數(shù)學(xué)學(xué)案：空間向量的基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修2—1第三章3.1.2空間向量的基本定理1．了解共線或平行向量的概念，向量共面的意義,掌握它們的表示方法．2．了解空間向量共線、共面和分解定理,會(huì)選擇適當(dāng)基底表示空間向量．3．會(huì)用本節(jié)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題．1．共線向量定理兩個(gè)空間向量a，b(b≠0),a∥b的充要條件是________的實(shí)數(shù)x，使________．對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b（b≠0），共線向量定理可分解為以下兩個(gè)命題:①a∥b?存在唯一實(shí)數(shù)x使a＝xb;②存在唯一實(shí)數(shù)x,使a＝xb?a∥b。【做一做1】m＝a＋b，n＝－3b－3a，則m與n共線嗎？2．共面向量定理(1)向量a平行于平面:向量a的基線平行于平面α或________,則稱向量a平行于平面α，記作________．(2)共面向量定義：__________的向量，叫做共面向量．【做一做2－1】空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量嗎？請(qǐng)舉例說明．(3)共面向量定理．如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是：________的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使______________．（4)三個(gè)向量共面，又稱這三個(gè)向量________．(1)a∥α是指a的基線在平面α內(nèi)或平行于平面α.(2）共面向量是指這些向量的基線平行或在同一平面內(nèi),共面向量的基線可能相交、平行或異面．（3)共面向量的定理給出了平面的向量表示，說明任意一個(gè)平面可以由兩個(gè)不共線的平面向量表示出來，它既是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù),又是已知共面條件的另一種形式，可以借此已知共面條件化為向量式,以便向量的運(yùn)算．（4)利用共面向量定理可證明點(diǎn)線共面、線面平行等．【做一做2－2】若向量a，b不共線，p＝2b,m＝a＋b,n＝a－b，那么p,m，n共面嗎？3．空間向量分解定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)______的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝__________.這時(shí)不共面的三個(gè)向量a，b,c叫做空間向量的一個(gè)______，記作________．【做一做3】已知空間向量的一個(gè)基底｛a，b，c}，m＝a＋b，n＝a－b，則a，b,c中能與m，n構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底的是__________．（1)用空間三個(gè)不共面的已知向量組｛a，b,c｝可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．(2）空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底．(3）由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面,就隱含它們都不是0。(4)一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．1．如何理解共線向量定理與共面向量定理？剖析：(1）共線向量定理中注意b≠0，否則當(dāng)b＝0時(shí),若a≠0，顯然a∥b,但是不存在唯一的實(shí)數(shù)x，使a＝xb，從而“存在唯一的實(shí)數(shù)x，使a＝xb"不再是a∥b的充要條件．（2)向量與平面平行,向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線與平面平行時(shí)兩者是沒有公共點(diǎn)的．（3）共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．（4)空間中任意兩個(gè)向量一定是共面向量．零向量與任意向量共面．2．如何理解空間向量分解定理？剖析：(1)只有三個(gè)向量a，b，c不共面,其線性組合xa＋yb＋zc才能生成所有的空間向量，否則，若向量a，b，c共面，由數(shù)乘向量和向量加法的幾何意義,可知其線性組合xa＋yb＋zc表示的只是與a,b，c共面的向量,而不是空間的任意向量．(2)零向量與任意向量共面,所以零向量不能作為基向量．(3）注意區(qū)分基底與基向量，一個(gè)基底{a，b，c｝中的a，b，c都叫基向量．(4)任意三個(gè)不共面向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底；任意一個(gè)空間的基底都可生成空間的所有向量;每一個(gè)空間向量都可被分解到任意一個(gè)基底中基向量的三個(gè)不同方向；同一個(gè)向量在同一個(gè)基底下的分解式是唯一的．(5)對(duì)空間任一點(diǎn)O,若＝x＋y＋z，則P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是x＋y＋z＝1.題型一空間向量的共線共面概念【例1】下列命題中正確的是(）A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面即它們所在的直線共面C．若向量a，b是非零向量，則a＋b可成為空間向量的一個(gè)基向量D．若存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y,使p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b共面反思:注意理解空間向量共線、共面的意義，重視零向量與任意向量共線、共面,弄清構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底的條件．題型二判定空間向量共面【例2】如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)為AB,CD的中點(diǎn)，求證：與，共面．分析：在圖中找封閉的四邊形，建立向量相等的關(guān)系式．反思:判斷三個(gè)（或以上）向量共面，主要使用空間向量共面定理,即其中一個(gè)向量能用另兩個(gè)向量線性表示即可．通常應(yīng)結(jié)合圖形，選擇其中某兩個(gè)向量作為基向量，其他向量都用這兩個(gè)基向量線性表示．當(dāng)然,必要時(shí)也可選擇目標(biāo)向量以外的一組基底，通過待定系數(shù)法，建立這三個(gè)向量的一個(gè)線性關(guān)系式．題型三空間向量分解定理【例3】已知空間四邊形OABC，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG＝2GN,設(shè)＝a，＝b，＝c，試求向量在基底｛a，b，c｝下的分解式．分析:在△OMG中,將用和表示出來，然后再逐步將和用向量a，b，c來表示．反思：要求某向量m在給定基底{a，b，c｝下的分解式，就是要找到一組有序?qū)崝?shù)x,y,z，使m＝xa＋yb＋zc，一般是尋找一個(gè)包含目標(biāo)向量的封閉多邊形，通過向量的線性運(yùn)算,先建立向量的關(guān)系式，將目標(biāo)向量初步表示出來，然后再逐步將各個(gè)向量用給定的基向量a,b，c來表示即可．1．已知向量a,b不共線，p＝ka＋b，q＝a－k2b，若p，q共線，則k的值是（）A．0B．1C．－1D．22．當(dāng)｜a|＝|b｜≠0，且a，b不共線時(shí)，a＋b與a－b的關(guān)系是()A．共面B．不共面C．共線D．無法確定3．在四面體ABCD中，＝a,＝b,＝c，＝eq\f（1,2），則＝（）A．－a＋eq\f（2，3)b＋eq\f(1，3)cB．a(chǎn)＋eq\f(2,3)b＋eq\f（1,3)cC．a(chǎn)－eq\f(2，3）b＋eq\f（1，3)cD．eq\f(2，3）a－b＋eq\f（1,3)c4．如圖，ABCD–A1B1C1D1是平行六面體，則下列錯(cuò)誤的一個(gè)命題是（）A．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使得＝x＋yB．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使得＝x＋yC．存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得＝x＋y＋zD．存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得＝x＋y＋z5．已知a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j，證明這三個(gè)向量共面．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．存在唯一a＝xb【做一做1】解：∵存在唯一的實(shí)數(shù)x＝－eq\f（1，3)，使m＝－eq\f（1，3)n,∴m∥n，∴m與n共線．2．(1）在平面α內(nèi)a∥α(2)平行于同一平面【做一做2－1】解：空間中的任意三個(gè)向量不一定是共面向量．例如：對(duì)于空間四邊形ABCD,eq\o(AB,\s\up6（→））,eq\o（AC，\s\up6(→)）,eq\o(AD，\s\up6(→))這三個(gè)向量就不是共面向量．(3)存在唯一c＝xa＋yb（4）線性相關(guān)【做一做2－2】分析：利用向量共面的條件，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x＝1，y＝－1，使p＝xm＋yn.解:由于p＝m－n，所以p,m，n共面．3．唯一xa＋yb＋zc基底｛a，b，c}【做一做3】c典型例題·領(lǐng)悟【例1】D對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)b＝0時(shí),a與b共線，b與c共線，但a與c未必共線；對(duì)于選項(xiàng)B，直線共面是指直線在同一平面內(nèi)，而向量共面其基線可平行于平面α而不在平面α內(nèi)，即其基線可以是異面直線；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)a＝－b時(shí)，a＋b＝0，不能成為空間向量的一個(gè)基向量；選項(xiàng)D符合共面向量定理．特別地，如果向量a，b共線,則p與向量a,b共線，仍有p與向量a,b共面．【例2】證明：由題意知,eq\o（EF,\s\up6（→）)＝eq\o(EA，\s\up6（→)）＋eq\o(AD，\s\up6(→）)＋eq\o(DF，\s\up6（→)），①又eq\o（EF,\s\up6（→)）＝eq\o（EB，\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\o(CF,\s\up6（→)），②∵E，F(xiàn)為AB，CD的中點(diǎn)，∴eq\o(EA,\s\up6（→））＝－eq\o（EB,\s\up6（→)），eq\o（DF，\s\up6（→)）＝－eq\o（CF,\s\up6(→)),∴①＋②得：2eq\o(EF,\s\up6（→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6（→）），即eq\o（EF,\s\up6(→）)＝eq\f(1，2)eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\f(1,2）eq\o（BC,\s\up6(→)），∴eq\o(EF,\s\up6（→）)與eq\o(AD，\s\up6(→）），eq\o（BC,\s\up6(→)）共面．【例3】解：如圖所示,由線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式，得eq\o（OG,\s\up6(→）)＝eq\o(OM,\s\up6（→))＋eq\o(MG,\s\up6（→）)＝eq\o(OM,\s\up6（→）)＋eq\f(2，3）eq\o（MN，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）eq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\f(2,3）(eq\o(MO，\s\up6(→)）＋eq\o(OC，\s\up6（→)）＋eq\o(CN，\s\up6(→））)＝eq\f（1，2)a＋eq\f（2,3)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)a＋c＋\f（1，2）b－c）)＝eq\f(1,6）a＋eq\f(1，3）b＋eq\f(1，3）c。隨堂練習(xí)·鞏固1．C若p，q共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)x，使p＝xq,ka＋b＝xa－xk2b。eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝x，1＝－xk