數(shù)學學案：課堂探究直線方程的概念與直線的斜率

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一直線的傾斜角求直線的傾斜角的方法及注意點．（1)方法：結合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形）求角．(2）兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°；當直線與x軸垂直時，傾斜角為90°；②注意直線傾斜角的取值范圍．【典型例題1】(1）直線x＝－1的傾斜角為()A．135°B．90°C．45°D．0°解析：因為直線與x軸垂直，所以傾斜角為90°．答案：B（2)下列說法正確的是（）A．一條直線和x軸的正方向所成的角,叫做這條直線的傾斜角B．直線的傾斜角α在第一或第二象限C．和x軸平行的直線,它的傾斜角為0°D．不是每一條直線都有傾斜角解析：傾斜角的定義是直線向上的方向和x軸正方向所成的角,故A錯誤；傾斜角的范圍是0°≤α〈180°，故B錯誤；和x軸平行的直線的傾斜角是0°，故C正確；每條直線都有傾斜角,故D錯誤．答案：C探究二求直線的斜率1．若兩點的橫坐標相等，則直線的斜率不存在．2．若兩點的橫坐標不相等,則將兩點的坐標代入斜率計算公式．當兩點的坐標中有字母時,要注意分類討論．【典型例題2】已知直線l經(jīng)過兩點A（2，－1),B（t，4），求直線l的斜率．思路分析:點B的坐標中含參數(shù)t，注意分類討論．解：(1）當t＝2時，直線l與x軸垂直,所以直線l的斜率不存在．（2)當t≠2時，直線l的斜率k＝＝，所以綜上所述，當t＝2時,直線l的斜率不存在；當t≠2時，直線l的斜率k＝．探究三斜率公式的綜合應用利用直線的斜率公式可以解決以下幾類問題：(1）若已知直線的斜率或直線斜率間的關系，可求直線所過點的坐標中參數(shù)的值．（2）可以判斷三點是否共線．已知三點A，B，C，若過A,B兩點的直線的斜率與過A，C兩點的直線的斜率相等,此時A，B，C三點共線．【典型例題3】(1)若過點P(1－a，1＋a)與Q（3，2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：因為直線的傾斜角為鈍角，所以直線的斜率小于0，即kPQ＝＝〈0，所以－2〈a〈1．答案：－2<a<1(2)求證A（1,5)，B(0,2），C(2，8）三點共線．證明：(方法一）利用斜率公式計算出AB和AC兩條直線的斜率,kAB＝＝3，kAC＝＝3．因為直線AB和AC的斜率相同,又直線AB和AC過同一點A，所以A，B，C三點共線．（方法二）因為|AB｜＝＝，|AC|＝＝，｜BC｜＝＝，即|AB｜＋|AC｜＝｜BC｜，所以A，B，C三點共線．【典型例題4】已知實數(shù)x,y滿足y＝－2x＋8,且2≤x≤3，求的最大值和最小值．思路分析：根據(jù)的幾何意義，本題的實質是求線段y＝－2x＋8(2≤x≤3)上的點與原點連線的斜率的最值．解:如圖,由已知得，點P(x，y）在線段AB上運動,其中A（2,4），B(3,2)，而＝，其幾何意義為直線OP的斜率．設直線OA，OB,OP的斜率分別為kOA，kOB，kOP．由圖可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝eq\f(2，3)，kOA＝2．故所求的eq\f（y，x)的最大值為2，最小值為eq\f（2，3)．點評利用斜率公式解決代數(shù)問題的關鍵是：根據(jù)題目中代數(shù)式的特征，看是否可以寫成(x1≠x2)的形式，從而聯(lián)想其幾何意義（即直線的斜率）,再利用幾何圖形的直觀性來分析解決問題．探究四易錯辨析易錯點:忽視了傾斜角的范圍而致誤【典型例題5】設直線l過原點，其傾斜角為α，將直線l繞坐標原點按逆時針方向旋轉30°,得到直線l1，則直線l1的傾斜角為(）A．α＋30°B．α－150°C．150°－αD．當0°≤α〈150°時為α＋30°，當150°≤α〈180°時為α－150°錯解：直線l按逆時針方向旋轉30°，結合傾斜角的定義及旋轉角的概念可知l1的傾斜角為α＋30°．答案：A錯因分析：沒有考慮到α＋30°會大于或等于180°，這樣就不滿足傾斜角θ的范圍為0°≤θ〈180°了．正解：要分類討