數(shù)學(xué)學(xué)案：空間向量的線性運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修2-1第三章3。1.1空間向量的線性運(yùn)算1．理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示法和字母表示法．2．會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律．3．能運(yùn)用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡單的立體幾何中的問題．1．空間向量的概念(1)向量：在空間中，具有______和______的量．（2)相等的向量（同一向量):同向且等長的有向線段．（3）零向量：起點(diǎn)與終點(diǎn)____的向量．(手寫記作)（4）向量a的長度或模:表示向量a的有向線段的長度，記作________．（5）向量的基線：表示向量的有向線段所在的______．(6）共線向量或平行向量：基線________的空間向量，規(guī)定：零向量與任意向量______．在空間中,A為向量的起點(diǎn)，B為向量的終點(diǎn)．【做一做1】正方體ABCD－A′B′C′D′中與向量相等的向量有__________個．2．空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量的運(yùn)算(1）加法：a＋b＝______.（2）減法:a－b＝______。(3)數(shù)乘：λa：|λa|＝______，當(dāng)λ＞0時,λa與a方向______；當(dāng)λ＜0時,λa與a方向______；當(dāng)λ＝0時，λa為____向量．（4)線性運(yùn)算律①加法交換律：a＋b＝______；②加法結(jié)合律：（a＋b)＋c＝________；③分配律：（λ＋μ)a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝__________.（1)平面向量求和的三角形法則和平行四邊形法則，對空間向量也同樣成立．(2）三個不共面的向量和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量．【做一做2－1】在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中,＝a，＝b，＝c，則等于(）A．a(chǎn)＋b＋cB．a(chǎn)＋b－cC．a(chǎn)－b－cD．－a＋b＋c【做一做2－2】在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，|－＋|＝__________。1．如何理解空間向量的有關(guān)概念?剖析：（1）空間向量的概念及表示與平面向量一樣．(2)零向量的方向是任意的，而不是零向量沒有方向．（3)向量只是用有向線段來表示，但向量不是有向線段，如速度是向量．(4）共線向量或平行向量，其基線平行或重合均可．共線向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)未必共線，平行向量的基線未必平行(可能重合),應(yīng)特別注意零向量與任意向量共線．2．空間向量加法的運(yùn)算要注意什么？剖析：(1）首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的向量．如：＋＋＋…＋＝。因此，求空間若干向量之和時,可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：＋＋＋…＋＋＝0.（3）平面中兩個向量相加的平行四邊形法則及三角形法則在空間中仍然成立．題型一空間向量的概念【例1】下列命題是真命題的序號是__________．①在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與這兩個向量不是共線向量．②若向量a與b平行，則a,b的方向相同或相反．③若向量，滿足||＞|｜，且與同向，則＞。④若向量a＝b，則|a｜＝|b|。反思：注意空間向量概念的理解，注意區(qū)別向量與向量的模以及向量的手寫體與印刷體．題型二空間向量的線性運(yùn)算【例2】已知在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，M為CC′的中點(diǎn)(如圖)，用圖中向量表示運(yùn)算結(jié)果．（1)+；（2）++.分析：(1)利用＝;(2）利用＝.反思：注意結(jié)合圖形使用相等向量轉(zhuǎn)化．題型三化簡向量表達(dá)式【例3】化簡向量－＋＋。分析:注意使用相反向量－＝。反思：空間向量的減法運(yùn)算注意使用相反向量，無圖形的空間向量的加減法運(yùn)算注意使用交換律和結(jié)合律，同時注意運(yùn)算結(jié)果是0，而不是0.1兩向量共線是兩向量相等的__________條件．2M，N分別是四面體ABCD的棱AB，CD的中點(diǎn)，則＝________(＋）．3在長方體ABCD－A1B1C1D1中，分別寫出與向量共線的向量和相等的向量．4在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中化簡下列各式：（1)－；(2）＋＋.答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．(1)大小方向(3）重合（4）｜a|(5）直線（6）平行或重合共線【做一做1】32．（1）eq\o（OB，\s\up6(→)）(2)eq\o（CA，\s\up6(→））(3)｜λ｜｜a|相同相反零(4)①b＋a②a＋(b＋c)③λa＋λb【做一做2－1】C畫圖可得eq\o（D1B，\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6（→））－（eq\o（AA1，\s\up6（→）)＋eq\o（A1D1,\s\up6（→)))＝eq\o(AB，\s\up6(→))－（eq\o(AA1,\s\up6(→））＋eq\o(AD,\s\up6(→)））＝a－b－c。【做一做2－2】eq\r（2）典型例題·領(lǐng)悟【例1】④①因?yàn)閑q\o（AB，\s\up6(→）)與eq\o(CD,\s\up6（→）)基線平行，所以這兩個向量是共線向量；②若向量a＝0，則a與b平行，但是不能說零向量與某一向量方向相同或相反，否則與零向量的方向是任意的矛盾；③向量不能比較大小；④根據(jù)向量相等的定義，知此命題正確．【例2】解：（1）eq\o(AB，\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6（→）)＝eq\o(AC，\s\up6(→））.（2）eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD，\s\up6（→））＋eq\f（1,2)＝eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\f（1，2)＝eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（CM，\s\up6（→)）＝eq\o（AM,\s\up6(→)）?！纠?】解：eq\o（BC，\s\up6（→))－eq\o（BE,\s\up6（→))＋eq\o(CD，\s\up6(→）)＋eq\o(DE，\s\up6(→)）＝eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\o（EB,\s\up6(→)）＋eq\o（CD，\s\up6(→）)＋eq\o(DE,\s\up6（→))＝eq\o(BC，\s\up6（→)）＋eq\o（CD，\s\up6（→）)＋eq\o（DE,\s\up6(→）)＋eq\o（EB，\s\up6（→））＝0.隨堂練習(xí)·鞏固1．必要不充分2．eq\f(1，2)3．解：與向量eq\o(AB,\s\up6(→）)共線的向量有：eq\o(BA,\s\up6(→）)，，，eq\o（DC,\s\up6(→)），eq\o（CD，\s\up6（→）)，，；與向量eq\o（AB，\s\up6(→））相等的向量有：，eq\o（DC,\s\up6（→）)，。4．解：（1）eq\o(AB,\s\up6(→））－＝eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o(AD，\s\up6（→）)＝eq\o(DB，\s\up6(→）)；(2)eq\