2025屆上海市長寧、金山、青浦區(qū)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆上海市長寧、金山、青浦區(qū)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.42.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.3.等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則()A.12 B.10 C.8 D.4.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,5.已知拋物線:的焦點為,準(zhǔn)線為,是上一點,直線與拋物線交于,兩點,若,則為()A. B.40 C.16 D.6.已知向量,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.7.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.8.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.49.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.410.某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平,實行“老帶新”的師徒結(jié)對指導(dǎo)形式,要求每位老教師都有徒弟,每位新教師都有一位老教師指導(dǎo),現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師,則不同的師徒結(jié)對方式共有()種.A.360 B.240 C.150 D.12011.的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為A.-40 B.-20 C.20 D.4012.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知兩圓相交于兩點,,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.15.在面積為的中,,若點是的中點,點滿足,則的最大值是______.16.若的展開式中各項系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動,超市設(shè)計了兩種抽獎方案.方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;(2)若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動?18.(12分)已知數(shù)列中,(實數(shù)為常數(shù)),是其前項和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)若,當(dāng)時,的前項和為,求證:對任意,都有.19.(12分)隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,他需要通過四個科目的考試,其中科目二為場地考試.在一次報名中,每個學(xué)員有5次參加科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試,就算順利通過,即進入下一科目考試;若5次都沒有通過,則需重新報名),其中前2次參加科目二考試免費,若前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校對以往2000個學(xué)員第1次參加科目二考試進行了統(tǒng)計,得到下表:考試情況男學(xué)員女學(xué)員第1次考科目二人數(shù)1200800第1次通過科目二人數(shù)960600第1次未通過科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率,且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試,在本次報名中,若這對夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機會為止.(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率;(2)若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過,記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意的和恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)設(shè)不等式的解集為M,.(1)證明:;(2)比較與的大小,并說明理由.22.(10分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.2、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合,之后求得.【詳解】由,所以,故選:B.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的運算的問題,涉及到的知識點有一元二次不等式的解法,集合的運算,屬于基礎(chǔ)題目.3、B【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再由對數(shù)運算法則可得結(jié)論.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列,∴,,∴.故選:B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)的運算法則,掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過點,求出,即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過點,,則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運用,在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件,計算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點坐標(biāo)求出結(jié)果5、D【解析】

如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、D【解析】

由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.7、A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。9、C【解析】

計算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算,共軛復(fù)數(shù)的概念.10、C【解析】

可分成兩類,一類是3個新教師與一個老教師結(jié)對,其他一新一老結(jié)對,第二類兩個老教師各帶兩個新教師,一個老教師帶一個新教師,分別計算后相加即可.【詳解】分成兩類,一類是3個新教師與同一個老教師結(jié)對,有種結(jié)對結(jié)對方式,第二類兩個老教師各帶兩個新教師,有.∴共有結(jié)對方式60+90=150種.故選:C.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對這個事情,是先分類還是先分步,確定方法后再計數(shù).本題中有一個平均分組問題.計數(shù)時容易出錯.兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為.11、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項,由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80,由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40,故所求的常數(shù)項為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘,若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x,選3個提出;若第1個括號提出,從余下的括號中選2個提出,選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=4012、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點在這條直線上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設(shè)的中點為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程,求出準(zhǔn)線方程,求出三角形的頂點的坐標(biāo),然后求解面積.【詳解】解:雙曲線:雙曲線中,,,則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為,雙曲線的漸近線方程為:,可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標(biāo),,,,則三角形的面積為.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.15、【解析】

由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|,再由已知與平面向量的線性運算、平面向量數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化,最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①與②的平方和得:|AB||AC|=,又點M是AB的中點,點N滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,即的最大值是為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量中由線性運算表示未知向量,進而由重要不等式求最值,屬于中檔題.16、2025【解析】

利用賦值法,結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程,由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意,令,解得,所以,則二項式的展開式的通項為:令,得,所以的系數(shù)為.故答案為:2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和,考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為,每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為,根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一,方案二顧客獲返金卷的期望,方案一列出分布列計算即可,方案二根據(jù)二項分布計算期望即可②根據(jù)①得出結(jié)論.【詳解】(1)選擇方案一,則每一次摸到紅球的概率為設(shè)“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A,則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率(2)①若選擇抽獎方案一,則每一次摸到紅球的概率為,每一次摸到白球的概率為.設(shè)獲得返金劵金額為元,則可能的取值為60,100,140,180.則;;;.所以選擇抽獎方案一,該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學(xué)期望為(元)若選擇抽獎方案二,設(shè)三次摸球的過程中,摸到紅球的次數(shù)為,最終獲得返金劵的金額為元,則,故所以選擇抽獎方案二,該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學(xué)期望為(元).②即,所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎方案【點睛】本題主要考查了古典概型,相互獨立事件的概率,二項分布,期望,及概率知識在實際問題中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)(3)見解析【解析】

(1)令可得,即.得到,再利用通項公式和前n項和的關(guān)系求解,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,再根據(jù)恰為與的等比中項求解,(3)由(2)得到時,,,求得,再代入證明?!驹斀狻浚?)解:令可得,即.所以.時,可得,當(dāng)時,所以.顯然當(dāng)時,滿足上式.所以.,所以數(shù)列是等差數(shù)列,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,恰為與的等比中項,所以,解得,所以(3)時,,,而時,,,所以當(dāng)時,.當(dāng)時,,∴對任意,都有,【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系,等差數(shù)列,等比數(shù)列的定義和性質(zhì)以及數(shù)列放縮的方法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于難題,19、(1);(2)見解析.【解析】

事件表示男學(xué)員在第次考科目二通過,事件表示女學(xué)員在第次考科目二通過(其中)(1)這對夫妻是否通過科目二考試相互獨立,利用獨立事件乘法公式即可求得;(2)補考費用之和為元可能取值為400,600,800,1000,1200,根據(jù)題意可求相應(yīng)的概率,進而可求X的數(shù)學(xué)期望.【詳解】事件表示男學(xué)員在第次考科目二通過,事件表示女學(xué)員在第次考科目二通過(其中).(1)事件表示這對夫妻考科目二都不需要交補考費..(2)的可能取值為400,600,800,1000,1200.,,,,.則的分布列為:40060080010001200故(元).【點睛】本題以實際問題為素材,考查離散型隨機變量的概率及期望,解題時要注意獨立事件概率公式的靈活運用,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化為,,恒成立,然后構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時,,當(dāng)時,在上恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,由得:;由得:.∴當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)間:當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)對任意的和,恒成立等價于:,,

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