數學學案：例題與探究絕對值不等式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】（經典回放)（1）若x<5，n∈N，則下列不等式：①｜xlg｜〈5|lg｜；②|x｜lg<5lg;③xlg〈5|lg|;④|x｜lg〈5|lg|。其中，能夠成立的有___________.（2）不等式≥1成立的充要條件是___________.思路解析：(2）題求充要條件,因而可從不等式的性質｜a+b|≥|a｜—｜b｜出發(fā)，去尋找原不等式成立的充要條件。(1)∵0<〈1，∴l(xiāng)g〈0.由x〈5，并不能確定｜x|與5的關系，∴可以否定①②③,而|x｜lg〈0,④成立。(2）當｜a|>|b|時,有｜a｜-|b｜>0，∴|a+b｜≥|｜a|-|b｜｜=|a｜-|b｜，∴必有≥1.即|a｜>|b|是≥1成立的充分條件.當|≥1時，由｜a+b｜>0,必有|a｜-|b｜〉0。即|a|〉｜b|，故|a|〉｜b｜是≥1成立的必要條件。故所求為：｜a|〉｜b|.答案:（1）④（2）|a｜>|b|綠色通道：判斷一個不等式成立與否，往往是對影響不等號的因素進行分析，如一個數的正、負、零等,數（或式子）的積、平方、取倒數等都對不等號產生影響，注意考察這些因素在不等式中的作用，一個不等式的成立與否也就比較好判斷了.題（2)是求充要條件，一般要從兩個方面來探討，一是充分性，二是必要性，兩者缺一不可,但為了盡快尋找到滿足題意的條件,在對代數式化簡整理或變形中，若能使其等價變形式都能保證其等價的條件，最終都將成為要求的“條件"?！咀兪接柧殹吭Oab>0,下面四個不等式①|a+b|〉｜a｜;②｜a+b｜〈|b|；③|a+b|〈｜a—b｜；④｜a+b|>|a｜-|b|中，正確的是（）A。①和②B.①和③C.①和④D.②和④思路解析:∵ab〉0，∴a，b同號.∴｜a+b｜=|a|+|b|?！啖佗苷_.答案：C【例2】設m等于｜a｜、|b|和1中最大的一個，當｜x｜〉m時,求證:｜｜〈2。思路分析：本題的關鍵是對題設條件的理解和運用.|a｜、|b｜和1這三個數中哪一個最大？如果兩兩比較大小，將十分復雜，但我們可以得到一個重要的信息：m≥|a|、m≥｜b｜、m≥1。證明：∵｜x|>m≥|a|，｜x｜>m≥|b｜|x|〉m≥1｜x|2>｜b|,∴｜｜≤||+|｜==2。故原不等式成立。綠色通道：分析題目時，題目中的語言文字是我們解題的信息的重要來源與依據，而解題時的數學符號語言也往往需要從文字語言“翻譯"轉化而來,那么準確理解題目中的文字語言，適時準確地進行轉化也就成了解題的關鍵,如本題中題設條件中的文字語言“m等于｜a｜,｜b|,1中最大的一個”轉化為符號語言“m≥｜a｜,|m｜≥|b｜，m≥1"是證明本題的關鍵.【變式訓練】已知a，b∈R且a≠0，求證：.思路分析:本題中要證明的不等式,包含|a+b｜，|a-b｜,｜a｜—｜b｜,因而需要利用絕對值的不等式的性質，其中2|a|=｜a+b+a-b｜，是一種常用的拼湊法，其次，觀察要證明的不等式，可以發(fā)現不等式的左邊(|a｜-｜b|），可能為正值（｜a｜≥|b｜時）,也可能非正（|a|<｜b|時）.因而，又涉及到分類討論。證明：（1）若|a｜≥|b｜,左邊=。∵,∴?！嘧筮叀?右邊。(2）若|a|<｜b|，左邊〉0,右邊<0,∴原不等式顯然成立。綜上可知原不等式成立?！纠?】求函數y=｜x-3｜—|x+1｜的最大值和最小值.思路分析：若把x—3，x+1看作兩個實數,則所給的代數式符合兩個數絕對值的差的形式，因而可以聯想到兩個數和（差)的絕對值與兩個數絕對值的和（差）之間的關系，進而可轉化求解。另一思維是：含有這種絕對值函數式表示的是分段函數，所以也可以視為是分段函數求最值.解法一：|｜x—3|—|x+1|｜≤｜(x—3）—(x+1)|=4，∴—4≤｜x-3｜—｜x+1|≤4?！鄖max=4，ymin=—4。解法二：把函數看作分段函數。y=|x—3|—｜x+1｜=∴-4≤y≤4。∴ymax=4，ymin=—4。綠色通道：對于含有兩個絕對值以上的代數式,通常利用分段討論的方法轉化為分段函數，進而利用分段函數的性質解決相應問題.利用含絕對值不等式的性質定理進行“放縮",有時也能產生比較好的效果，但這需要準確地處理“數”的差或和，以達到所需要的結果?！咀兪接柧殹咳魧θ我鈱崝?，不等式|x+1|—|x—2|>a恒成立，則a的取值范圍是（)A。(-∞，3)B.(-∞，3］C。(—∞,3）D.(—∞，-3］思路解析：恒成立問題,往往轉化為求最值問題，即a<｜x+1|-｜x—2|對任意實數恒成立，即a<［｜x+1|—｜x-2｜］min，也就轉化為求函數y=|x+1｜—｜x—2|的最小值問題?！遼|x+1｜-｜x-2||≤|（x+1）—(x—2)｜=3,∴—3≤｜x+1｜—｜x—2｜≤3.∴［｜x+1|—|x—2|］min=—3?！郺〈-3。答案：C問題探究問題：公路的兩側要修建一些加油站,兩個加油站位于某城市東akm和bkm處（a〈b)，一卡車從該城市出發(fā)，由于某種原因，他需要往返A、B兩加油站,問他行駛在什么情況下到兩加油站的路程之和是一樣的？導思:這一個絕對值函數求最值的問題，可以把相關數據找到,寫出關系式,利用絕對值不等式的性質來解.探究：設卡車行駛在距城市xkm處，他到兩加油站的路程之和為y(km）?！鄖=|x—a|+｜x—b|.∵｜x