湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專(zhuān)題15一元一次不等式(組)特殊解法壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專(zhuān)題15一元一次不等式(組)特殊解法壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一含字母的不等式基本性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二解含分母的一元一次不等式(組)】 4【考點(diǎn)三分式化解與不等式結(jié)合考查】 9【考點(diǎn)四解|x|≥a型的不等式】 12【考點(diǎn)五求一元一次不等式解的最值】 16【考點(diǎn)六解特殊不等式組】 17【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 21【典型例題】【考點(diǎn)一含字母的不等式基本性質(zhì)】例題：（2023秋·廣東惠州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅白銀·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中，錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2023春·山西長(zhǎng)治·七年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校?？计谀┫铝胁坏仁降淖冃握_的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得3．（2023春·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列不等式的變形正確的是（

）A．由，得 B．由且，得C．由，得 D．由，得【考點(diǎn)二解含分母的一元一次不等式(組)】例題：（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）解不等式(1)(2)2．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┙獠坏仁浇M，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．3．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）解不等式（組），并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)；(2)．【考點(diǎn)三分式化解與不等式結(jié)合考查】例題：（2023春·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)再求值：，其中是的非負(fù)整數(shù)解．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┫然?jiǎn)：，再?gòu)牡姆秶鷥?nèi)選擇一個(gè)合適的整數(shù)作為a的值代入求值．2．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是不等式的非負(fù)的整數(shù)解．3．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)：，然后從的解集中選擇一個(gè)合適的整數(shù)a代入求值．【考點(diǎn)四解|x|≥a型的不等式】例題：（2023春·福建廈門(mén)·七年級(jí)?？计谥校╅喿x理解：例1．解方程，因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，所以方程的解為．例2．解不等式，在數(shù)軸上找出的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：(1)方程的解為_(kāi)_______(2)解不等式：．(3)解不等式：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀求絕對(duì)值不等式子解集的過(guò)程：因?yàn)?，從如圖所示的數(shù)軸上看：大于而小于3的數(shù)的絕對(duì)值是小于3的，所以的解集是，解答下面的問(wèn)題：(1)不等式的解集為_(kāi)_____；(2)求的解集實(shí)質(zhì)上是求不等式組______的解集，求的解集．2．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）（1）【閱讀理解】“”的幾何意義是：數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以“”可理解為：數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于，則：①“”可理解為；②請(qǐng)列舉兩個(gè)符號(hào)不同的整數(shù)，使不等式“”成立，列舉的的值為和．我們定義：形如“，，，”（為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對(duì)值不等式，能使一個(gè)絕對(duì)值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱(chēng)為絕對(duì)值不等式的解集．（2）【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可以解一些絕對(duì)值不等式．由上圖可以得出：絕對(duì)值不等式的解集是或，絕對(duì)值不等式的解集是．則：①不等式的解集是．②不等式的解集是．（3）【拓展應(yīng)用】解不等式，并畫(huà)圖說(shuō)明．【考點(diǎn)五求一元一次不等式解的最值】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知二元一次方程組，，則的最小值是（）A．1 B． C．0 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)，，．若，則的最大值為．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則的最小值為，最大值為．【考點(diǎn)六解特殊不等式組】例題：（2022春·陜西安康·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列關(guān)于不等式的解題思路：由兩實(shí)數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”可得：①或②，解不等式組①得，解不等式組②得，等式的解集為或請(qǐng)利用上面的解題思路解答下列問(wèn)題：(1)求出的解集；(2)求不等式的解集．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市竹山中學(xué)校考階段練習(xí)）先閱讀理解下面例題，再按要求解答下列問(wèn)題：例：解不等式，解：因?yàn)?，所以原不等式可化為由有理?shù)乘法法則“兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)”，得：①，或②，解不等式組①得，解不等式組②無(wú)解，所以原不等式的解集為．(1)用例題的方法解不等式的解集為；(2)解不等式．2．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題：例題：解一元二次不等式．解：∵，∴可化為．由有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，得①②解不等式組①，得；解不等式組②，得，∴的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．(1)一元二次不等式的解集為_(kāi)______；(2)試解一元二次不等式；(3)試解不等式．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）梓琦同學(xué)在進(jìn)行不等式的變形時(shí)，有幾道題做錯(cuò)了，請(qǐng)幫助老師找出不等式變形正確的一項(xiàng)（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得2．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．

C．

D．

3．（2023春·河北保定·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若，，則的最大值是（

）A．21 B．2 C．12 D．126二、填空題5．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若且，則．6．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是；7．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：．例如：，．若，，且，則，的大小關(guān)系為．8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知不等式的解是，則a＝．三、解答題9．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）解不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)(2)10．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）解不等式組：并在數(shù)軸上表示出它的解集.

11．（2023春·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．12．（2023秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中的值從不等式組的整數(shù)解中選取．13．（2022春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：，其中a滿(mǎn)足不等式組，請(qǐng)你選出一個(gè)合適的整數(shù)a代入求值．14．（2023春·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）先化簡(jiǎn)：，其中x是不等式的整數(shù)解，選取你認(rèn)為合適的x的值代入求值．15．（2023春·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：我們知道表示的是在數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，也就是說(shuō)，對(duì)表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．例1解方程．解：∵，∴在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為6的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，即該方程的解為．例2解不等式．解：如圖，首先在數(shù)軸上找出的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，3，則的解集為到1的距離大于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)，所以原不等式的解集為或．參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：（1）方程的解為_(kāi)_____；（2）解不等式；（3）若，則的取值范圍是_______；（4）若，則的取值范圍是_______．

專(zhuān)題15一元一次不等式(組)特殊解法壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一含字母的不等式基本性質(zhì)】 1【考點(diǎn)二解含分母的一元一次不等式(組)】 4【考點(diǎn)三分式化解與不等式結(jié)合考查】 9【考點(diǎn)四解|x|≥a型的不等式】 12【考點(diǎn)五求一元一次不等式解的最值】 16【考點(diǎn)六解特殊不等式組】 17【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 21【典型例題】【考點(diǎn)一含字母的不等式基本性質(zhì)】例題：（2023秋·廣東惠州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、若，則，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、若，則，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、若，則，這里必須滿(mǎn)足，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；D、若，則，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)．要認(rèn)真弄清不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)的異同，特別是在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，不僅要考慮這個(gè)數(shù)不等于0，而且必須先確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向必須改變．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅白銀·八年級(jí)校考期中）下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可得到答案．【詳解】解：A.若，則可以直接移項(xiàng)得到，故A正確，不符合題意；B.若，則，故B正確，不符合題意；C.若，則，故C正確，不符合題意；D.當(dāng)時(shí)，若，則不成立，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西長(zhǎng)治·七年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校校考期末）下列不等式的變形正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】C【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可.【詳解】A．由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．由，給不等式兩邊同時(shí)減去c，得．∴C選項(xiàng)正確，符合題意；D．由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列不等式的變形正確的是（

）A．由，得 B．由且，得C．由，得 D．由，得【答案】C【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、若，且，則，故A錯(cuò)誤；B、若且，則，故B錯(cuò)誤；C、若，則，正確；D、若，且，則，故D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷．【考點(diǎn)二解含分母的一元一次不等式(組)】例題：（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

【答案】，數(shù)軸上表示見(jiàn)解析【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法解出不等式，并將解集標(biāo)在數(shù)軸上．【詳解】解：不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法，其中去分母時(shí)，各項(xiàng)都要乘以分母的最小公倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）解不等式(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)解不等式的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1進(jìn)行計(jì)算即可求解．（2）先整理，再根據(jù)解不等式的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：，去分母得，去括號(hào)得，移項(xiàng)、合并得，系數(shù)化為1得；（2）解：整理得，去分母得，去括號(hào)得，移項(xiàng)、合并得，系數(shù)化為1得．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，解答此題的關(guān)鍵是熟知解不等式的步驟．2．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┙獠坏仁浇M，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再求交集，最后在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】解：，解不等式，得，解不等式，得，因此，該不等式的解集為，在數(shù)軸上表示為：

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，用數(shù)軸表示不等式組的解集，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)軸上空心點(diǎn)與實(shí)心點(diǎn)的區(qū)別．3．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）解不等式（組），并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)；(2)．【答案】(1)，在數(shù)軸表示見(jiàn)解析(2)，在數(shù)軸表示見(jiàn)解析【分析】（1）不等式去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行求解，并在數(shù)軸上表示即可；（2）分別求出每個(gè)不等式的解集，再找出公共部分，并在數(shù)軸上表示即可．【詳解】（1）解：，去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)得，，解得，把解集在數(shù)軸上表示如圖，

（2）解：，由①得，，由②得，，∴不等式組的解集為，把解集在數(shù)軸上表示如圖，

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式（組）、不等式的解集在數(shù)軸上表示，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三分式化解與不等式結(jié)合考查】例題：（2023春·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)再求值：，其中是的非負(fù)整數(shù)解．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式【分析】將原式小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后算括號(hào)外面的除法，再根據(jù)分式有意義的條件選取合適的的值，代入求值．【詳解】解：原式，，，的非負(fù)整數(shù)解是、、，，，，，，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解一元一次不等式，理解分式有意義的條件，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┫然?jiǎn)：，再?gòu)牡姆秶鷥?nèi)選擇一個(gè)合適的整數(shù)作為a的值代入求值．【答案】，2【分析】先化簡(jiǎn)，后選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算．【詳解】，∵，，且a為整數(shù)，∴，故原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握化簡(jiǎn)的步驟，分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是不等式的非負(fù)的整數(shù)解．【答案】3【分析】先算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】，，∴此不等式的非負(fù)整數(shù)解有0，1，2，當(dāng)，1時(shí)，分式無(wú)意義，∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)：，然后從的解集中選擇一個(gè)合適的整數(shù)a代入求值．【答案】,時(shí)，原式；時(shí)，原式【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，求出不等式組的解集，確定出整數(shù)的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式由不等式組，解得：，∵為整數(shù)，則當(dāng)或時(shí)，原式?jīng)]有意義；把代入得：原式；把代入得：原式【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四解|x|≥a型的不等式】例題：（2023春·福建廈門(mén)·七年級(jí)?？计谥校╅喿x理解：例1．解方程，因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，所以方程的解為．例2．解不等式，在數(shù)軸上找出的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：(1)方程的解為_(kāi)_______(2)解不等式：．(3)解不等式：．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）利用在數(shù)軸上到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為5或，求解即可；（2）先求出的解，再求的解集即可；（3）先在數(shù)軸上找出的解，即可得出不等式的解集．【詳解】（1）解：∵在數(shù)軸上到2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或5，∴方程的解為：或，故答案為：或．（2）解：在數(shù)軸上找出的解，如圖：

∵在數(shù)軸上到2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為1或3，∴方程的解為或，∴不等式的解集為．（3）解：在數(shù)軸上找出的解，由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到4和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值，∵在數(shù)軸上4和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為6，∴滿(mǎn)足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在4的右邊或的左邊，若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在4的右邊，可得；若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在的左邊，可得，∴方程的解是或，∴不等式的解集為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，不等式，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是理解表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀求絕對(duì)值不等式子解集的過(guò)程：因?yàn)椋瑥娜鐖D所示的數(shù)軸上看：大于而小于3的數(shù)的絕對(duì)值是小于3的，所以的解集是，解答下面的問(wèn)題：(1)不等式的解集為_(kāi)_____；(2)求的解集實(shí)質(zhì)上是求不等式組______的解集，求的解集．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）根據(jù)題中所給出的例子進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)題中所給的實(shí)例列出關(guān)于的不等式組，求出其解集即可．【詳解】（1）解：的解集是，不等式的解集為：．故答案為：；（2）解：的解集是，求的解集是，可化為，求的解集實(shí)質(zhì)上是求不等式組，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合求一元一次不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）（1）【閱讀理解】“”的幾何意義是：數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以“”可理解為：數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于，則：①“”可理解為；②請(qǐng)列舉兩個(gè)符號(hào)不同的整數(shù)，使不等式“”成立，列舉的的值為和．我們定義：形如“，，，”（為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對(duì)值不等式，能使一個(gè)絕對(duì)值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱(chēng)為絕對(duì)值不等式的解集．（2）【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可以解一些絕對(duì)值不等式．由上圖可以得出：絕對(duì)值不等式的解集是或，絕對(duì)值不等式的解集是．則：①不等式的解集是．②不等式的解集是．（3）【拓展應(yīng)用】解不等式，并畫(huà)圖說(shuō)明．【答案】（1）①數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于；②；3；（2）①或；②；（3）或，見(jiàn)解析．【分析】（1）①類(lèi)比題目所給的信息即可解答；②寫(xiě)出符合題意的兩個(gè)整數(shù)即可（答案不唯一）；（2）①類(lèi)比題目中的解題方法即可解答；②類(lèi)比題目中的解題方法即可解答；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，不等式的解集，就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到表示與的點(diǎn)的距離之大于的所有的值，由此即可確定不等式的解集．【詳解】（1）①由題意可得，“”可理解為數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于．故答案為：數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于；②令，使不等式“”成立的整數(shù)為，，故答案為：，．（2）①由題意可知，不等式的解集是或，故答案為：或；②由題意可知，不等式的解集為：，即，故答案為：；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，不等式的解集就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)，到表示與的點(diǎn)的距離之和大于的所有的值，如下圖所示，可知不等式的解集是或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五求一元一次不等式解的最值】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知二元一次方程組，，則的最小值是（）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先解二元一次方程組，再根據(jù)條件列出不等式，解不等式即可求得答案．【詳解】①②得：①②得：解得的最小值為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式，根據(jù)題意列出不等式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)，，．若，則的最大值為．【答案】6【分析】由得，與相加得，由及，可得a的最大值為3，從而得出的最大值．【詳解】解：由得，由得，及，解得：，的最大值為3，的最大值．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知等式得出的表達(dá)式，再求最大值．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則的最小值為，最大值為．【答案】；2【分析】根據(jù)已知條件求得，化簡(jiǎn)，根據(jù)，解不等式組即可得到結(jié)論．【詳解】∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值為；最大值為2，故答案為：，2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減，一次不等式的運(yùn)算，數(shù)軸，以及絕對(duì)值，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六解特殊不等式組】例題：（2022春·陜西安康·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列關(guān)于不等式的解題思路：由兩實(shí)數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”可得：①或②，解不等式組①得，解不等式組②得，等式的解集為或請(qǐng)利用上面的解題思路解答下列問(wèn)題：(1)求出的解集；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的乘法法則以及解一元一次不等式組解決此題．（2）根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則以及解一元一次不等式組解決此題．【詳解】（1）由兩數(shù)相乘，異號(hào)為負(fù)，得：①或②，解不等式組①，無(wú)解；解不等式組②，的解集為（2）由兩數(shù)相除，同號(hào)為正，得：①或②，解不等式組①，；解不等式組②，不等式的解集為或【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）先閱讀理解下面例題，再按要求解答下列問(wèn)題：例：解不等式，解：因?yàn)?，所以原不等式可化為由有理?shù)乘法法則“兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)”，得：①，或②，解不等式組①得，解不等式組②無(wú)解，所以原不等式的解集為．(1)用例題的方法解不等式的解集為；(2)解不等式．【答案】(1)或(2)【分析】（1）仿照例題的思路，即可解答；（2）由有理數(shù)除法法則“兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)”，得：①或②，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）因?yàn)椋栽坏仁娇苫癁?，由有理?shù)乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得：①或，解不等式組①得，解不等式組②得，所以原不等式的解集為或，故答案為：或；（2）由有理數(shù)除法法則“兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)”，得：①或②，解不等式組①得無(wú)解，解不等式組②得，所以原不等式的解集為【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，理解例題的思路是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題：例題：解一元二次不等式．解：∵，∴可化為．由有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，得①②解不等式組①，得；解不等式組②，得，∴的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．(1)一元二次不等式的解集為_(kāi)______；(2)試解一元二次不等式；(3)試解不等式．【答案】(1)或(2)一元二次不等式的解集為0＜x＜5(3)的解集為1＜x＜4【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）利用提公因式法對(duì)不等式的左邊進(jìn)行因式分解，再求解可得；（3）需要分類(lèi)討論：①

②據(jù)此求解可得．【詳解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0∴或解得：x＞3或x＜-3．故答案為：或；（2）∵，∴可化為．由有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)，得①

②解不等式組①，得0＜x＜5；解不等式組②，無(wú)解，∴的解集為0＜x＜5，即一元二次不等式的解集為：0＜x＜5．（3）由有理數(shù)的除法法則：兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)，得①

②解不等式組①，得1＜x＜4；解不等式組②，無(wú)解，∴的解集為1＜x＜4．【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的解法，一元一次不等式組的應(yīng)用．利用了轉(zhuǎn)化的思想，這種轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)為：兩數(shù)相乘（除），同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)的符號(hào)法則．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·河北保定·八年級(jí)保定市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）梓琦同學(xué)在進(jìn)行不等式的變形時(shí)，有幾道題做錯(cuò)了，請(qǐng)幫助老師找出不等式變形正確的一項(xiàng)（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【分析】依據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分析，即可得到正確結(jié)論．【詳解】解：A、由，且時(shí)，得，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由，得，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由，且時(shí)，得，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由，得，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號(hào)的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對(duì)字母是否大于0進(jìn)行分類(lèi)討論．掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示為：

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北保定·八年級(jí)校考階段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)分、，去絕對(duì)值符號(hào)后解相應(yīng)不等式可得x的范圍．【詳解】解：①當(dāng)，即時(shí)，原式可化為：，解得：，；②當(dāng)，即時(shí)，原式可化為：，解得：，，綜上，該不等式的解集是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的能力，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若，，則的最大值是（

）A．21 B．2 C．12 D．126【答案】D【分析】要想使最大，則應(yīng)該盡量使分子b最大，而分母a最小，代入b的最大值和a的最小值求值即可．【詳解】要想使最大，則應(yīng)該盡量使分子b最大，而分母a最小，∵，∴的最大值是故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)的最大值，掌握分子越大，分母越小，分?jǐn)?shù)值越大是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若且，則．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．不等式的性質(zhì)：①把不等式的兩邊都加(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；②不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是；【答案】7【分析】根據(jù)題意以及絕對(duì)值的非負(fù)性，再利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．【詳解】當(dāng)x>3時(shí)，當(dāng)時(shí)，=7；當(dāng)x<-4時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值7．故答案為：；7．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值相關(guān)最值的求解，涉及不等式運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確絕對(duì)值的定義，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解答．7．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：．例如：，．若，，且，則，的大小關(guān)系為．【答案】【分析】先求得的數(shù)值，然后分兩種情況討論：；．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，．．①當(dāng)時(shí)，則，可得．即．②當(dāng)時(shí)，則．又，則，即．．即．綜上所述，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式，牢記不等式的性質(zhì)（不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變）及采用求差法比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知不等式的解是，則a＝．【答案】【分析】首先根據(jù)題意表示出不等式的解，然后根據(jù)列方程求解即可．【詳解】∵∴，即，∴∴或∴或∵不等式的解是，∴應(yīng)舍去，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式含參數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出一元一次不等式的解．三、解答題9．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）解不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)(2)【答案】(1)，數(shù)軸表示見(jiàn)解析(2)，數(shù)軸表示見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1”求出不等式集的解集，然后再數(shù)軸上表示出來(lái)即可；（2）根據(jù)“去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1”求出不等式集的解集，然后再數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】（1），去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并得，，系數(shù)化為1得，，在數(shù)軸上表示為：

（2），去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并得，，系數(shù)化為1得，，在數(shù)軸上表示為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向要改變．10．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）解不等式組：并在數(shù)軸上表示出它的解集.

【答案】見(jiàn)詳解【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，由不等式①得，解不等式①得：；由不等式②得，解不等式②得：；∴原不等式組的解集為，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，詳見(jiàn)解析【分析】分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再在數(shù)軸上表示兩個(gè)不等式的解集，利用數(shù)軸確定兩個(gè)解集的公共部分，即可得到不等式組是解集．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，在數(shù)軸上表示不等式的解集如下：不等式組的解集為【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，掌握解不等式組的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．12．（2023秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中的值從不等式組的整數(shù)解中選?。敬鸢浮浚瑫r(shí)，原式【分析】先根