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上海市寶山中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)試卷考生注意:1.本試卷共4頁,滿分150分,考試時間120分鐘.2.本考試分設(shè)試卷和答題紙,作答必須涂(選擇題)或?qū)懀ǚ沁x擇題)在答題紙的相應(yīng)位置,在試卷上作答一律不得分.一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1~6題每題4分,第7~12題每題5分)1.在空間內(nèi),異面直線所成角的取值范圍是______.2.已知向量,則向量的單位向量______.3.過直線外一點有______條直線與該直線垂直.4.已知某一個圓錐的側(cè)面積為,底面積為,則這個圓錐的體積為______.5.將邊長分別為1cm和2cm的矩形,繞邊長為2cm的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一圓柱,則該圓柱的側(cè)面積為______.6.在空間直角坐標系中,點關(guān)于平面的對稱點為,則______.7.平面經(jīng)過點,且的法向量,則到平面的距離為______.8.若正四面體的棱長為2,則它的體積為______.9.在空間直角坐標系中,點,點,點,則在方向上的投影向量的坐標為______.10.如圖,正方形的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長是______.11.若,,是三個不共面的非零向量,,,,若向量,,共面,則______.第10題圖12.如圖,在棱長為1的正方體中,為的中點,點在線段上,點到直線的距離的最小值為______.二、選擇題(本大題共有4題,滿分18分,第13~14題每題4分,第15~16題每題5分)13.設(shè)空間中有四個點,則“其中三點共線”是“四點共面"的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件14.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,且則 B.若,且則C.若,且則 D.若,且則15.如圖所示是一個正方體的平面展開圖,則在正方體中,與的位置關(guān)系為()A.相交 B.平行 C.異面而且垂直 D.異面但不垂直16.已知異面直線、所成角為,為空間一定點,則過點且與、所成角都是的直線有且僅有()A.2條 B.3條 C.4條 D.6條三、解答題(本大題共有5題,滿分78分)17.(本題滿分14分,共有2個小題,第1小題6分,第2小題8分)已知空間中三點,,,設(shè),.(1)求向量與向量的夾角的余弦值;(2)若與互相垂直,求實數(shù)的值.18.(本題滿分14分,共有2個小題,第1小題6分,第2小題8分)如圖,正方體棱長為,、分別為、的中點.(1)證明:平面;(2)求與平面所成角的大??;19.(本題滿分16分,共有2個小題,第1小題8分,第2小題8分)如圖,在正三棱柱中,,點、分別為、的中點.(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.(本題滿分16分,共有2個小題,第1小題8分,第2小題8分)如圖,幾何體為一個圓柱和圓錐的組合體,圓錐的底面和圓柱的一個底面重合,圓錐的頂點為,圓柱的上、下底面的圓心分別為、,且該幾何體有半徑為1的外接球(即圓錐的頂點與底面圓周在球面上,且圓柱的底面圓周也在球面上),外接球球心為.(1)若圓柱的底面圓半徑為,求幾何體的體積;(2)若,求幾何體的表面積.21.(本題滿分18分,共有3個小題,第1小題4分,第2小題6分,第3小題8分)長方體中,,,、分別為
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