，分別交拋物線于，兩點(diǎn)，則直線必過定點(diǎn)2、過拋物線上的一定點(diǎn)作兩條斜率之積為的直線，，分別交拋物線于，兩點(diǎn)，則直線必過定點(diǎn)以上稱為手電筒模型，注意點(diǎn)P不在曲線上時，上式并不適用，常數(shù)也需要齊次化乘“12”【坐標(biāo)平移+齊次化處理】（左加右減，上減下加為曲線平移）Step1：平移點(diǎn)P到原點(diǎn)，寫出平移后的曲線方程，設(shè)出直線方程，并齊次化處理Step2：根據(jù)斜率之積或斜率之和與韋達(dá)定理的關(guān)系得到等式，求得m，n之間的關(guān)系，Step3：得出定點(diǎn)，此時別忘了，還要平移回去!（23-24高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知拋物線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且直線，斜率之積為，則點(diǎn)到直線的最大距離為.【答案】1【分析】設(shè)出直線的方程，把直線與拋物線聯(lián)立，表示出，運(yùn)用韋達(dá)定理即可.【詳解】設(shè)直線：，Ax1,y1，B所以，，，，，所以，則直線：，直線恒過點(diǎn)1,0，則點(diǎn)到直線的最大距離為1.已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到其焦點(diǎn)的距離為2．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程；（2）若點(diǎn)M、N在拋物線C上，且kPM?kPN＝，證明：直線MN過定點(diǎn). 答案：（2）（9，﹣2）【簡析】將點(diǎn)P移到原點(diǎn)，拋物線與所有點(diǎn)和線跟著平移，再設(shè)平移后的直線MN，然后齊次化，同除x2，得出兩根之積為，從而求出直線MN中的參數(shù).在平面直角坐標(biāo)