數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究直線方程的概念與直線的斜率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一直線的傾斜角求直線的傾斜角的方法及注意點(diǎn)．（1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形）求角．(2）兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°；當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°；②注意直線傾斜角的取值范圍．【典型例題1】(1）直線x＝－1的傾斜角為()A．135°B．90°C．45°D．0°解析：因?yàn)橹本€與x軸垂直，所以傾斜角為90°．答案：B（2)下列說(shuō)法正確的是（）A．一條直線和x軸的正方向所成的角,叫做這條直線的傾斜角B．直線的傾斜角α在第一或第二象限C．和x軸平行的直線,它的傾斜角為0°D．不是每一條直線都有傾斜角解析：傾斜角的定義是直線向上的方向和x軸正方向所成的角,故A錯(cuò)誤；傾斜角的范圍是0°≤α〈180°，故B錯(cuò)誤；和x軸平行的直線的傾斜角是0°，故C正確；每條直線都有傾斜角,故D錯(cuò)誤．答案：C探究二求直線的斜率1．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，則直線的斜率不存在．2．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等,則將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率計(jì)算公式．當(dāng)兩點(diǎn)的坐標(biāo)中有字母時(shí),要注意分類討論．【典型例題2】已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（2，－1),B（t，4），求直線l的斜率．思路分析:點(diǎn)B的坐標(biāo)中含參數(shù)t，注意分類討論．解：(1）當(dāng)t＝2時(shí)，直線l與x軸垂直,所以直線l的斜率不存在．（2)當(dāng)t≠2時(shí)，直線l的斜率k＝＝，所以綜上所述，當(dāng)t＝2時(shí),直線l的斜率不存在；當(dāng)t≠2時(shí)，直線l的斜率k＝．探究三斜率公式的綜合應(yīng)用利用直線的斜率公式可以解決以下幾類問(wèn)題：(1）若已知直線的斜率或直線斜率間的關(guān)系，可求直線所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)中參數(shù)的值．（2）可以判斷三點(diǎn)是否共線．已知三點(diǎn)A，B，C，若過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線的斜率與過(guò)A，C兩點(diǎn)的直線的斜率相等,此時(shí)A，B，C三點(diǎn)共線．【典型例題3】(1)若過(guò)點(diǎn)P(1－a，1＋a)與Q（3，2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)橹本€的傾斜角為鈍角，所以直線的斜率小于0，即kPQ＝＝〈0，所以－2〈a〈1．答案：－2<a<1(2)求證A（1,5)，B(0,2），C(2，8）三點(diǎn)共線．證明：(方法一）利用斜率公式計(jì)算出AB和AC兩條直線的斜率,kAB＝＝3，kAC＝＝3．因?yàn)橹本€AB和AC的斜率相同,又直線AB和AC過(guò)同一點(diǎn)A，所以A，B，C三點(diǎn)共線．（方法二）因?yàn)閨AB｜＝＝，|AC|＝＝，｜BC｜＝＝，即|AB｜＋|AC｜＝｜BC｜，所以A，B，C三點(diǎn)共線．【典型例題4】已知實(shí)數(shù)x,y滿足y＝－2x＋8,且2≤x≤3，求的最大值和最小值．思路分析：根據(jù)的幾何意義，本題的實(shí)質(zhì)是求線段y＝－2x＋8(2≤x≤3)上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最值．解:如圖,由已知得，點(diǎn)P(x，y）在線段AB上運(yùn)動(dòng),其中A（2,4），B(3,2)，而＝，其幾何意義為直線OP的斜率．設(shè)直線OA，OB,OP的斜率分別為kOA，kOB，kOP．由圖可知kOB≤kOP≤kOA，而kOB＝eq\f(2，3)，kOA＝2．故所求的eq\f（y，x)的最大值為2，最小值為eq\f（2，3)．點(diǎn)評(píng)利用斜率公式解決代數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是：根據(jù)題目中代數(shù)式的特征，看是否可以寫(xiě)成(x1≠x2)的形式，從而聯(lián)想其幾何意義（即直線的斜率）,再利用幾何圖形的直觀性來(lái)分析解決問(wèn)題．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):忽視了傾斜角的范圍而致誤【典型例題5】設(shè)直線l過(guò)原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°,得到直線l1，則直線l1的傾斜角為(）A．α＋30°B．α－150°C．150°－αD．當(dāng)0°≤α〈150°時(shí)為α＋30°，當(dāng)150°≤α〈180°時(shí)為α－150°錯(cuò)解：直線l按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°，結(jié)合傾斜角的定義及旋轉(zhuǎn)角的概念可知l1的傾斜角為α＋30°．答案：A錯(cuò)因分析：沒(méi)有考慮到α＋30°會(huì)大于或等于180°，這樣就不滿足傾斜角θ的范圍為0°≤θ〈180°了．正解：要分類討