2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市山東師大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東師大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={?3,?2,0,2}，B={x||x?1|<2}，則A∩B=(

)A.{?2,0} B.{0,2} C.{?2,2} D.{?2,0,2}2.若命題“?x∈R，使得ax+2=0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的范圍為(

)A.{a|a>0} B.{a|a>2}

C.{0} D.{a|a>2，或a=0}3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(|x|)+1的大致圖象是(

)A.B.

C.D.4.已知冪函數(shù)f(x)=(m2+m?1)xmA.12 B.2 C.145.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??3,4)，則函數(shù)g(x)=f(x+1)3x?1的定義域?yàn)锳.(13,3) B.(13,4)6.函數(shù)f(x)=(?a?5)x?2,x≥2x2+2(a?1)x?3a,x<2，若對(duì)任意x1，x2∈R(xA.[?4,?1] B.[?4,?2] C.(?5,?1] D.[?5,?4]7.已知正數(shù)x，y滿足1x+1+2y=1，則A.8 B.7 C.6 D.58.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(?∞,0)上單調(diào)遞增，若f(?2)=0，則(x+1)(f(x)?2f(?x))<0的解集是(

)A.(?2,0)∪(0,2) B.(?2,0)∪(1,2) C.(?2,?1)∪(0,2) D.(?2,?1)∪(1,2)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若集合A，B，U滿足A∩(?UB)=?，則A.A∩B=A B.A∪B=U C.A∪(?UB)=U10.若a>b>0，則下列不等式中不成立的是(

)A.a+1a>b+1b B.a?111.取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，…，將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.某數(shù)學(xué)小組類比拓?fù)鋵W(xué)中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間[0,1]上的函數(shù)f(x)，規(guī)定其具有以下性質(zhì)：①任意0≤x1<x2≤1，f(x1A.f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增 B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(12,12)對(duì)稱

C.當(dāng)x=116三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，x>0時(shí)，f(x)=x2?2x?3，則x<0時(shí)，f(x)=13.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+y?xy=0，若不等式xy≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．14.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以“高斯”命名的數(shù)學(xué)概念、定理、公式有很多，比如我們教材中所學(xué)習(xí)的“高斯函數(shù)y=[x]”其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2]=2，[3.7]=3，[?2.1]=?3.現(xiàn)有函數(shù)f(x)=|2x?[2x+t]|，如果該函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

計(jì)算化簡下列各式：

(1)化簡：13×823+(27125)?13+(2?5)216.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=mx2?(m?1)x+m?2(m∈R)．

(1)若不等式f(x)≥0恒成立，求m的取值范圍；

(2)解不等式f(x)≥m?117.(本小題15分)

如圖，在周長為8的矩形ABCD中(其中AB>AD)，現(xiàn)將△ABC沿AC折疊到△AB′C，設(shè)AB′與CD交于點(diǎn)E，設(shè)AB=x．

(1)求證：△B′EC的周長為定值；

(2)試用x表示B′E的長，并求x的取值范圍；

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，△B′EC的面積S取得最大值，并求出該最大值．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x+a+bx2?1是定義域?yàn)??1,a)的奇函數(shù)．

(1)求出f(x)的解析式；

(2)判斷f(x)在區(qū)間(?1,1)上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明該結(jié)論；

(3)19.(本小題17分)

設(shè)a，b∈R，若函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都滿足f(x)+f(2a?x)=2b，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱；反之，若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都滿足f(x)+f(2a?x)=2b.已知函數(shù)g(x)=5x+3x+1．

(Ⅰ)證明：函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,5)對(duì)稱；

(Ⅱ)已知函數(shù)?(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，?(x)=x2?mx+m+1.若對(duì)任意的x1∈[0,2]，總存在x參考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.A

6.A

7.C

8.C

9.AD

10.ACD

11.BCD

12.?x13.(?∞,4]

14.[115.解：(1)原式=13×23×23+(35)3×(?13)+(5?2)

=43+53+5?2

=1+5；

(2)因?yàn)?x116.解：(1)函數(shù)f(x)=mx2?(m?1)x+m?2(m∈R)，

因?yàn)椴坏仁絝(x)≥0恒成立，

即不等式mx2?(m?1)x+m?2≥0恒成立，

當(dāng)m=0時(shí)，不等式即為x?2≥0，顯然不成立，舍去；

當(dāng)m≠0時(shí)，要使得f(x)≥0恒成立，

則滿足m>0Δ=(m?1)2?4m(m?2)≤0，

即m>03m2?6m?1≥0，

解得m≥3+233，

即m的取值范圍為[3+233,+∞)；

(2)由不等式f(x)≥m?1，可得mx2?(m?1)x+m?2≥m?1，

即mx2?(m?1)x?1≥0，

若m=0時(shí)，不等式即為x?1≥0，解得x≥1，不等式的解集為[1,+∞)；

若m≠0時(shí)，不等式可化為m(x?1)(mx+1)=m(x?1)(x+1m)≥0(x+1m)≥0，

①當(dāng)m>0時(shí)，不等式等價(jià)于(x?1)(x+1m)≥0，解得x≤?1m或x≥1，

不等式的解集為(?∞,?1m]∪[1,+∞)；

②當(dāng)m<0時(shí)，不等式等價(jià)于(x?1)(x+1m)≤0，

當(dāng)?1m>1時(shí)，即?1<m<0時(shí)，解得1≤x≤?1m，不等式的解集為[1,?117.解：(1)證明：由題意可知∠AED=∠CEB′，∠ADE=∠CB′E，AD=CB′，

所以△ADE≌△CB′E，

所以AE=CE，AD=CB′，DE=B′E，

所以CE+CB′+B′E=CE+AD+DE=AD+DC=82=4(定值)，

所以△B′EC的周長為定值4．

(2)由折疊可知AB′=AE+B′E=AB=x，

所以AE=x?B′E，即CE=x?B′E，

由(1)知CE++CB′+B′E=4，

即(x?B′E)+CB′+B′E=4，所以CB′=4?x，

在直角△B′EC中，由勾股定理可得B′E2+B′C2=CE2，

即B′E2+(4?x)2=(x?B′E)2，

化簡得B′E=4?8x，

因?yàn)锳B>AD，AB+AD=4，

所以x>4?x且x<4，即2<x<4，

所以B′E=4?8x，x∈(2,4)．

(3)在Rt△B′EC中，18.解：(1)由x2?1≠0，得x≠±1，

而函數(shù)f(x)=x+a+bx2?1是定義域?yàn)??1,a)的奇函數(shù)，可得a=1，

則f(x)=x+1+bx2?1，

由f(x)+f(?x)=0，可得x+1+bx2?1+?x+1+bx2?1=2+2bx2?1=0，解得b=?1，

∴f(x)=xx2?1；

(2)f(x)在區(qū)間(?1,1)上單調(diào)遞增，證明如下：

?x1，x2∈(?1,1)，且x1<x2，

則f(x1)?f(x2)=x1x12+1?x219.解：(Ⅰ)∵g(x)=5x+3x+1，x∈(?∞,?1)∪(?1,+∞)，

∴g(?2?x)=5x+7x+1．

∴g(x)+g(?2?x)=5x+3x+1+5x+7x+1=10．

即對(duì)任意的x∈(?∞,?1)∪(?1,+∞)，都有g(shù)(x)+g(?2?x)=10成立．

∴函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,5)對(duì)稱．

(Ⅱ)∵g(x)=5x+3x+1=5?2x+1，易知g(x)在(?23,1)上單調(diào)遞增．

∴g(x)在x∈[?23,1]時(shí)的值域?yàn)閇?1,4]．

記函數(shù)y=?(x)，x∈[0,2]的值域?yàn)锳．

若對(duì)任意的x1∈[0,2]，總存在x2∈[?23,1]，使得?(x1)=g(x2)成立，則A?[?1,4]．

∵x∈[0,1]時(shí)，?(x)=x2?mx+m+1，

∴?(1)=2，即函數(shù)?(x)的圖象過對(duì)稱中心(1,2)．

(i)當(dāng)m2≤0，即m≤0時(shí)，函數(shù)?(x)在(0,1)上單調(diào)遞增．由對(duì)稱性知，?(x)在(1,2)上單調(diào)遞增．

∴函數(shù)?(x)在(0,2)上單調(diào)遞增．

易知?(0)=m+1.又?(0)+?(2)=4，∴?(2)=3?m，則A=[m+1,3?m]．

由A?[?1,4]，得?1≤m+14≥3?mm≤0，解得