高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊 第一課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)01知識梳理·讀教材?知識點

拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝-2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝-2py(p＞0)圖形????標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝-2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝-2py(p＞0)性質(zhì)焦點

F

F

F

?準(zhǔn)線范圍

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

x∈R,y≥0

x∈R,y≤0

?對稱軸

x軸

y軸?頂點

O(0,0)

?離心率

e＝1

?開口方向

向右

向左

向上

向下?

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

x∈R,y≥0

x∈R,y≤0

x軸y軸O(0,0)

e＝1

向右向左向上向下?

在同一坐標(biāo)系下試畫出拋物線y2＝x,y2＝2x和y2＝3x的圖象,你能分析影響拋物線開口大小的量是什么嗎?提示:影響拋物線開口大小的量是參數(shù)p,p值越大,拋物線的開口越大,反之,開口越小.

?1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)拋物線沒有漸近線.(

)答案:(1)√

(2)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長為p.(

)(3)拋物線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.(

)(4)拋物線中,參數(shù)p值越大,拋物線開口越開闊,反之開口越扁狹.(

)答案:(2)×

答案:(3)×

答案:(4)√2.頂點在原點,對稱軸是y軸,并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A.x2＝±3yB.y2＝±6xC.x2＝±12yD.y2＝±12x

3.設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為6,則拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是(

)A.(6,＋∞)B.[6,＋∞)C.(3,＋∞)D.[3,＋∞)

答案:402題型突破·析典例?題型一拋物線的簡單幾何性質(zhì)【例1】

拋物線的頂點在原點,對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線,拋物線焦點到頂點的距離為3,求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程.

通性通法把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口:由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口,關(guān)鍵看一次項是x還是y,一次項的系數(shù)是正還是負(fù);(2)關(guān)系:頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對稱軸;(3)定值:焦點到準(zhǔn)線的距離為p;過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p;離心率恒等于1.?

邊長為1的等邊三角形AOB,O為坐標(biāo)原點,AB⊥x軸,以O(shè)為頂點且過A,B的拋物線方程是(

)

題型二由拋物線幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】

已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,其上一點P到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和6,求拋物線方程.解

設(shè)拋物線方程為y2＝2ax(a≠0),點P(x0,y0).因為點P到對稱軸的距離為6,所以y0＝±6,因為點P到準(zhǔn)線的距離為10,

?

如圖所示,過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線l交拋物線于點A,B,交其準(zhǔn)線于點C,若｜BC｜＝2｜BF｜,且｜AF｜＝3,求此拋物線的方程.解:如圖,過A,B分別作準(zhǔn)線的垂線AA',BD,垂足分別為A',D,則｜BF｜＝｜BD｜,又2｜BF｜＝｜BC｜,∴在Rt△BCD中,∠BCD＝30°.又｜AF｜＝3,∴｜AA'｜＝3,∴｜AC｜＝6,｜FC｜＝3.

∴拋物線的方程為y2＝3x.題型三拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例3】

(1)已知正三角形AOB的一個頂點O位于坐標(biāo)原點,另外兩個頂點A,B在拋物線y2＝2px(p＞0)上,求這個三角形的邊長;解

(1)如圖所示,

(2)已知A,B是拋物線y2＝2px(p＞0)上兩點,O為坐標(biāo)原點,若｜OA｜＝｜OB｜,且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點,求直線AB的方程.解

(2)如圖,設(shè)點A(x0,y0),

通性通法利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對稱性:解決拋物線的內(nèi)接三角形問題;(2)焦點、準(zhǔn)線:解決與拋物線的定義有關(guān)的問題;(3)范圍:解決與拋物線有關(guān)的最值問題;(4)弦長:求解與弦長有關(guān)的三角形面積問題.?

拋物線y2＝4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,點A是拋物線上一點,且∠AFO＝120°(O為坐標(biāo)原點),AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是

?.

?1.拋物線y＝ax2(其中a＞0)的焦點坐標(biāo)是(

)

2.若拋物線y2＝x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離,則點P的坐標(biāo)為(

)

3.(多選)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8,若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,則其方程為(

)A.y2＝8xB.y2＝-8xC.x2＝8yD.x2＝-8y解析:CD

設(shè)拋物線方程為x2＝2py或x2＝-2py(p＞0),2p＝8,p＝4.∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝-8y.4.已知拋物線y2＝2px(p＞0),直線x＝m與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y1＋y2＝

?.

解析:因為拋物線y2＝2px(p＞0)關(guān)于x軸對稱,x＝m與x軸垂直,故y1＝-y2,即y1＋y2＝0.答案:05.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點作直線交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,若x1＋x2＝3p,則｜PQ｜＝

?.

答案:4p03知能演練·扣課標(biāo)?

2.以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點為頂點且過圓x2＋y2-2x＋6y＋9＝0的圓心的拋物線的方程是(

)A.y＝3x2或y＝-3x2B.y＝3x2C.y2＝-9x或y＝3x2D.y＝-3x2或y2＝9x

A.4B.5C.6D.7

4.已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2-4x-5＝0相切,則p＝(

)A.2B.1

5.(多選)點M(1,1)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為2,則a的值可以為(

)

6.已知點A(-2,3)在拋物線C:y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線上,記拋物線C的焦點為F,則直線AF的斜率為

?.

7.設(shè)O為坐標(biāo)原點,直線x＝2與拋物線C:y2＝2px(p＞0)交于D,E兩點,若OD⊥OE,則C的焦點坐標(biāo)為

?.

8.已知F是拋物線C:y2＝8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M是FN的中點,則｜FN｜＝

?.

答案:6

10.已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍;解:(1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x＝-2,x軸,x≥0.(2)以坐標(biāo)原點O為頂點,作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,｜OA｜＝｜OB｜,若焦點F是△OAB的重心,求△OAB的周長.解:(2)如圖所示,由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x軸,垂足為點M,

?11.(多選)已知點A(-2,4)在拋物線y2＝-2px(p＞0)上,拋物線的焦點為F,延長AF與拋物線相交于另一點B,O為坐標(biāo)原點,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝2B.拋物線的焦點坐標(biāo)為(-2,0)C.點B的坐標(biāo)為(-2,-2)D.△OAB的面積為8

A.2B.4C.6D.8

答案:y2＝6x14.已知拋物線C的頂點在原點,焦點F在x軸的正半軸上,設(shè)A,B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸),且｜AF