數(shù)學(xué)學(xué)案：空間中的平行關(guān)系第二課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修2第一章1。2。2空間中的平行關(guān)系第二課時(shí)1．通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出空間中面面平行的相關(guān)定理、推論和性質(zhì)．2．掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用以上定理解決空間中的相關(guān)平行性問(wèn)題．平面與平面平行（1）定義:如果兩個(gè)平面________，則稱這兩個(gè)平面互相平行．平面α平行于平面β，記作________．（2）判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有________直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有________直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行．（3）性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的________．結(jié)論：兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段________．(1)我們可以簡(jiǎn)單地概括為線∥線面∥面．(2）兩個(gè)平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的作用，關(guān)鍵都集中在“平行”二字上．判定定理解決了“在什么樣的條件下兩個(gè)平面平行”;性質(zhì)定理揭示了“兩個(gè)平面平行之后它們具有什么樣的性質(zhì)"，前者給出了判定兩個(gè)平面平行的一種方法；后者給出了判定兩條直線平行的一種方法．【做一做1】下列能得到平面α∥平面β的是()．A．平面α內(nèi)有一條直線平行于平面βB．平面α內(nèi)有兩條直線平行于平面βC．平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于平面βD．平面α內(nèi)有兩條相交直線平行于平面β【做一做2】平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分別在平面α和平面β內(nèi),若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形__________．1．證明線線平行、線面平行、面面平行的主要方法剖析：(1）證明兩條直線平行的方法．①利用空間平行線的傳遞性：這是判斷兩條直線平行的重要方法,尋找第三條直線分別與前兩條直線平行;②利用線面平行的性質(zhì)：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；③利用兩個(gè)平面平行的性質(zhì):把面與面的平行轉(zhuǎn)化為線線平行．（2)證明線面平行的方法．①利用定義：證明線面無(wú)公共點(diǎn)；②利用線面平行的判定定理：線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行,即要證明平面外一條直線和這個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了．(3)證明兩個(gè)平面平行的方法．①用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；②用面面平行的判定定理：將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行;③也可以將面面平行直接轉(zhuǎn)化為線線平行，即一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化還可表示如下：2．教材中的“思考與討論”（1）以上我們從兩條相交直線確定唯一一個(gè)平面出發(fā)，討論了兩個(gè)平面平行的條件．但我們又知道兩條平行直線a，b也能唯一確定一個(gè)平面，讓我們平移a，b到空間任意確定的位置a′，b′,那么a′，b′確定的平面一定與a，b確定的平面平行嗎？(2）如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系如何？剖析:（1)不一定，還有可能相交，如圖所示，a∥a′，b∥b′，a與b確定α,a′與b′確定β，α與β相交．(2)平行,因?yàn)槿籀痢桅?，則α與β無(wú)公共點(diǎn)，則α內(nèi)的直線a與β無(wú)公共點(diǎn)，所以a∥β.題型一位置關(guān)系的判定【例1】已知m，n是不重合的直線，α,β是不重合的平面，有下列命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（)．①若m?α，n∥α，則m∥n；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若α∩β＝n，m∥n,則m∥α，m∥β.A．0B．1C．2D．3反思：對(duì)于判斷位置關(guān)系的問(wèn)題，我們必須弄清概念、定理、性質(zhì)、判定和結(jié)論，若對(duì)這些理解不清，則會(huì)導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤或考慮不全．題型二平面與平面平行的判定【例2】如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1,求證：平面AB1D1∥平面BDC1。分析:由面面平行的判定定理知，只需在平面BDC1內(nèi)說(shuō)明直線BC1，BD均與平面AB1D1平行即可．反思：證面面平行，關(guān)鍵是要在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線分別和另一個(gè)平面平行，而要證線面平行，還需證線線平行,注意三種平行的轉(zhuǎn)化．題型三平面與平面平行的性質(zhì)【例3】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如圖所示，E，F(xiàn)分別為A1C1，B1C1的中點(diǎn),D為棱CC1的中點(diǎn)，G是棱AA1上一點(diǎn),且滿足A1G＝mAA1，若平面ABD∥平面GEF，試求m的值．分析:利用平面與平面平行的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化．反思：性質(zhì)定理的應(yīng)用關(guān)鍵要抓住截面及與兩平行平面的交線,當(dāng)然本題的解決，還將用到三角形的相似來(lái)確定對(duì)應(yīng)邊的比例,進(jìn)而求出m的值．題型四平面與平面平行的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),G1,G2，G3分別是△PAB，△PCB,△PAC的重心．（1)求證：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求△G1G2G3與△ABC的面積比值．分析：本題的思路在于如何找到三點(diǎn)G1，G2,G3或它們的三邊與平面ABC的關(guān)系．根據(jù)重心的性質(zhì)易知應(yīng)該連接PG1，PG2，PG3,再根據(jù)相似比可知△G1G2G3所在平面與△ABC所在平面平行，進(jìn)而可得結(jié)論．反思：題目的解決離不開(kāi)平行平面的判定,但同時(shí)要求對(duì)平面幾何的基本性質(zhì)，初高中的知識(shí)點(diǎn)銜接要熟悉，并清楚其在解題中的作用．在立體幾何中，適當(dāng)應(yīng)用平面幾何知識(shí)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算及邏輯思維量,這也體現(xiàn)了立體幾何問(wèn)題利用平面幾何考慮的化歸思想．題型五易錯(cuò)辨析【例5】已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過(guò)M且與a，b都平行的平面有幾個(gè)？錯(cuò)解：設(shè)平面α過(guò)點(diǎn)M,且與a,b都平行，則直線a及其外一點(diǎn)M確定的平面與α的交線a′必與a平行．同理存在b′?α,且b′∥b，則α為a′與b′確定的平面，由于過(guò)M且與a平行的直線a′是唯一的，b′也是唯一的，因而由a′，b′確定的平面α也是唯一的．綜上所述，過(guò)M且與a，b都平行的平面只有一個(gè)．錯(cuò)因分析：上面的解法忽視了a?α或b?α的特殊情況，導(dǎo)致解的情況不完善．1下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是（）．A．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行C．一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，交線平行D．一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交2若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)過(guò)B的所有直線中()．A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線3下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）．①兩平面平行，夾在兩平面間的平行線段相等;②兩平面平行，夾在兩平面間的相等的線段平行;③如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行,那么它和另一個(gè)平面也平行．A．1B．2C．3D．04已知a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面,試用這四個(gè)元素，并借助于它們之間的關(guān)系，構(gòu)造出一個(gè)判斷α∥β的真命題：____________________________________________.5在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn),M,N分別是AB，CC1,AA1，C1D1的中點(diǎn)．求證:平面CEM∥平面BFN.答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理(1）沒(méi)有公共點(diǎn)α∥β（2）兩條相交兩條相交(3）交線平行成比例【做一做1】D【做一做2】相似典型例題·領(lǐng)悟【例1】A①不正確，n∥α,過(guò)n作平面β與α相交，n與其交線平行，m?α，m不一定與其交線平行；②不正確，設(shè)α∩β＝l，m∥l,也可有m∥α，且m∥β；③不正確,有m?α或m?β的可能．【例2】證明：∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1?！嗨倪呅蜛BC1D1為平行四邊形．∴BC1∥AD1。又AD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理，BD∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1?！纠?】解:∵平面ABD∥平面GEF，平面AA1C1C交平面ABD，平面GEF分別為AD，GE，∴由性質(zhì)定理得AD∥GE，∴△ADC∽△EGA1.又∵D為CC1的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)，∴eq\f(A1E，AC）＝eq\f(A1G，CD)＝eq\f（1，2)，即A1G＝eq\f(1，2）CD＝eq\f（1,2）×eq\f(1,2）CC1＝eq\f（1,4)AA1，由A1G＝mAA1，得m＝eq\f（1，4），∴m的值為eq\f(1,4).【例4】解：(1）證明:如圖,連接PG1，PG2,PG3，并延長(zhǎng)使之分別交AB，BC，CA于D,E，F(xiàn)三點(diǎn)．∵G1，G2，G3分別是△PAB，△PCB，△PAC的重心，∴eq\f(PG1，PD)＝eq\f(PG2，PE)＝eq\f（PG3，PF）＝eq\f(2,3）?！噙B接G1G2，G2G3,G3G1及DE，EF，F(xiàn)D后有G1G2∥DE，G2G3∥EF，即G1G2∥平面ABC,G2G3∥平面ABC.故平面G1G2G3∥平面ABC。(2)G1G2∥DE,G2G3∥EF,eq\f（PG1，PD）＝eq\f(PG2，PE)＝eq\f(2,3），則eq\f（G1G2，DE）＝eq\f(2,3)，eq\f(G2G3,EF）＝eq\f(2,3)，即G1G2＝eq\f（2,3)DE,G2G3＝eq\f(2，3）EF。而DE＝eq\f(1,2)AC,EF＝eq\f(1,2)AB，故G1G2＝eq\f(1，3）AC，G2G3＝eq\f（1，3）AB，即eq\f(G1G2,AC）＝eq\f(G2G3,AB)＝eq\f(1，3），則eq\f(S△G1G2G3，S△ABC)＝eq\f（1,9）?！纠?】正解：過(guò)M作直線a′∥a，b′∥b,則a′，b′確定平面α,當(dāng)a,b都不在由a′，b′確定的平面α內(nèi)時(shí)，過(guò)M且與a，b都平行的平面只有一個(gè);當(dāng)a?α或b?α?xí)r，過(guò)M且與a，b都平行的平面不存在．隨堂練習(xí)·鞏固1．A平行于同一直線的兩個(gè)平面有可能相交，如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD與A1ABB1都與C1D1平行,但平面ABCD與A1ABB1相交．2．A3．A如圖所示，若α∥β，AC，BD為夾在平面α與β之間的線段，且AC＝BD，但AC與BD不平行，故②不正確;若α∥β，a∥α，a?β，則a與β不平行，故③不正確．①正確，故選A.4．若a?α,b?α,a∩b＝O，a∥β，b∥β，則α∥β.若a?α，b?α，a∩b＝O,a∥β,b∥β，則α∥β。這是平面和平面平行的判定定理．還可填：a，b是異面直線，a∥α，a∥β，b∥α，b∥