數(shù)學(xué)學(xué)案：空間向量的基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修2—1第三章3.1.2空間向量的基本定理1．了解共線或平行向量的概念，向量共面的意義,掌握它們的表示方法．2．了解空間向量共線、共面和分解定理,會選擇適當基底表示空間向量．3．會用本節(jié)知識解決簡單的立體幾何中的問題．1．共線向量定理兩個空間向量a，b(b≠0),a∥b的充要條件是________的實數(shù)x，使________．對于空間任意兩個向量a，b（b≠0），共線向量定理可分解為以下兩個命題:①a∥b?存在唯一實數(shù)x使a＝xb;②存在唯一實數(shù)x,使a＝xb?a∥b?！咀鲆蛔?】m＝a＋b，n＝－3b－3a，則m與n共線嗎？2．共面向量定理(1)向量a平行于平面:向量a的基線平行于平面α或________,則稱向量a平行于平面α，記作________．(2)共面向量定義：__________的向量，叫做共面向量．【做一做2－1】空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明．(3)共面向量定理．如果兩個向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是：________的一對實數(shù)x，y，使______________．（4)三個向量共面，又稱這三個向量________．(1)a∥α是指a的基線在平面α內(nèi)或平行于平面α.(2）共面向量是指這些向量的基線平行或在同一平面內(nèi),共面向量的基線可能相交、平行或異面．（3)共面向量的定理給出了平面的向量表示，說明任意一個平面可以由兩個不共線的平面向量表示出來，它既是判斷三個向量是否共面的依據(jù),又是已知共面條件的另一種形式，可以借此已知共面條件化為向量式,以便向量的運算．（4)利用共面向量定理可證明點線共面、線面平行等．【做一做2－2】若向量a，b不共線，p＝2b,m＝a＋b,n＝a－b，那么p,m，n共面嗎？3．空間向量分解定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個______的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝__________.這時不共面的三個向量a，b,c叫做空間向量的一個______，記作________．【做一做3】已知空間向量的一個基底｛a，b，c}，m＝a＋b，n＝a－b，則a，b,c中能與m，n構(gòu)成空間向量的一個基底的是__________．（1)用空間三個不共面的已知向量組｛a，b,c｝可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．(2）空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底．(3）由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面,就隱含它們都不是0。(4)一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．1．如何理解共線向量定理與共面向量定理？剖析：(1）共線向量定理中注意b≠0，否則當b＝0時,若a≠0，顯然a∥b,但是不存在唯一的實數(shù)x，使a＝xb，從而“存在唯一的實數(shù)x，使a＝xb"不再是a∥b的充要條件．（2)向量與平面平行,向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線與平面平行時兩者是沒有公共點的．（3）共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．（4)空間中任意兩個向量一定是共面向量．零向量與任意向量共面．2．如何理解空間向量分解定理？剖析：(1)只有三個向量a，b，c不共面,其線性組合xa＋yb＋zc才能生成所有的空間向量，否則，若向量a，b，c共面，由數(shù)乘向量和向量加法的幾何意義,可知其線性組合xa＋yb＋zc表示的只是與a,b，c共面的向量,而不是空間的任意向量．(2)零向量與任意向量共面,所以零向量不能作為基向量．(3）注意區(qū)分基底與基向量，一個基底{a，b，c｝中的a，b，c都叫基向量．(4)任意三個不共面向量都可構(gòu)成空間的一個基底；任意一個空間的基底都可生成空間的所有向量;每一個空間向量都可被分解到任意一個基底中基向量的三個不同方向；同一個向量在同一個基底下的分解式是唯一的．(5)對空間任一點O,若＝x＋y＋z，則P，A，B，C四點共面的充要條件是x＋y＋z＝1.題型一空間向量的共線共面概念【例1】下列命題中正確的是(）A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面即它們所在的直線共面C．若向量a，b是非零向量，則a＋b可成為空間向量的一個基向量D．若存在唯一的一對實數(shù)x，y,使p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b共面反思:注意理解空間向量共線、共面的意義，重視零向量與任意向量共線、共面,弄清構(gòu)成空間向量的一個基底的條件．題型二判定空間向量共面【例2】如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)為AB,CD的中點，求證：與，共面．分析：在圖中找封閉的四邊形，建立向量相等的關(guān)系式．反思:判斷三個（或以上）向量共面，主要使用空間向量共面定理,即其中一個向量能用另兩個向量線性表示即可．通常應(yīng)結(jié)合圖形，選擇其中某兩個向量作為基向量，其他向量都用這兩個基向量線性表示．當然,必要時也可選擇目標向量以外的一組基底，通過待定系數(shù)法，建立這三個向量的一個線性關(guān)系式．題型三空間向量分解定理【例3】已知空間四邊形OABC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG＝2GN,設(shè)＝a，＝b，＝c，試求向量在基底｛a，b，c｝下的分解式．分析:在△OMG中,將用和表示出來，然后再逐步將和用向量a，b，c來表示．反思：要求某向量m在給定基底{a，b，c｝下的分解式，就是要找到一組有序?qū)崝?shù)x,y,z，使m＝xa＋yb＋zc，一般是尋找一個包含目標向量的封閉多邊形，通過向量的線性運算,先建立向量的關(guān)系式，將目標向量初步表示出來，然后再逐步將各個向量用給定的基向量a,b，c來表示即可．1．已知向量a,b不共線，p＝ka＋b，q＝a－k2b，若p，q共線，則k的值是（）A．0B．1C．－1D．22．當｜a|＝|b｜≠0，且a，b不共線時，a＋b與a－b的關(guān)系是()A．共面B．不共面C．共線D．無法確定3．在四面體ABCD中，＝a,＝b,＝c，＝eq\f（1,2），則＝（）A．－a＋eq\f（2，3)b＋eq\f(1，3)cB．a(chǎn)＋eq\f(2,3)b＋eq\f（1,3)cC．a(chǎn)－eq\f(2，3）b＋eq\f（1，3)cD．eq\f(2，3）a－b＋eq\f（1,3)c4．如圖，ABCD–A1B1C1D1是平行六面體，則下列錯誤的一個命題是（）A．存在唯一的實數(shù)對x，y，使得＝x＋yB．存在唯一的實數(shù)對x，y，使得＝x＋yC．存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得＝x＋y＋zD．存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得＝x＋y＋z5．已知a＝i＋k－2j，b＝－i＋2k＋3j，c＝－3i＋7j，證明這三個向量共面．答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．存在唯一a＝xb【做一做1】解：∵存在唯一的實數(shù)x＝－eq\f（1，3)，使m＝－eq\f（1，3)n,∴m∥n，∴m與n共線．2．(1）在平面α內(nèi)a∥α(2)平行于同一平面【做一做2－1】解：空間中的任意三個向量不一定是共面向量．例如：對于空間四邊形ABCD,eq\o(AB,\s\up6（→））,eq\o（AC，\s\up6(→)）,eq\o(AD，\s\up6(→))這三個向量就不是共面向量．(3)存在唯一c＝xa＋yb（4）線性相關(guān)【做一做2－2】分析：利用向量共面的條件，存在唯一的一對實數(shù)x＝1，y＝－1，使p＝xm＋yn.解:由于p＝m－n，所以p,m，n共面．3．唯一xa＋yb＋zc基底｛a，b，c}【做一做3】c典型例題·領(lǐng)悟【例1】D對于選項A,當b＝0時,a與b共線，b與c共線，但a與c未必共線；對于選項B，直線共面是指直線在同一平面內(nèi)，而向量共面其基線可平行于平面α而不在平面α內(nèi)，即其基線可以是異面直線；對于選項C,當a＝－b時，a＋b＝0，不能成為空間向量的一個基向量；選項D符合共面向量定理．特別地，如果向量a，b共線,則p與向量a,b共線，仍有p與向量a,b共面．【例2】證明：由題意知,eq\o（EF,\s\up6（→）)＝eq\o(EA，\s\up6（→)）＋eq\o(AD，\s\up6(→）)＋eq\o(DF，\s\up6（→)），①又eq\o（EF,\s\up6（→)）＝eq\o（EB，\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\o(CF,\s\up6（→)），②∵E，F(xiàn)為AB，CD的中點，∴eq\o(EA,\s\up6（→））＝－eq\o（EB,\s\up6（→)），eq\o（DF，\s\up6（→)）＝－eq\o（CF,\s\up6(→)),∴①＋②得：2eq\o(EF,\s\up6（→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6（→）），即eq\o（EF,\s\up6(→）)＝eq\f(1，2)eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\f(1,2）eq\o（BC,\s\up6(→)），∴eq\o(EF,\s\up6（→）)與eq\o(AD，\s\up6(→）），eq\o（BC,\s\up6(→)）共面．【例3】解：如圖所示,由線段中點的向量表達式，得eq\o（OG,\s\up6(→）)＝eq\o(OM,\s\up6（→))＋eq\o(MG,\s\up6（→）)＝eq\o(OM,\s\up6（→）)＋eq\f(2，3）eq\o（MN，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）eq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\f(2,3）(eq\o(MO，\s\up6(→)）＋eq\o(OC，\s\up6（→)）＋eq\o(CN，\s\up6(→））)＝eq\f（1，2)a＋eq\f（2,3)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)a＋c＋\f（1，2）b－c）)＝eq\f(1,6）a＋eq\f(1，3）b＋eq\f(1，3）c。隨堂練習(xí)·鞏固1．C若p，q共線，則存在唯一的實數(shù)x，使p＝xq,ka＋b＝xa－xk2b。eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝x，1＝－xk