浙江省寧波市鄞州區(qū)部分學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷-A4

第頁2024-2025學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)部分學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知，則下列比例式成立的是(

)A. B. C. D.2.下列函數(shù)屬于二次函數(shù)的是(

)A. B.

C. D.3.筆筒中有9支型號、顏色完全相同的鉛筆，將它們逐一標(biāo)上的號碼，若從筆筒中任意抽出一支鉛筆，則抽到編號是3的倍數(shù)的概率是(

)A. B. C. D.4.下列二次函數(shù)的圖象中，頂點在第二象限的是(

)A. B. C. D.5.A、B是半徑為5cm的上兩個不同的點，則弦AB的取值范圍是(

)A. B. C. D.6.關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是(

)A.它可由向右平移一個單位得到

B.開口向下

C.頂點坐標(biāo)是

D.與x軸有兩個交點7.下列命題正確的是(

)A.平分弦所對的兩條弧的直線必垂直于弦 B.垂直于弦的直線平分弦

C.平分弦的直線必平分弦所對的兩條弧 D.平分弦的直徑必平分弦所對的兩條弧8.的半徑為5，M是圓外一點，，，則弦AB的長為(

)A.4

B.6

C.

D.8

9.已知二次函數(shù)，圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線對于下列結(jié)論：①；②；③其中；④若和均在該函數(shù)圖象上，且，則其中正確結(jié)論的個數(shù)共有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個10.如圖，點O是正內(nèi)一點，，，，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論：①可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到；②點O與的距離為4；③；④四邊形面積；⑤，其中正確的結(jié)論是(

)A.①③④⑤ B.①②③④ C.①②④⑤ D.①②③④⑤二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.一個不透明的布袋里只有6個紅球和n個白球僅有顏色不同若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則______.12.一個扇形的半徑為3cm，面積為，則此扇形的圓心角為______度．13.用配方法把二次函數(shù)寫成的形式為______.14.已知的半徑為13cm，AB，CD是的兩條弦，且，，，則弦AB與CD之間的距離為______15.已知二次函數(shù)的y與x的部分對應(yīng)值如表：x…013…y…00…根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：

①二次函數(shù)可改寫為的形式；

②二次函數(shù)的圖象開口向下；

③關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為0或2；

④若，則

其中所有正確的結(jié)論為______.16.已知以AB為直徑的圓O，C為AB弧的中點，P為BC弧上任意一點，交AP于D，連接BD，若，則BD的最小值為______.

三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題8分

已知拋物線經(jīng)過點，

求該拋物線的對稱軸.

自變量x在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而減??？18.本小題8分一個不透明的口袋中有4個大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)，2，，搖勻后任意摸出1個球，則摸出的乒乓球球面上的數(shù)是負數(shù)的概率為____；搖勻后先從中任意摸出1個球不放回，再從余下的3個球中任意摸出1個球，用列表或畫樹狀圖的方法求兩次摸出的乒乓球球面上的數(shù)之和是正數(shù)的概率.19.本小題8分

如圖，AB是的直徑，C，D在上，且位于AB異側(cè)，，的度數(shù)分別為，，請僅用直尺按要求作圖.

畫出一個大小為的角，并寫出該角.

畫出一個以AD為腰的等腰三角形，并寫出該等腰三角形.20.本小題8分

某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑.如圖，若這個輸水管道有水部分的水面寬，水最深的地方的高度為

求這個圓形截面的半徑.

求圖中陰影部分的面積.21.本小題8分

某商場銷售成本為每件40元的商品.據(jù)市場調(diào)查分析，如果按每件50元銷售，一周能賣出500件；若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件.設(shè)銷售單價為元.

若按每件55元銷售，每周銷量為______件；毛利潤為______元.

求出一周銷售量件與元的函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)一周銷售獲得毛利潤w元，寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出一周毛利潤的最大值以及此時的銷售單價.22.本小題10分

如圖，在中，，D是AB上一點，經(jīng)過點A、C、D，交BC于點E，過點D作，交于點

求證：四邊形DBCF是平行四邊形；

23.本小題10分

已知二次函數(shù)為常數(shù)的圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線

求二次函數(shù)的表達式；

若點向上平移2個單位長度，向左平移個單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；

當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍.24.本小題12分

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于A，B兩點，點A在點B的左側(cè)．

如圖1，當(dāng)時，直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)；

在的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

如圖2，拋物線與x軸交于點C、D兩點點C在點D的左側(cè)，在直線上是否存在唯一一點Q，使得？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：，

故選：

本題須根據(jù)比例的基本性質(zhì)對每一項進行分析即可得出正確結(jié)論．

本題主要考查了比例的性質(zhì)，在解題時要能根據(jù)比例的性質(zhì)對式子進行變形是本題的關(guān)鍵．2.【答案】D

【解析】解：

A.自變量x的次數(shù)不是2，故A錯誤；

B.整理后得到，是一次函數(shù)，故B錯誤

C.由可知，自變量x的次數(shù)不是2，故C錯誤；

D.是二次函數(shù)的頂點式解析式，故D正確．

故選：

整理成一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)的定義和條件判定即可．

本題考查二次函數(shù)的概念和解析式的形式，知識點簡單，比較容易掌握．3.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．

由標(biāo)有的號碼的9支鉛筆中，標(biāo)號為3的倍數(shù)的有3、6、9這3種情況，利用概率公式計算可得．

【解答】

解：在標(biāo)有的號碼的9支鉛筆中，標(biāo)號為3的倍數(shù)的有3、6、9這3種情況，

抽到編號是3的倍數(shù)的概率是，

故選：4.【答案】C

【解析】解：二次函數(shù)的頂點為，在第一象限，不合題意；

B.二次函數(shù)的頂點為，在第四象限，不合題意；

C.二次函數(shù)的頂點為，在第二象限，符合題意；

D.二次函數(shù)的頂點為，在第三象限，不合題意；

故選：

根據(jù)二次函數(shù)的頂點式求得頂點坐標(biāo)，即可判斷．

本題考查二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，由二次函數(shù)的頂點式求出頂點的坐標(biāo)進行判斷即可.5.【答案】D

【解析】解：圓中最長的弦為直徑，

故選：

根據(jù)直徑是圓中最長的弦求解．

本題考查了圓的認(rèn)識，了解圓中最長的弦是直徑最關(guān)鍵．6.【答案】D

【解析】解：拋物線可以由二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位得到，

故A選項不符合題意；

，所以開口向上，

故B選項不符合題意；

頂點坐標(biāo)為，

故C選項不符合題意；

根據(jù)頂點坐標(biāo)以及開口向上可判定與x軸有兩個交點，故D選項符合題意；

故選：

由二次函數(shù)，可得其對稱軸、頂點坐標(biāo)；由二次項系數(shù)，可知圖象開口向上；平移的性質(zhì)；對每個選項分析、判斷即可．

本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)：頂點、對稱軸的求法及圖象的特點．7.【答案】A

【解析】解：A、平分弦所對的兩條弧的直線必垂直于弦，符合題意；

B、垂直于弦的直徑平分弦，故原說法錯誤，不符合題意；

C、平分弦的直徑必平分弦所對的兩條弧，故原說法錯誤，不符合題意；

D、平分弦不是直徑的直徑必平分弦所對的兩條弧，故原說法錯誤，不符合題意；

故選：

根據(jù)垂徑定理和垂徑定理的推論進行判斷即可．

本題考查了命題與定理，垂徑定理，熟練掌握垂徑定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵．8.【答案】D

【解析】解：過O作于C，連接OA，則，

，，

，

在中，由勾股定理得：，

，OC過O，

，

即，

故選：

過O作于C，連接OA，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)垂徑定理得出，最后求出答案即可．

本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識點，能熟記垂直于弦的直徑平分弦是解此題的關(guān)鍵．9.【答案】B

【解析】解：拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為，

拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，

把，代入，可得：

，

解得，

，故②正確；

拋物線開口方向向下，

，

，，

，故①錯誤；

，

，

又，，

，

即其中，故③正確；

拋物線的對稱軸為直線，且拋物線開口朝下，

當(dāng)時，y隨x的增大而減小，

，

，故④錯誤，

故選：

根據(jù)拋物線與x軸的一個交點以及其對稱軸，求出拋物線與x軸的另一個交點，利用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)拋物線開口方向向下，即可判斷②正確，①錯誤，根據(jù)，，，可以得到，從而得到③正確；根據(jù)拋物線的增減性可以判斷出④錯誤，問題得解．

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．10.【答案】D

【解析】解：連接，過點O作，垂足為D，

由旋轉(zhuǎn)得：，，

是等邊三角形，

，，

，

，

≌，

可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

故①正確；

由旋轉(zhuǎn)得：

，，

是等邊三角形，

，

點O與的距離為4；

故②正確；

是等邊三角形，

，

≌，

，

，

是直角三角形，

，

，

故③正確；

將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至點的位置，連接OE，過點A作，垂足為F，如圖：

，，，

是等邊三角形，

，

，

，

是直角三角形，

在中，，

，

故⑤正確；

在中，，

，

故④正確；

故選：

連接，過點O作，垂足為D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而證明≌，即可判斷①正確，證明是等邊三角形，即可判斷②正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證是直角三角形，即可判斷③正確；將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至點的位置，連接OE，過點A作，垂足為F，由面積和差關(guān)系，即可判斷⑤正確．在中，求出OD的長，然后根據(jù)進行計算即可判斷④正確．

本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11.【答案】9

【解析】解：根據(jù)題意，，

解得，

經(jīng)檢驗是方程的解．

故答案為：

根據(jù)紅球的概率公式，列出方程求解即可．

本題考查概率公式，根據(jù)公式列出方程求解則可．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12.【答案】40

【解析】【分析】

設(shè)扇形的圓心角是，根據(jù)扇形的面積公式即可得到一個關(guān)于n的方程，解方程即可求解．

本題考查了扇形的面積公式，正確理解公式是解題的關(guān)鍵，此題難度不大．

【解答】

解：設(shè)扇形的圓心角是，

根據(jù)題意可知：，

解得，

故答案為13.【答案】

【解析】解：，

故答案為：

先將二次項系數(shù)提取因式，再根據(jù)完全平方公式進行配方，即可解答．

本題考查了二次函數(shù)的三種形式，關(guān)鍵是將二次函數(shù)表達式化為頂點式．14.【答案】7或17

【解析】解：過點O作于E，直線OE交CD于F，連接OA、OC，

如圖：

，

，

，，

在中，，

在中，，

當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖1，，

當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖2，，

綜上所述，弦AB和CD之間的距離為7cm或

分兩種情況進行分類討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)，先畫圖，然后作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可

本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用，小心不要漏解．15.【答案】①③

【解析】解：由表格可得，

該函數(shù)的對稱軸為直線，

該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，

二次函數(shù)可改寫為的形式，故①正確，符合題意；

二次函數(shù)的圖象開口向上，故②錯誤，不符合題意；

關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為0或2，故③正確，符合題意；

若，則或，故④錯誤，不符合題意；

故答案為：①③．

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)圖象具有對稱性，可以得到該函數(shù)的對稱軸，然后即可得到頂點坐標(biāo)，從而可以判斷①；再根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以該函數(shù)圖象開口向上，從而可以判斷②；根據(jù)對稱軸，可以得到和對應(yīng)的函數(shù)值相等，即可判斷③；根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到當(dāng)時x的取值范圍，從而可以判斷④．

本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．16.【答案】

【解析】解：如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，則，連接AC，BC，

的直徑為AB，C為的中點，

，

又，

，

，，

點D的運動軌跡為以Q為圓心，AQ為半徑的，

又，C為的中點，

是等腰直角三角形，

，

中，，

，

，

的最小值為

故答案為

以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，則，依據(jù)，可得點D的運動軌跡為以Q為圓心，AQ為半徑的，依據(jù)中，，即可解決問題．

本題考查了軌跡，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理以及弧長的計算，正確尋找點D的運動軌跡是解決問題的關(guān)鍵．17.【答案】解：拋物線經(jīng)過點，，

拋物線的對稱軸為直線；

拋物線的對稱軸為直線，，開口向上，

則時，y隨x的增大而減?。?/p>

【解析】根據(jù)拋物線的對稱性以及拋物線與坐標(biāo)軸的交點，即可求解；

根據(jù)拋物線開口向上，對稱軸為直線，可得時，y隨x的增大而減小，即可求解．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：；

畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的乒乓球球面上的數(shù)之和是正數(shù)的結(jié)果數(shù)為8，

所以兩次摸出的乒乓球球面上的數(shù)之和是正數(shù)的概率

【解析】【分析】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率.

直接利用概率公式計算；

畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩次摸出的乒乓球球面上的數(shù)之和是正數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】

解：搖勻后任意摸出1個球，則摸出的乒乓球球面上的數(shù)是負數(shù)的概率；

故答案為：；

見答案.19.【答案】解：如圖，；

如圖：等腰為所求；

【解析】由BC的度數(shù)為，可知它所對的圓周角度數(shù)為，由此即可解題；

由AD的度數(shù)為，AB是的直徑，可得BD的度數(shù)為，進而可得，，延長DO交AC與E點即可得到，從而可得等腰三角形

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．20.【答案】解：如圖，過點O作AB的垂線交AB于點C，交于點D，連接OA、

設(shè)，

，

，

，，

，

在中利用勾股定理，得，即，

解得

答：這個圓形截面的半徑是

，，

，

，

，，

，

，

，

，

，

陰影

【解析】過點O作AB的垂線交AB于點C，交于點D，連接OA、設(shè)，根據(jù)垂徑定理和勾股定理計算即可；

利用三角函數(shù)求出的度數(shù)，從而求出的度數(shù)，再利用扇形和三角形的面積公式，根據(jù)“陰影部分的面積=扇形AOB的面積-三角形AOB的面積”計算即可．

本題考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理、扇形面積的計算，掌握垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理和扇形及三角形的面積計算公式是解題的關(guān)鍵．21.【答案】4506750

【解析】解：由題意得，若按每件55元銷售，每周銷量為件，

毛利潤為元

故答案為：450；

由題意得，，

一周銷售量件與元的函數(shù)關(guān)系式為；

由題意得，，

，

當(dāng)時，毛利潤有最大值，最大值為9000，

與x的函數(shù)關(guān)系式為，一周毛利潤的最大值為9000元，此時的銷售單價為70元．

由“若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件”知，按每件55元銷售，每周銷量為件，利潤=銷售數(shù)量售價-成本；

直接根據(jù)“如果按每件50元銷售，一周能賣出500件；若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件”即可求解；

利用“利潤=銷售數(shù)量售價-成本”可得w關(guān)于x的二次函數(shù)，于是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式．22.【答案】證明：，

，

，

，

，

，

，

，

四邊形DBCF是平行四邊形；

連接AE，

，，

，

四邊形AECF是的內(nèi)接四邊形，

，

，

，

，

，

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；

求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．

本題考查了圓周角定理及其推論，平行四邊形的判定，圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．