專題4-1 數(shù)列的概念及通項(xiàng)遞推式（解析版）2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)?？碱}專練（新高考）

35/40第頁(yè)專題4-1數(shù)列的概念及通項(xiàng)遞推式總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】數(shù)列的概念及分類【題型2】判斷或者寫出數(shù)列的某一項(xiàng)【題型3】觀察法求數(shù)列通項(xiàng)【題型4】由遞推公式求數(shù)列的指定項(xiàng)【題型5】利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式【題型6】周期數(shù)列問(wèn)題【題型7】數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題【題型8】確定最大（?。┑捻?xiàng)【題型9】累乘法求通項(xiàng)公式【題型10】累加法求通項(xiàng)公式【題型11】遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【題型12】斐波那契數(shù)列題型題型匯編知識(shí)梳理與常考題型【題型1】數(shù)列的概念及分類一、數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}．二、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列【例題1】列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同 B．?dāng)?shù)列，0，2與數(shù)列2，0，是同一個(gè)數(shù)列C．?dāng)?shù)列2，4，6，8可表示為 D．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的定義和表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，常數(shù)列中任意兩項(xiàng)都是相等的，所以A不正確；對(duì)于B中，數(shù)列，0，2與2，0，中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列，所以B不正確；對(duì)于C中，表示一個(gè)集合，不是數(shù)列，所以C不正確；對(duì)于D中，根據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)是有關(guān)的，所以D正確.【鞏固練習(xí)1】給出以下數(shù)列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④.其中，有窮數(shù)列為；無(wú)窮數(shù)列為；遞增數(shù)列為；遞減數(shù)列為；擺動(dòng)數(shù)列為；常數(shù)列為．(填序號(hào))【答案】②④①③②④①③【分析】根據(jù)數(shù)列的知識(shí)確定正確結(jié)論.【詳解】有窮數(shù)列為②④；無(wú)窮數(shù)列為①③；遞增數(shù)列為②；遞減數(shù)列為④；擺動(dòng)數(shù)列為①；常數(shù)列為③.故答案為：②④；①③；②；④；①；③【鞏固練習(xí)2】（多選）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2是相同的數(shù)列B．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)C．?dāng)?shù)列的圖像是一系列孤立的點(diǎn)D．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2是不同的數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由數(shù)列的定義可知正確；對(duì)于C，由數(shù)列的，可知正確；對(duì)于D，根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)可以分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列，故錯(cuò)誤.【題型2】判斷或者寫出數(shù)列的某一項(xiàng)函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．【例題1】現(xiàn)有這么一列數(shù)：1，，，，___，，，，按照規(guī)律，__中的數(shù)應(yīng)為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得：分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母依次為首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，即其通項(xiàng)為：；故括號(hào)中的數(shù)應(yīng)該為．【例題2】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則下列各數(shù)是中的項(xiàng)的是（

）A．10 B．18 C．26 D．63【答案】D【分析】分別令選項(xiàng)中的數(shù)等于，解得值是正整數(shù)的即為答案．【詳解】令，可得，，不是正整數(shù)，所以不是的項(xiàng)；A錯(cuò)誤；令，可得，，不是正整數(shù)，所以不是的項(xiàng)；B錯(cuò)誤；令，可得，，不是正整數(shù)，所以不是的項(xiàng)；C錯(cuò)誤；令，可得或，，是正整數(shù)，即數(shù)列的第項(xiàng)為，D正確【鞏固練習(xí)1】觀察數(shù)列，，，，，，，，，，則該數(shù)列的第項(xiàng)等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)列可得出其規(guī)律為按正整數(shù)順序排列，且個(gè)為一個(gè)循環(huán)節(jié)，從而可求解.【詳解】通過(guò)觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項(xiàng)是按正整數(shù)順序排列，且個(gè)為一循環(huán)節(jié)，由此判斷第項(xiàng)是，故D項(xiàng)正確.【鞏固練習(xí)2】（多選）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則-19是該數(shù)列中的第幾項(xiàng)的是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】AC【分析】令，求解判斷.【詳解】令，即，解得或.故選：AC【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求：(1)等于多少；(2)81是否為數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)26(2)不是，理由見(jiàn)解析【分析】（1）直接代入數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的方程，再看是否能使這個(gè)方程有正整數(shù)解即可求解；【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式，所以.（2）令，解得，因?yàn)椋圆皇菙?shù)列中的項(xiàng).【題型3】觀察法求數(shù)列通項(xiàng)通項(xiàng)公式1．如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．【例題1】數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)B：代入檢驗(yàn)均可，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)D：令，可得，不合題意；【例題2】觀察下面數(shù)列的變化規(guī)律，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)（

），7，12，（

），22，27，…；(2)，，（

），，，，（

），…；(3)1，，（

），2，，（

），，…；(4)，，（

），，…．【答案】(1)2，17，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）由，可知相鄰兩項(xiàng)的差相等，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）把寫成，分析規(guī)律可得結(jié)果；（3）由，，分析規(guī)律即可得通項(xiàng)公式；（4）由，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)?，，原?shù)列為2，7，12，17，22，27，…，相鄰兩項(xiàng)的差都是5，故.（2）由，原數(shù)列可化為，，，，，，，…，可得.（3）由，，原數(shù)列可化為，，，，，，，得.（4）因?yàn)樵瓟?shù)列可化為，，，，…，所以.【鞏固練習(xí)1】數(shù)列1，，，…的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入即可結(jié)合選項(xiàng)逐一排除.【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，對(duì)于C中，對(duì)于D中，四個(gè)選項(xiàng)中只有同時(shí)滿足，，.【鞏固練習(xí)2】若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則此數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為A． B． C． D．【解答】解：由數(shù)列的前四項(xiàng)是，得；故選：．【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第21項(xiàng) B．第22項(xiàng) C．第23項(xiàng) D．第24項(xiàng)【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，計(jì)算可得是這個(gè)數(shù)列的第22項(xiàng).【詳解】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又，解得，所以是這個(gè)數(shù)列的第22項(xiàng)．【題型4】由遞推公式求數(shù)列的指定項(xiàng)數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【例題1】數(shù)列滿足，若，，則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由遞推公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，則，，，，【例題2】數(shù)列滿足，則．【解答】解：數(shù)列中，，，，，，，，．【鞏固練習(xí)1】斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，由數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，….則該數(shù)列的第10項(xiàng)為（

）A．34 B．55 C．68 D．89【答案】B【分析】先觀察數(shù)列，再利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出第10項(xiàng).【詳解】觀察數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)均為其前2項(xiàng)的數(shù)之和，則第9項(xiàng)：13＋21＝34，第10項(xiàng)：21＋34＝55.故該數(shù)列的第10項(xiàng)為55．【鞏固練習(xí)2】已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式求出、即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以，解得，則，即，解得.【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·廣東中山·期中）分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德?tīng)柌剂_特在世紀(jì)年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖.若記圖2中第行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】設(shè)表示第行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個(gè)數(shù)，由題意可得，根據(jù)初始值，由此遞推即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)表示第行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個(gè)圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈2個(gè)黑圈，所以，又因?yàn)?，所以，所以，則.【題型5】利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式與的關(guān)系式：①當(dāng)時(shí)，若適合，則的情況可并入時(shí)的通項(xiàng)；②當(dāng)時(shí)，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示.【例題1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)試判斷1262是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【答案】(1)(2)1262是數(shù)列的項(xiàng)，是第15項(xiàng)【分析】（1）利用之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）利用代入法，通過(guò)解一元二次方程進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，也符合.綜上，的通項(xiàng)公式是；（2）令，或，所以1262是數(shù)列的項(xiàng)，是第15項(xiàng).【例題2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合和，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.【例題3】（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足…，則．【答案】【分析】令求出的值，再利用…，…，相減求出，驗(yàn)證首項(xiàng)即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，①，②，由①-②得，，，顯然時(shí)不滿足上式，，故答案為：【例題4】已知在數(shù)列中，，，則.【答案】【分析】將時(shí)的等式與條件中的等式做差整理可得，然后利用計(jì)算即可.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，整理得，當(dāng)時(shí)，，得，.故答案為：.【鞏固練習(xí)1】（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，求的通項(xiàng)公式.（2）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【分析】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式即可得出結(jié)論；（2）由與關(guān)系求通項(xiàng)公式即可得出結(jié)論；【詳解】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,∴經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)也成立.所以.（2）∵①∴，得.∴②②－①得：，∴即，∴，，，…，，∴.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)也成立.所以.【鞏固練習(xí)2】若數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用關(guān)系求通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)，則，而，顯然不滿足上式，所以.【鞏固練習(xí)3】（24-25高二上·山東·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．18 B．17 C．16 D．15【答案】B【分析】利用求出，相加得到答案.【詳解】，，故.【鞏固練習(xí)4】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】.【詳解】由題意知，數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），則．【答案】【分析】已知式減去的遞推式可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，可得，綜上，.【鞏固練習(xí)6】數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)題目給出的遞推公式進(jìn)行升次作差即可求解.【詳解】由題意…①，，…②，②①得：，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，不適合上式.

；故答案為：.【題型6】周期數(shù)列問(wèn)題數(shù)列的周期性：如果對(duì)所有的，都有=(k為正整數(shù))，那么稱{}是以k為周期的周期數(shù)列.

數(shù)列周期性問(wèn)題的解題策略：解決數(shù)列周期性問(wèn)題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.【例題1】設(shè)數(shù)列滿足，，則A．2 B． C． D．【解答】解：數(shù)列滿足，，則，同理可得：，，，，可得．．【例題2】數(shù)列滿足，則的值為A．2 B． C．3 D．1【解答】解：數(shù)列滿足，，，，，即數(shù)列是周期為4的數(shù)列，且，，【例題3】（24-25高二上·福建寧德·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是以1，3，3，1循環(huán)排列的周期為4的數(shù)列，計(jì)算可得.【詳解】由，可得，又，可得，以此類推可知數(shù)列是以1，3，3，1循環(huán)排列的周期為4的數(shù)列，故知.【例題4】若數(shù)列滿足，，則，．【答案】162【分析】根據(jù)遞推式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列從第7項(xiàng)起是周期數(shù)列，從而可得結(jié)論．【詳解】由題意，，，，，，，，，，…，數(shù)列從第7項(xiàng)起是周期數(shù)列，周期為3，因?yàn)椋?，所以；．故答案為?6；2．【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)?，，，所以，，，，所以?shù)列的周期為4，所以，，所以，故，錯(cuò)誤；，所以，故正確，錯(cuò)誤．【鞏固練習(xí)2】在數(shù)列中，，，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和為9，則．【解答】解：，，，，，可得，同理可得：，即，則．可得：．故答案為：5．【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列滿足且，則（

）A．3 B． C．-2 D．【答案】B【分析】由已知可得數(shù)列遞推式，求出其前面幾項(xiàng)，可得數(shù)列的周期，由此可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列滿足，則，故由，得，由此可知數(shù)列的周期為4，故【鞏固練習(xí)4】（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）若數(shù)列滿足，若，則的值為【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用代數(shù)法可得數(shù)列的周期為，即，，即可得解.【詳解】由已知，則，，可得，進(jìn)而可得，，，即，，所以，【題型7】數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列1．?dāng)?shù)列與函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系：數(shù)列是離散型函數(shù)，自變量是正整數(shù)，定義域是正整數(shù)集及其子集，圖象是一些離散的點(diǎn)；函數(shù)多是連續(xù)型，自變量是實(shí)數(shù)，圖象(除有間斷點(diǎn)的)一般為不間斷的曲線.2．判斷數(shù)列增減性的方法(1)作差比較法：①若恒成立，則數(shù)列是遞增數(shù)列；②若恒成立，則數(shù)列是遞減數(shù)列；③若恒成立，則數(shù)列是常數(shù)列．(2)作商比較法：①若，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列①若，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列．②若an＜0，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列．【例題1】下列數(shù)列是遞減數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)方法依次判斷每個(gè)選項(xiàng)數(shù)列的增減性得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：為遞增數(shù)列；對(duì)選項(xiàng)B：為遞減數(shù)列；對(duì)選項(xiàng)C：，先增后減數(shù)列；對(duì)選項(xiàng)D：，先減后增數(shù)列.【例題2】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)條件，可得對(duì)恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，化簡(jiǎn)解出即可.【詳解】因?yàn)闉檫f減數(shù)列，，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以【例題3】（23-24高二下·青海海西·期中）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意有，解得的取值范圍；【詳解】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列可得，對(duì)于都有成立，即對(duì)都成立，所以．（或通過(guò)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解）【例題4】（24-25高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)，若是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，列出不等式組求解即可.【詳解】解：由已知得，即，解得.【例題5】首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足，若對(duì)一切，都有，則的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)給定的恒成立的不等式及遞推公式，列出關(guān)于的不等式，求解作答.【詳解】因?yàn)?，又?duì)一切，都有成立，因此對(duì)一切，，解得或?qū)σ磺谐闪ⅲ谑腔?，又?jǐn)?shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，即有或，所以的取值范圍為.【鞏固練習(xí)1】（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得.【詳解】因?yàn)椋覕?shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列的單調(diào)性求解．【詳解】由題意，解得.【鞏固練習(xí)3】已知通項(xiàng)公式為的數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】依題意有，解得，求出即可得k的取值范圍.【詳解】，若為遞增數(shù)列，則，有，解得，則，時(shí)，所以，則k的取值范圍為.【鞏固練習(xí)4】已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用遞增數(shù)列滿足，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以由，得到，所以“?shù)列是遞增數(shù)列”的充要條件是【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意，都有則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分段情況下，對(duì)任意，都有，只需保證每一段遞增，且，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得，即，∵且，，∴，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若對(duì)任意，都有，則且，即且，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題型8】確定最大（?。┑捻?xiàng)求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．(2)可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式組找到數(shù)列的最小項(xiàng)．【例題1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，判斷該數(shù)列的單調(diào)性，并求出這個(gè)數(shù)列的最小項(xiàng)．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】寫出通項(xiàng)公式的分段形式，直接判斷數(shù)列單調(diào)性，進(jìn)而確定最小項(xiàng).【詳解】令，則，故時(shí)，所以，故該數(shù)列的先遞減后遞增【例題2】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).【答案】【分析】通過(guò)列舉法進(jìn)行觀察，然后利用差比較法比較求得正確答案.【詳解】依題意，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).【例題3】（高二下·遼寧遼陽(yáng)·期末）在數(shù)列中，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得，從而可得答案.【詳解】由題意可得．根據(jù)對(duì)勾函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上遞增，在上遞減，所以在中，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，所以的最大值是．【鞏固練?xí)1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則當(dāng)最小時(shí)，（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)給定的通項(xiàng)公式，探討數(shù)列的單調(diào)性，求出最小時(shí)的n值作答.【詳解】數(shù)列中，，則，而，于是當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小.【鞏固練習(xí)2】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，試問(wèn)數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】數(shù)列的第8項(xiàng)和第9項(xiàng)為最大項(xiàng)，其值為．【分析】根據(jù)題意，計(jì)算，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是，數(shù)列的第8項(xiàng)和第9項(xiàng)為最大項(xiàng)，且【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和為，則取最小值時(shí)n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由已知可推得當(dāng)時(shí)，.又，即可得出答案.【詳解】解可得，或，即或.所以，當(dāng)時(shí)，.又，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.【題型9】累乘法求通項(xiàng)公式型如的數(shù)列遞推關(guān)系可以利用累乘法求通項(xiàng)公式，其中可能為常數(shù)，分式等【例題1】已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用累乘法即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，上述各式相乘得，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.【例題2】已知，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【分析】由已知遞推式可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，，……，（），所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)橐矟M足上式，所以【鞏固練習(xí)1】數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合遞推式特征，利用累乘法算出，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以【鞏固練?xí)2】已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果【詳解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【解答】解：，，，，，，，，累乘可得，，故答案為：【題型10】累加法求通項(xiàng)公式型如的數(shù)列遞推關(guān)系可以利用累乘法求通項(xiàng)公式，其中可能為常數(shù)，分式，對(duì)數(shù)型函數(shù)，一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，根式等【例題1】數(shù)列滿足，則．【解答】解：數(shù)列中，，，累加可得，．【例題2】在數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可以采用累加法進(jìn)行求解.【詳解】由，則，，，，…，以上各式累加得．所以．因?yàn)橐策m合上式，所以．【例題3】（24-25高二上·山東·期中）在數(shù)列中，，且，則.【答案】5【分析】用累加法求解.【詳解】，，…，各式累加得.【例題4】已知數(shù)列滿足，，則.【答案】，【分析】利用累加法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?所以，，…，以上各式相加，得：所以又也符合上式，所以，.故答案為：，【鞏固練習(xí)1】已知數(shù)列滿足：，則________【答案】【分析】應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，再求出對(duì)應(yīng)項(xiàng).【詳解】由題設(shè)，……，，，累加可得且，則，所以.【鞏固練習(xí)2】根據(jù)條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．，；【答案】【分析】將遞推公式移項(xiàng)，觀察移項(xiàng)后的數(shù)列規(guī)律，利用累加法求得通項(xiàng)公式.【詳解】∵，∴，其中∴．又適合上式，故．【鞏固練習(xí)3】已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】先把，利用累加法和裂項(xiàng)相消法可求答案.【分析】因?yàn)椋?，則當(dāng)，時(shí)，，將個(gè)式子相加可得，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以，，【鞏固練習(xí)4】在數(shù)列中，已知，且，則．【答案】【分析】由累加法和裂項(xiàng)相消法求通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】由可得：，．【鞏固練習(xí)5】已知數(shù)列滿足，，求.【答案】，【分析】運(yùn)用累加法計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以.又也符合上式，所以，.【題型11】遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例題1】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知自然界中存在某種昆蟲(chóng)，其在幼蟲(chóng)期到成蟲(chóng)期這個(gè)時(shí)間段內(nèi)會(huì)伴隨著蛻皮和生長(zhǎng)的交替，該種昆蟲(chóng)最開(kāi)始的身體長(zhǎng)度記為，其在發(fā)育過(guò)程中先蛻皮，身體總長(zhǎng)度減少，此時(shí)昆蟲(chóng)的長(zhǎng)度記為；蛻皮之后，迅速生長(zhǎng)，當(dāng)身體總長(zhǎng)度增加了蛻皮后那一時(shí)刻的，此時(shí)昆蟲(chóng)的長(zhǎng)度記為，然后進(jìn)入下一次蛻皮，以此類推．若，則（

）A．18 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意確定之間的關(guān)系以及與的關(guān)系即可得所求.【詳解】由題意可知，，，，所以.【例題2】代大詩(shī)人李白喜好飲酒作詩(shī)，民間有“李白斗酒詩(shī)百篇”之說(shuō).《算法統(tǒng)宗》中記載了一個(gè)“李白沽酒”的故事.詩(shī)云：今攜一壺酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店飲半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游時(shí)，做出這樣一條約定：遇見(jiàn)朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍（假定每次加酒不會(huì)溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根據(jù)這個(gè)規(guī)則，若李白酒壺中原來(lái)有酒6升，將李白在第5家店飲酒后所剩酒量是（

）A．37升 B．21升 C．26升 D．32升【答案】A【分析】先根據(jù)題意將李白在每家店飲酒后所剩酒量構(gòu)造成一個(gè)數(shù)列，進(jìn)一步根據(jù)題意列出關(guān)于數(shù)列的遞推公式，進(jìn)一步計(jì)算出首項(xiàng)的值，然后根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)代入即可得到的值，即李白在第5家店飲酒后所剩酒量.【詳解】由題意，可將李白在每家店飲酒后所剩酒量構(gòu)造成一個(gè)數(shù)列，則李白在每家店飲酒后所剩酒量均為在前一家店飲酒后所剩酒量的2倍減去5，即，，，.故李白在第5家店飲酒后所剩酒量是37升.【鞏固練習(xí)1】（23-24高三上·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）“三分損益法”是古代中國(guó)發(fā)明的制定音律時(shí)所用的生律法.例如：假設(shè)能發(fā)出第一個(gè)基準(zhǔn)音的樂(lè)器的長(zhǎng)度為36，那么能發(fā)出第二個(gè)基準(zhǔn)音的樂(lè)器的長(zhǎng)度為，能發(fā)出第三個(gè)基準(zhǔn)音的樂(lè)器的長(zhǎng)度為，……，也就是依次先減少三分之一，后增加三分之一，以此類推.現(xiàn)有一興趣小組采用此規(guī)律構(gòu)造了一個(gè)共12項(xiàng)的數(shù)列用來(lái)研究數(shù)據(jù)的變化，已知，則（

）A．324 B．297 C．256 D．168【答案】A【分析】根據(jù)“三分損益法”的規(guī)律可得出數(shù)列中各項(xiàng)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.【詳解】由損益規(guī)律可知，即，解得.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知自然界中存在某種昆蟲(chóng)，其在幼蟲(chóng)期到成蟲(chóng)期這個(gè)時(shí)間段內(nèi)會(huì)伴隨著蛻皮和生長(zhǎng)的交替，該種昆蟲(chóng)最開(kāi)始的身體長(zhǎng)度記為a1，其在發(fā)育過(guò)程中先蛻皮，身體總長(zhǎng)度減少13，此時(shí)昆蟲(chóng)的長(zhǎng)度記為a2；蛻皮之后，迅速生長(zhǎng)，當(dāng)身體總長(zhǎng)度增加了蛻皮后那一時(shí)刻的13，此時(shí)昆蟲(chóng)的長(zhǎng)度記為a3，然后進(jìn)入下一次蛻皮，以此類推．若aA．18 B．272 C．814 D【解題思路】根據(jù)題意確定a2,a3【解答過(guò)程】由題意可知，a2a3a4所以a1【鞏固練習(xí)3】生物學(xué)家在研究植物的生長(zhǎng)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)某種樹(shù)苗的生長(zhǎng)規(guī)律為：樹(shù)苗在第1年長(zhǎng)出一條新枝，新枝一年后成長(zhǎng)為老枝，老枝以后每年都長(zhǎng)出一條新枝，每條樹(shù)枝都按照這個(gè)規(guī)律生長(zhǎng)，則第10年的樹(shù)枝條數(shù)為（

）A．56 B．55 C．54 D．34【解題思路】設(shè)第n年共有an條樹(shù)枝，結(jié)合題意可得a1=1，a2=1，【解答過(guò)程】設(shè)第n年共有an條樹(shù)枝，則有a1=1第三年開(kāi)始，新枝變老枝，繼續(xù)生長(zhǎng)，則當(dāng)n≥3時(shí)，an故有a=21a【題型12】斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列本來(lái)也屬于遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，但是其比較特殊，所以單獨(dú)作為一類題型，而且2024新高考一卷的單選壓軸也涉及到了斐波那契數(shù)列【斐波那契數(shù)列性質(zhì)總結(jié)】性質(zhì)1、前n項(xiàng)和：性質(zhì)2、奇數(shù)項(xiàng)和：偶數(shù)項(xiàng)和：性質(zhì)3、平方性質(zhì)：平方和性質(zhì)：性質(zhì)4、中項(xiàng)性質(zhì)：性質(zhì)5、余數(shù)列周期性：被2除的余數(shù)列周期為3：1，1，0，．．．．．．．被3除的余數(shù)列周期為8：1，1，2，0，2，2，1，0，．．．．．．．被4除的余數(shù)列周期為6：1，1，2，3，1，0，．．．．．．．性質(zhì)6、斐波那契不等式：性質(zhì)7、質(zhì)數(shù)數(shù)量：每3個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有1個(gè)能被2整除；每4個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有1個(gè)能被3整除；每5個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有1個(gè)能被5整除；性質(zhì)8、兩倍數(shù)關(guān)系：性質(zhì)9、下標(biāo)為3的倍數(shù)的項(xiàng)之和：性質(zhì)10、是等比數(shù)列【例題1】（23-24高二上·浙江紹興·期末）斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式，，累加即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推公式，可得.【例題2】（23-24高二上·浙江寧波·期末）數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列1，1，2，3，5，8其中從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則下列各式中正確的選項(xiàng)為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)“斐波那契數(shù)列”的定義以及數(shù)列求和等知識(shí)求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，所以D選項(xiàng)正確.【例題3】（23-24高二下·四川成都·期中）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，……．，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．已知數(shù)列，，，（），記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用數(shù)列易得，判斷A；計(jì)算可得判斷B；計(jì)算可得判斷C；由，