數(shù)學學案：課堂探究實數(shù)指數(shù)冪及其運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一簡單的指數(shù)冪運算1．對于既含有分數(shù)指數(shù)冪，又含有根式的式子，一般把根式統(tǒng)一化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，以便于計算．如果根式中的根指數(shù)不同，也應(yīng)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式．2．對于計算題的結(jié)果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既含有分母又含有負指數(shù)．【典型例題1】計算:（1)；（2）；(3）；（4）(2a＋1）0；（5)。思路分析：在冪的運算中，首先觀察冪的底數(shù)，如果冪的底數(shù)能化成冪的形式時(如(1)(2）（3)），就先把冪的底數(shù)寫成冪的形式，再進行冪的乘、除、乘方、開方運算，這樣比較簡便．在冪的運算中，對于形如m0的式子，要注意對底數(shù)m是否為零進行討論，因為只有在m≠0時，m0才有意義;而對于形如的式子,我們一般是先變形為，然后再進行運算．解：（1）＝＝＝＝。(2)＝＝0.2－2＝＝52＝25。(3)＝＝＝＝.(4)（2a＋1）0＝(5)＝＝＝－。探究二利用根式的性質(zhì)化簡或求值1．n次方根的個數(shù)及符號的確定任意實數(shù)的奇次方根只有一個，正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)，0的任何次方根都是0.2．根式化簡注意事項(1）解決根式的化簡問題，首先要分清根式是奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質(zhì)進行化簡．（2)注意正確區(qū)分與.【典型例題2】(1)計算下列各式：①;②；③；④（a>b)．(2)化簡下列各式:①;②；③;④;⑤。解：（1)①＝5.②＝－2。③＝｜－2|＝2。④∵a〉b，∴＝｜a－b｜＝a－b.（2）①＝＝＝＝＝.②＝＝＝。③＝－＝－＝－。④＝＝x2。⑤＝＝＝.探究三根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化根式與分數(shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律1．根指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)（式）的指數(shù)分數(shù)指數(shù)的分子．2．在具體計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,然后利用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題．3．當所求根式含有多重根號時,應(yīng)先由里向外用分數(shù)指數(shù)冪的形式寫出,然后進行化簡．【典型例題3】(1）5－化為根式形式為__________；(2）(b>0）化為分數(shù)指數(shù)冪的形式為__________；(3)(x≠0）化為分數(shù)指數(shù)冪的形式為__________．解析：（1)原式＝＝.(2)原式＝＝＝.(3）原式＝＝＝＝＝＝。答案：(1）(2）(3)探究四知值求值問題已知代數(shù)式的值求其他代數(shù)式的值,通常又簡稱為“知值求值"，解決此類題目要從整體上把握已知的代數(shù)式和所求的代數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換"兩種方法求值．要注意正確地變形，對平方立方等一些常用公式要熟練應(yīng)用．【典型例題4】已知x＋y＝12，xy＝9,且x〈y，求的值．思路分析：觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的特點可知,＝x，＝y(tǒng)。于是聯(lián)想到用完全平方公式，把公式的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就變成了用x＋y，xy表示的代數(shù)式．解:∵x＋y＝12，xy＝9,∴（x－y）2＝(x＋y）2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x〈y，∴x－y＝－6.∴＝＝＝＝－.探究五易錯辨析易錯點忽視運算法則的適