2024年十 圓的綜合問題簡單數(shù)學(xué)之中考二輪復(fù)習(xí)（解析版）（全國適用）

專題十圓的綜合問題

一、非動態(tài)問題

例題1如圖，在.A8C中，AB=AC,以AB為直徑的OO交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作所_LAC于點(diǎn)E,交AB

的延長線于點(diǎn)尸，連接4。.

(1)求證：EF是O的切線.

(2)求證：Z\FBDS/XFDA.

⑶若7)尸=4,BF=2,求。。的半徑長.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3

【解析】

【分析】

(1)連接OO,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及AB=AC,根據(jù)三線合?可得CO=8。，近而可得OO

是AAC"的中位線，根據(jù)E/J_AC,即可證明EF是，。的切線；

(2)根據(jù)Er是0。的切線，可得NOQF=90。，結(jié)合乙4。8=90。，可得NB。"=NAOD,又。4=。。，

7

ZAOD=ZOAD,繼而可得尸=ND4O=N￡)A產(chǎn)，根據(jù)N"=N”,即可證明△/W)S2\FDA；

(3)根據(jù)△m。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式代入數(shù)值可得.的長，即可求得AB,然后

求得半徑長.

(1)如圖,連接OO,

八B為。。的直徑，

/.ZADB=90°,

即AD1CB,

VAB-ACr

CD=BD，

AO=BO,

.-.OD//CA,

丁EFA.AC,

:.EhOD,

即是:。的切線，

(2)7所是《。的切線，

ZODF=90°,

即￡ODB+/BDF=驕,

?.ZADB=90。，

ZAD0+N8R=90。.

:.ZBDF=ZADO,

又OA=OD,

:.ZAD()=ZOAD,

:2BDF=ZDAO=ZZMF,

又?,?/〃=/斤，

叢FBDs^FDA,

(3)△FBDSAFDA,

BFDF

---=----,

FDAF

0=4,BF=2,

."=四^=8,

BF

:.AB=AF-BF=S-2=6,

二.O的半徑長3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的直徑所對的圓周角是直角，三線合一，三角形中位線的性質(zhì)與判定，切線的判定與性質(zhì),

相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)題

1.在中，NACB=90。，以BC為直徑的。。交/W于點(diǎn)D.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，以點(diǎn)8為圓心，8c為半徑作圓弧交A3于點(diǎn)M,連結(jié)CM,若NA8c=66。，求NACM；

(2)如圖②，過點(diǎn)。作。。的切線QE交AC于點(diǎn)E,求證：AE=EC；

3

⑶如圖③，在(1)(2)的條件下，若〃〃酒=一，求SA4DE：S&4cM的值.

4

【答案】(1)NACM=33。

(2)證明見解析

4

(3)5△人QE：S^ACM=-

5

【解析】

【分

(1)證明aBCM是等腰三角形，求出NACM=N8MC=57。，由NACB=90。，求得NACM：

(2)證明△EQO0Z\ECO(SAS)，則DE=CE,得到NA=NADE,即可求解：

(3)設(shè)8c=3x,AC=4.r,AB=5x,則￡Q=EC=gAC=AE=2r,由△AM〃SZ\A8C,得到5ZACM=：

xAOMH=^x4.r-x=—x2,同理可得：S^ADE=^AE*DI=^x2xx—x=—/,即可求解.

552525

(1)解：由題意知，BC=BM,

???△8CM是等腰三角形

,?NABC=66。，

???/8MC=NBCM=g(180°-ZA^C)=57°,

???NACB=90。，

/.NACM=ZACB-ZBCM=90°-57°=33°；

(2)解：如圖④，連接OE,OD,

圖④

TOE為圓。的切線，

：?2EDO=/EC()=90。,

???XEDO與AECO都是直角三角形

?：OE=OE,OD=OC,

：.AEDO^^ECO(HL),

:?DE=CE,

'：OD=OB

：.ZBDO=ZDBC

ZBDO+ZADE=90°,NO8C+NA=90。，

JZADE=ZA

：,AE=DE,

：,AE=CE^

(3)解：如圖⑤，過M作MH_LAC于點(diǎn)〃，過。作。/J_AC于點(diǎn)/,連接C。,

VBC是。0的直徑

:.NBDC=ZADC=90°

VZACD+ZA=90°,ZACD+ZDCB=90°,

ZA=ZDCB

3

tanZDCB=tanNA=一,

4

設(shè)BC=3x,AC=4x,

貝I」AB=yjAC?+BC?=5x，

'：AE=CE

???點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)

???ED=EC=^AC=AE=2x,

而AM=AB-MB—AB-BC=5x-3x=2x,

???NA〃M=N4C8=90°,ZA=ZA

...〉A(chǔ)MHsXABC,

.MH_AM

,\MH=-x,

5

則S^ACM=；xACxM”=；x4xx-61=—12x2,

~55

???N4〃?=N4C8=90°,NA=NA

AAD/^AABC,

48

同理可得：DI=—x,

25

ii4848

則—AE*DI——x2xx—.r——x2,

222525

4

所以SADE：S^ACM=-.

【點(diǎn)睛】

本題為圓的綜合題，主要考杳了圓的性質(zhì)，相似二角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理、勾股定理等知識,

關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用定理和性質(zhì)解決問題.

2.如圖1,在RAAAC中，ZC=90°,以8C為直徑的GO交斜邊AB于點(diǎn)M,若〃是4c的中點(diǎn)，連接

MH.

(2)若蕓=］，求0O的半徑.

4LJ>

⑶如圖2,在(2)的條件下分別過點(diǎn)A、8作。的切線，兩切線交于點(diǎn)。，AO與0。相切于點(diǎn)N,過N

點(diǎn)作NQ上BC,垂足為￡且交OO于。點(diǎn)，求線段AO、CN、NQ的長度.

48

【答案】(1)見解析(2)2(3)百

【解析】

【分析】

(1)連接。H、0M,易證OH是的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明△COH絲△M?！?，

所以NHCO=ZHMO=90°,從而可知MH是C。的切線；

3

(2)由切線長定理可知：="C,再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)可知AC=3,由tanZABC=-,所以8C=4,

4

從而可知。的半徑為2；

(3)連接CMAO,CN與AO相交于/,由AC、AN是(O的切線可知AOJ_CM由勾股定理可求AO長

度，利用等面積可求出可求得C7的長度，再由垂徑定理即可求CN的長度，設(shè)。石=大，然后利用勾股定理

可求得CE的長度，利用垂徑定理即可求得NQ.

(1)連接?！āM,

???〃是AC的中點(diǎn)，。是8c的中點(diǎn)，

???。”是△A8C的中位線，

：.OH//AB,

：?2C0H=ZABC,ZMOH="MB,

又：OB=OM.

NOMB=/MBO,

???KOH=NMOH,

在4cOH與AMOH中,

OC=OM

<NCOH=NMOH,

OH=OH

△CO”/ZkMOH(SAS),

，/HCO=NHMO=90。，

:?MH是-。的切線；

(2),?""/、八C是。的切線,

3

，HC=MH=-

2

???AC=2HC=3,

?,4C3

.----=一，

BC4

???BC=4,

???，O的半徑為2.

(3)

連接ON,OA與CN相交于點(diǎn)/,

??FC與AN都是。的切線，

AAC=AN,AO平分NCAO,

，AOA.CN,

VAC=3,OC=2,

???由勾股定理可求得：40=713

y-ACOC=-AOCI,

22

?e_6713

??c/=-----,

13

???由垂徑定理可求得：CN=?叵，

13

設(shè)OE=x,由勾股定理可得：CN2-CE2-ON2-OE1,

0E=—

13

由勾股定理可求得：EN=~^,

48

???由垂徑定理可知：NQ=2EN=—.

A

本題考杳圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理,全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定等知識內(nèi)容，綜

合性強(qiáng)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，點(diǎn)尸在)，軸的正半軸上，。尸交x軸于8、C兩點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰陽A4CD8。分別交

y軸和0P于E、F兩點(diǎn),連接AC、FC,AC與8。相交于點(diǎn)G.

(1)求證：ZACF=ZADB；

(2)求證：CF=DF；

(3)/08。=°；

(4)若08=3,OA=6,則△G。。的面積為

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)45(4)15

【解析】

【分析】

(1)連接AB,由圓的軸對稱性可得48二AC,則A8二A。，即可證明結(jié)論；

(2)rtlN4CD=/AOC,ZACF=ZADF,則有NACO—N4CT=NADC—ZADF,即NFCD=NFDC,得CF=DF；

(3)連接AF,由(2)JnCF=DF,則A尸是CO的垂直平分線：得A尸平分NC4。，再利用圓周角定理可

得答案；

(4)作C”_L8Z)于“，利用勾股定理可得AC=3石，CD=&AC=3M，

DH々CD，-CH，=-90-18=6、或，再由△￡)CGsZ\O8C，得DC?=OGQ3，代入求出。G的長，從而

得出答案.

.\BO=CO,

：.AB=AC,

又???AC=A。，

：.AB=AD,

工NABD=NAD3,

乂?：乙ABD=Z1ACF,

???Z.ACF=NADB；

(2)解：-：AC=AD,

:.ZACD=ZADC,

*/ZACF=ZADF,

???AACD-ZACF=ZADC-ZADF,

???即/產(chǎn)CD=NFOC,

：.CF=DFx

(3)解：如圖，連接AF,

由(2)知CF=DF,

???點(diǎn)/在CQ的垂直平分線上，

'：AC=AD,

???點(diǎn)A在CQ的垂直平分線上，

??//是C。的垂直平分線，

尸平分NC4D.

^CAF=-NG4O=1x90°=45°,

22

：,ZCBD=ZCAF=45Q,

故答案是：45；

(4)解：如圖，作。，于從

???08=003,ZDBC=45°,

，CH=BH=3叵，

V0A=6,0C=3,

:.AC=3石，

/.CD=>/2AC=3\[U),

DH=y/cif-CH2=190—18=6直，

，DB=BH+DH=9叵，

VZACD=ZDBC,NCDG=/BDC,

AADCG^ADBC,

/.DC?=DGDB，

即：(3屈y=QG.9VL

???0G=5&，

:.S“w=-xDGxC//=-x5V2>：3V2=15.

【點(diǎn)睛】

本題是圓的綜合題，主要考查了圓的對稱性、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直

角三角形的性質(zhì)等，利用前面探索的結(jié)論解決新問題是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于半圓。，8c是半圓。的直徑，CE是半圓。的切線，CE_LAT)交A力的延長

線于點(diǎn)E,DE：BC,0E與CD相交于點(diǎn)廣，連接和'并延長交AE的延長線于點(diǎn)G,連接CG.

4

(1)求證：AD//BC.

(2)探究。產(chǎn)與班'的數(shù)量關(guān)系.

(3)求tanNGBC的值.

【答案】(1)見解析(2)空=:，見解析(3)立

B卜25

【解析】

【分析】

(1)由切線的性質(zhì)得到N8CE=90。，再由CEJ_A。得到NA￡C=90。，最后由平行線的判定方法解答；

(2)連接0D,由平行線的性質(zhì)判定?'G-Q股@由相似三角形對應(yīng)邊成比例證得

DE=：OC=EG,繼而證明四邊形。。CG是菱形，再證明&OCQ二aGQXSAS),由全等三角形對應(yīng)邊相等

證得。尸二FG,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；

(3)過點(diǎn)G作G"_LBC的延長線于點(diǎn)“，證明△DCG是等邊三角形，四邊形￡CHG是矩形，設(shè)OC=r,

EC=與r=GH,CH=；r,繼而解得最后根據(jù)正切的定義解答即可.

⑴解：是半圓。的切線，

.?.NOCK—90。，

QADICE,

.\ZAEC=90°.

/.ZBCE+ZAEC=180°,

:.AD//BC；

(2)連接OD,

AG!IBC,

:qEFGgFB、山FE￡FO,

.EG_EFDEEF

~Bd~~OFJ~OC~~OF，

.EGDE

~BO='OC'

OB=OC,

EG=DE,

DE=-BC,

4

/.DE=L()C=EG,

2

:.DE+EG=OC,

DGHOC,

二.四邊形DOCG是平行四邊形，

?；OD=OC,

..?四邊形QOCG是菱形，

/.OC=CG,NOCD=NGCD,

OCmGCIXSAS),

:.OF=FG,

:.正FGOFB,

EGFG1

/.——=——=—,

OBBF2

?_O_F___1

BF2

(3)過點(diǎn)G作GH1BC的延長線于點(diǎn)H,

vDE=EG,CE!DG,

:.DC=GC,

丁四邊形OOCG是菱形，

/.DC=CG=DG,

.1DCG是等邊三角形，

設(shè)0C=/，/.GC=r,EG=-,

2

EC=—r=GH,

2

，,GHIRC,CE±AG,CE±BC,

...NGEC=ZECH=4CHG=90°,

???四邊形ECHG是矩形，

:.CH=EG=-IX)=-OC=-r

222f

?.BH=2r+-r=-r

22t

:.RtBHG中,

2r

GH2G

tan/G4C=

~BH=~5~=~T

-r

2

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何與圓的綜合，涉及切線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正切、全等三角形

的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識

是解題關(guān)鍵.

5.【概念提出】圓心到弦的距離叫做該弦的弦心距.

【數(shù)學(xué)理解】如圖①，在中，是弦，OPJ.AB,垂足為P,則OP的長是弦人A的弦心距.

②

(1)若0。的半徑為5,OP的長為3,則4B的長為.

(2)若。的半徑確定，下列關(guān)于人B的長隨著0P的長的變化而變化的結(jié)論：

①48的長隨著OP的長的增大而增大；②A8的長隨著0P的長的增大而減小；③A8的長與0P的長無關(guān).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

(3)【問題解決】若弦心距等于該弦長的一半，則這條弦所對的圓心角的度數(shù)為

(4)已知如圖②給定的線段E尸和。，點(diǎn)。是。內(nèi)一定點(diǎn).過點(diǎn)。作弦A8,滿足=請問這樣的

弦可以作條.

【答案】(1)8；(2)②;(3)90。；(4)2條.

【解析】

【分析】

（1）連接。小由勾股定理求出AP=4,再根據(jù)垂徑定理得出答案：

（2）設(shè)。。的半徑為〃（/>0）（定值），OP=x（x>0）,利用勾股定理得

AB2=2（AP）2=4Ap2=4^OA2-OP2=4（r2-x2）=-4x2+4r2,從而得出答案；

（3）連接。A,Oli,由題意知（￥=AP,則NA。產(chǎn)=45。，可得答案；

（4）作。PM/mQCB,則根據(jù)圓的軸對稱性可知，這樣的弦可以作2條.

（1）解：連接。A,如圖，

?：OP±ABt

：.AP=BP=^AB,

22

在心△OAP中,由勾股定理得：AP=S/OA-OP=4,

???止24尸=8,

故答案為：8；

①

（2）解：設(shè)。。的半徑為廣（/>0）（定值），OP=x（x>0）,

由（1）知，AB=2AP,

仍JoT-CP2，

AB2=2（AP）2=44產(chǎn)=4（JOA2_o尸）-=4（r2-x2）=-4x2+4r2,

???二次項(xiàng)-4/的系數(shù).4VO,

.?.x>0時(shí)，4不隨x的增大而減小，

\'OP>0,

??"￥隨X的增大而減小,

也隨x的增大而減小，

即AB的長隨0P的長增大而減小,

故正確結(jié)論的序號是②，

故答案為：②；

(3)解：連接。4,OB,

???弦心距等于該弦長的一半，

：.OP=AP,

NAOP=45。，

???NAO8=2NAOP=90。，

故答案為：90；

(4)解：如圖，作，則

根據(jù)圓的軸對稱性可知，這樣的弦可以作2條,

故答案為：2.

②

【點(diǎn)睛】

本題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì),

熟練掌握基本作圖方法.

6.己知。為AACD的外接圓，AO=CD.

(1)如圖I，延長人。至點(diǎn)8,使用)=4),連接6.

B

①求證：A48C為直角三角形；

②若：。的半徑為4,AD=5,求BC的值：

⑵如圖2,若NA0C=9O。，E為。上的一點(diǎn)，且點(diǎn)。，石位于AC兩側(cè)，作AAQE關(guān)于AO對稱的圖形

連接QC,試猜想QA,QC,Q。三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

圖2

【答案】⑴①見解析：②?2s；

4

⑵QC2=2QD2+QA2,理由見解析

【解析】

【分析】

（1）①利用如果三角形中一條邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形可得出結(jié)論；

②連接。4,0D,利用垂徑定理得到0DJ_4C且AH=C”，設(shè)。則0”=4-x,利用勾股定理列出方程

求得DH的值，再利用三角形的中位線定理得到BC=2DH；

（2）猜想QA,QC,Q。三者之間的數(shù)量關(guān)系為：。。2=2。/）2+。42.延長QA交。。于點(diǎn)F,連接DF,FC,

由已知可得/D4C=NOCA=45。：利用同弧所對的圓周角相等，得到N。/加NE=NOCA=45。，ZDFC=Z

D4C=45。，由于△4。。△與AOE關(guān)于4。對稱，于是/。。4=/斤45。，則得/為等腰直角三角形，△QFC

為直角三角形：利用勾股定理可得：。。2=。尸+。尸，。尸=2。。2；利用^QD4g△「￡>(:得至l]QA=FC,等量

代換可得結(jié)論.

(1)①?.AO=CO.BD=AD，

DB=DC.

:?/B;ZDCB,

：,ZBAC=ZDCA,

*/ZB+ZBAC+ZDCB+ZDCA=180°,

AZDCB+ZDCA=90°.

??.A48C為直角三角形：

②連接。4,OD,如圖，

-AD=CD,

???AD=CD，

.?.OQ_LACH.A”=C〃.

O的半徑為4,

..OA=OD=4.

設(shè)D”二x,則O〃=4-x,

〈AH2=OA2-OH；

AH2=AD2-DH2，

2

/.52-x2=42-（4-A:）.

解得：X=?25.

o

8

由①知：BCLAC,

-ODLAC,

:.OD//BC.

?1AH=CH,

25

/.BC=2DH=—.

4

(2)04,QC,Q。三者之間的數(shù)量關(guān)系為：QC2=2Q02+QA2理由:

延長以交0。于點(diǎn)尸，連接。尸，F(xiàn)C,如圖，

-/Z4DC=90o.AD=CD,

ZmC=ZDC4=45°.

/.Z.DFA=ZE=ZDCA=45°,ZDFC=ZDAC=45°.

ZQFC=ZAFD+NDFC=90°.

/.QC2=QF2+CF2.

A4QQ與AA￡厲關(guān)于AO對稱，

NDQA=NE=45。,

：.ZDQA=ZDFA=45°f

：.DQ=DF.

：.NQDF=1800-NDQA-NQFD=90°.

DQ2+DF1=QF1.

B|JQF2=2DQ2.

???NQDF=ZADC=90。,

ZQDA=ZCDF.

在AQD4和AFDC中,

4QAD=4DCF

</。。4=/。/。=45。，

DA=DC

:^QDA=\FDC（AAS）.

：.QA=FC.

.?."2=20。2+加.

【點(diǎn)睛】

本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理及其推論，等腰直

角三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，方程的解

法.根據(jù)圖形的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵.

7.定義：兩個(gè)角對應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做余等三角形.如圖1,在△ABC

和中，若NA+N￡=N〃+N￡>=90。，且八。=/）￡,則△八〃。和△/）石/足余等二角形.

（1）圖2,等腰直角△48C,其中NAC8=90。，4C=BC,點(diǎn)。是A8上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合），則圖

中A和4_______是余等三角形，并求證：Al^+BD^ICD2.

⑵圖3,四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，。。的半徑為5,且A〃+BC^nlOO,

①求證：△ABC和aAOC是余等三角形.

②圖4,連接4。交AC于點(diǎn)/,連接O/,￡為4/上一點(diǎn)，連接￡0并延長交用于點(diǎn)R若NAQS67.5。,

IE=IF,設(shè)0/=x,SAEIF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】（l）ACD；BCD；證明見解析；

（2）①證明見解析；②）,J2—2—25.

4

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題FI中余等三角形的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到△八和4。。。是余等三角形.過。

作DE_LAC于E,過。作。/_L8C于尺根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)分別用AD和BD表示

OE和。凡再根據(jù)矩形的判定定理和性質(zhì)確定CE=。凡再根據(jù)勾股定理即可證明；

(2)①連接。。并延長交于G,連接AG、CG.根據(jù)圓周角的性質(zhì)和勾股定理確定AG=BC,根據(jù)圓周

角的性質(zhì)和等量代換思想確定NACD+NB4C=90。，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證明ND4C+NACB=9()。，最

后根據(jù)題目中余等三角形的定義艮1可證明；

②連接04、OB,過。作。于M,過。作0N_LAC于M設(shè)OM=h.根據(jù)①中結(jié)論和圓周

角的性質(zhì)可確定ACJ_8。，根據(jù)圓周角的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)確定再結(jié)合矩形的

判定定理和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)把a(bǔ)O/M和△08M的邊用小兒x表示出來，根據(jù)勾股定理得到mb,x

之間的關(guān)系式，再將其代入三角形面積公式即可得到>'與x的關(guān)系式.

(1)解：如下圖所示，過。作力EJ_AC于E,過。作。凡L8C于r.

???等腰直角三角形△A&?中，ZACB=90°,

，NA+N8=180°-NACB=90。，ZACZHZBCD=90°.

VXC=BC,

/.AACD和△BCD是余等三角形.

故答案為：ACD,BCD.

:△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90。，AC=BC,

??.NA=N8」8(?4°=45。.

2

'：DEVAC,DF1BC,NAC8=90°,

：.DE=ADxsinZA=VAD,DF=BDxsin/B=~BD,四邊形CEO產(chǎn)是矩形.

22

：,CE=DF=^BD.

2

*：DE±ACt

：.DE2+CEr=CD2.

傳明軻=CD2.

AX￡>2+BD2=2CD2.

(2)解：①如下圖所示，連接。。并延長交。。于G,連接AG、CG.

???0G是。。直徑，且0。的半徑為5,

??.NGAO=90。，DG=\O.

：.AI^+AG2=DG2=100,NAGQ+NAOG=1800-NGAD=90°.

,：AD2+BC2=]00,

：.AG=BC.

/.NACG=NZMC.

???N4OG和NACG都是所對的圓周角，ZAGD和NACZ）是從。所對的圓周角,

???NAOG:NACG,NAGD=NACD.

：.ZADG=ZBAC.

,/ZAGD+ZADG=90°.

??.ZACD+ZBAC=90°.

???四邊形ABCZ）是。。的內(nèi)接四邊形，

，ZBAD+ZBCD=180°,即NBAC+NQAC+N4CB+Z4CD=180°.

，ZDAC+Z^CB=90°.

??YC是公共邊，

?二匕ABC和AAOC是余等三角形.

②如下圖所示，連接。4、OB,過。作OM_L8。于M,過。作OMLAC于M

A

VZ/AC7J和/A/3"都是是AQ所對的圓周角,

工NACD=NABD.

,?ZACD+ZBAC=90°,

.??ZABD+ZBAC=90°.

???ZAIB=\S00-ZABD-ZBAC=90°.

：.ACLBD.

?：IE=IF,

???△七//是等腰直角三角形.

.?./尼廣/而后幽3=45。.

2

AZ.AEO=180°-Z7￡F=135°,ZOFB=180°-Z/FE=135°,N4OE—NOAE=45°.

???NAEO=NOFB.

VZADB=67.5°,N4O區(qū)和N4Z18分別是人“所對的圓心角和留周角,

ZAOB=2ZADB=\35°.

???AA0E+ZBOF=180°-Z40?=45°.

：?/OAE=/BOF.

,:GO的半徑為5,。4和BO是C。的半徑,

：,OA=I3O=5.

:?AAOE*4QBF(AAS).

：.OE=BF.

V0M1BD,0N1AC,ACLBD,

???四邊形OM/N是矩形.

:?NI=OM,MI=ON.

設(shè)0E=mOM=b.

A

:?BF=a,Nf=b,FM=0L=〃,MI=ON=OExsENIEF=^a,EN=OExcosZ/EF=—a

tanZ/FE22

BM=BF+FM=a+b,IE=EN+NI=a+b.

2

222

???在RtZ\O/M中，O/W+M/2=O/2,oi=x,在RtZXOBW中，OM+BM=BO,

???〃+乎］=x2,即/+2從=2f,b2+(a+b)2=52,即/+2〃+2"=25.

2

*：IE=!F

+勿)+也劭=、2八也(汩馬(2-20產(chǎn)+25應(yīng)

S^EIF

4V7242I2"I-

.(2-2血卜2+25夜

y~4~

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，矩形

的判定定理和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵是解題關(guān)鍵.

8.如圖1,在等腰,48。中，A8=AC=2x/J,N8AC=120。，點(diǎn)。是線段8C上一點(diǎn)，以。。為直徑作。。，

。經(jīng)過點(diǎn)A.

⑴求證：A8是。的切線;

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AE_L8c垂足為E,點(diǎn)尸是上任意一點(diǎn)，連結(jié)E尸.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸是法的中點(diǎn)時(shí)，求需的值；

FF

②加圖3,當(dāng)點(diǎn)尸是。。上的任意一點(diǎn)時(shí)，工的值是否發(fā)生變化？請說明理由.

⑶在⑵的基礎(chǔ)上，若射線M與的另一交點(diǎn)G,連結(jié)EG,當(dāng)NGEF=90。時(shí)，直接寫出|斯-明的

值.

【答案】(1)見解析

FFIFFpp1

⑵①三二::②蕓的值不發(fā)生變化，仍為笠=理由見解析

BF2BFBF2

(3)|￡F-EG|的值為友.

【解析】

【分析】

(1)連接0A,證明A0_LA8即可.

⑵①連結(jié)OF,04,利用三角函數(shù)，勾股定理分別是E凡8尸的長.

②連結(jié)。尸，證明AEO/

(3)分點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)和右側(cè)兩種情形求解.

(1)證明：如圖1,連結(jié)40.

???AB=AC,ZBAC=120°,

I.ZB=ZC=30°.

???以DC為直徑作0O,0。經(jīng)過點(diǎn)A,

???ZOAC=ZC=30°,

??.ZBA0=9()0,

???OA1AB,且點(diǎn)A在I。上，

/.人8是O切線.

⑵①如圖2,連結(jié)OF,OA.

???OALAB,AELBC,Z5=ZC=30°,

/.OF=AO=ABtanNABO=273xtan30°=2,

BE=ABcosZABO=2x/3xcos300=3,OB=2AO=4,

，EO=4-3=1,

:點(diǎn)尸是0c的中點(diǎn),

OFLDC,

：?=@=石，BF=V42-F22=2X/5

EF_x[5_1

~BF~245~2

圖2

②答：黑的值不發(fā)生變化，仍為第=〈，

BFBF2

理由如下：連結(jié)OF,

..OE_1OF_2I

*~OF~1'

.OEOF

??~OF=~OB'

丁/EOF=/FOB,

，亞OFsMOB,

,EFOF\

..--=---=—.

BFOB2

①如圖4,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí)，連結(jié)OG,,DG,FC

..OEOG\

?OG~~OB~2'

???/EOG"GOB,

???&EOG—&GOB

EGOG1

—=—=/EGO=NGBO,

BGOB2

,?設(shè)EG」BG=x

2

??AEOFsbFOB，

FFOFI

—=—=-,NEFO=4FBO,

BFOB2

??V^EF=^BF=y

??/LEFO=/EGO=ZO13G,/EHG=NFHO,

?./GEF=NGOF=90。、

?.GF=y/2OF=2y/2,

，?2y-2x=2y/2,

即v-x=5/2.

②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí)，同理求得y-A=-x/2;

|y-x|=5/2.

圖5

綜上所述：|痔-EG|=VL

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的切線，三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓的基本性質(zhì)，熟練掌握三角函

數(shù)，三角形相似的判定，圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.【證明體驗(yàn)】

(1)如圖1,過圓上一點(diǎn)A作G。切線A。，AC是弦(不是直徑)，若是直徑，連接8C,求證:

ZmC=ZABC；

(2)如圖2,若"不是直徑，ZDACZABC(填或』”)；

(3)如圖3,(1)、(2)的結(jié)論是否成立，說明理由；

【歸納結(jié)論】

(4)由以上證明可知：切線與弦的夾角等于它所夾的弧對的；

【結(jié)論應(yīng)用】

(5)如圖4,A8C內(nèi)接圓于弦交4c于尸，過點(diǎn)A作的切線AD,交防的延長線

9

于點(diǎn)D.若AO=6,sinZ4CT=-,求線段踮的長.

圖2圖3圖4

【答案】(1)=；(3)成立,理由見解析；(4)圓周角：(5)5.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)及切線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角即可得結(jié)論；

(2)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等與切線的性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)連接A。，延長A。與CO交于點(diǎn)E,連接CE；根據(jù)圓周角定理與切線性質(zhì)可得結(jié)論；

(4)根據(jù)前三個(gè)小題的結(jié)論即可得答案；.

(5)連接AE,AE為的直徑，根據(jù)(4)的結(jié)論及解直角三角形、結(jié)合勾股定理可得答案.

【詳解】

(1)證明：如圖1.

???A8是(。直徑，

???ZACT=90°

???ZABC+ABAC=9()°

???△。是。的切線

???/BAO=90。

???^DAC+ZBAC=90°

???/DAC=ZABC

(2)『(寫文字”等于”也對)

(3)成立，理由如下：

如圖3,連接40,延長A0與G。交于點(diǎn)E,連接C￡

圖3

TAE是。直徑

???ZACE=90。，ZAEC+ZEAC=90°

?1A。是O的切線

???ZE4D=90°

???ZmC+ZE4C=90°

：.ADAC=ZAEC

又丁ZABC=ZAEC

???^ABC=ZDAC

(4)解：切線與弦的夾角等于它所夾的弧對的圓周角;

故答案為：圓周角：

(5)證明：如圖4,連接AE

圖4

VBE1AB,即ZA8E=90°

:.AE過圓心

丁人。是。的切線

/.ADAB=ZACB=ZAEB,ZZME=90°

2

XVsinZACZ?=-

3

.??sinNDAB=sinNAEB=sinZACB=-

3

在RtZ\ABO中，AD=6

：.DB=ADs\nZDAB=6x-=4

3

在Rt.DAE中，AD=6

AD八

,DME=-----------=-6=9

??sinZ.AEB2

3

???BE=DE-DB=9-4=5

【點(diǎn)睛】

此題考杳了直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓冏角相等、勾股定理、三角函數(shù)等知識，準(zhǔn)確而熟練

地運(yùn)用這些知識是解決此題的關(guān)鍵.

10.定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”.例如：凸四邊形A8CQ中，若NA=/C,

NBHNO,則稱四邊形A3C。為準(zhǔn)平行四邊形

A

⑴如圖①，半圓0的直徑為AC,OALOB，點(diǎn)石在過點(diǎn)A的切線上，且點(diǎn)。是/上的動點(diǎn)

(不在點(diǎn)A、C上)，求證：四邊形4E8O為準(zhǔn)平行四邊形.

(2)如圖②，準(zhǔn)平行四邊形ABC。內(nèi)接于。。，N國ND,若。。的半徑為5,AB=AD,則①準(zhǔn)平行四邊形

A8CD的面積S是線段AC的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式：如果不是，請說明理由；

②注平行四邊形八。C。的面積S有最大值嗎？如果有求出最大值，如果沒有，說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)①是，S=S^ACE=^x2：②沒有，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)可說明△048,A/WE是等腰直角三角形，得NE=45。，再利用圓周角定理得NQ=*NAOA=45。，

則NE=ND,再說明NE8DVNE4Q,從而證明結(jié)論：

(2)①將△AC。繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得ZUBE,則NA8E+/4BC=180。，知點(diǎn)E,B,C三點(diǎn)共線，可

得A4CE是等腰直角三角形，從而得出S=S^ACD+S^ABC=S^ABE+S^ABC=S^ACE=；

②當(dāng)AC最大時(shí)，S最大，此時(shí)AC為直徑，則NA5C=NAOC=9()。，此時(shí)四邊形44。。不是準(zhǔn)平行四邊形，

與題意矛盾.

⑴證明：VOALOB且OA=OB

???△048是等腰直角三角形，

則NOA8=NABO=45°

,?YE是圓。的切線，

：.OA±AE,則NB4E=45。

又*?密BA,

AZE=45°,ZEBA=90°,

而/。［乙4(用=45。

AZE=ZD

???NABQ<N4BO=45。，NO/1O>/OAC=45。，

A^ABD<^OAD,則NA8Q+90°<NOAQ+90。，即NEBZXNEA。

:.四邊形AEBD為準(zhǔn)平行四邊形

(2)解：①準(zhǔn)平行四邊形A8CO的面積S是線段AC的長x的二次函數(shù)，理由如下:

E\-----

???往平行四邊形43co內(nèi)接于。O,4B,4D,

???NA4O=N8C。，NZM￡>+/3CD=180。，

貝|JNBAD=NBCO=90。，

是直徑BZ>10,

?.Y8=AZ),將扇。。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，則A。與4B重合，因?yàn)锳8CO內(nèi)接于圓，:ZABC+ZZ>180°,

NABE=ND

:.ZABE+ZABC=\SO°

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AE=AC,

???△ACE是等腰直角三角形

/.S=S^ACD+S^ABC=S^ABE+S^ABC=S^ACE=-x2

2

②準(zhǔn)平行四邊形ABCD的面積S沒有最大值

因?yàn)楫?dāng)S最大時(shí)，工就最大，

即AC最大，此時(shí)AC為直徑，

又因?yàn)椤鰽8D也是等腰直角三角形，AC和8。都是直徑，

則此時(shí)四邊形ABC。是正方形，不是準(zhǔn)平行四邊形，與題意矛盾.

所以準(zhǔn)平行四邊形ABCD的面積S沒有最大值.

【點(diǎn)睛】

本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等

知識，理解準(zhǔn)平行四邊形的定義是本題的關(guān)鍵，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是本題的難度.

二、動點(diǎn)問題

例題2(2024.浙江溫州.三模)如圖，在。。中，人B是直徑，點(diǎn)。在圓內(nèi)，點(diǎn)。在圓上，COJ_半徑04于

點(diǎn)號延長4D交。。于F點(diǎn)，連結(jié)8F.當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C勻速運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)N恰好從點(diǎn)8勻速運(yùn)動到

點(diǎn)A,且M,N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)￡

⑴請判斷四邊形尸的形狀，并說明理由.

(2)連結(jié)AM并延長交。。于點(diǎn)G,連結(jié)OG,DN.記CM=x,AN=y,已知y=12-近x.

①求出AE和8尸的長度.

②當(dāng)M從C到E的運(yùn)動過程中，若直線OG與四邊形BFDN的某一邊所在的直線垂直時(shí)，求所有滿足條件

的工的值.

【答案】⑴矩形，理由見解析(2)①4E=4,Br=46；②4立-4、6夜-4指和4五

【解析】

【分析】

(1)由題意得必=處，進(jìn)而證明△AOES\8C。，推出//8090。，從而得證；

CDCEZ

(2)①當(dāng)變量x=0時(shí)，求出圓的直徑是12,進(jìn)而由C?=AE?8￡求得；

②分為0GJ_8N,0GA.DF,OG_LON三種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

(1)解：四邊形AC8”是矩形，

理由如下：如圖1,

由題意得，

ABBE

~CD~'CE'

.AB-BEBE

CD-CE~~CE'

.AERE

乂NAED=NBEC,

：.\ADES4BCD,

???￡DAE=NCBE,

：.AF//CB,

AZC5F+ZF=180°,

??Y8是。。的直徑，

/.ZF=90°,ZACB=90Q,

AZCTF=1800-ZF=90°,

???四邊形AFBC是矩形；

(2)解：①當(dāng)CW=()時(shí)，AN=AB=12,

當(dāng)CM=CD時(shí)，

AN=AE=\2-6CD,

???NACB=90。，

：,ZBAC+ZABC=90°,

,?ZAEC=90°,

NACE+NB4G90。，

???/ACE=NABC,

:.XACEsRCBE,

:?CE2=AE?BE,

:?CU=(12-V?CE)?VJCE,

???CK=4后，

：.AE=\2-V2CE=4,

.??BFMCZCE'AE?=46；

②如圖2,

當(dāng)0GJ_8N時(shí)，

〈CD上AB,

：.CD//OG,

???AAEM^^AOG,

AEOG

??------=------=1,

EMOA

：,EM=AE=4,

：,x=CM=CE-EW=40-4,

當(dāng)。G_L。/時(shí)，如圖3,

??CG;BG，

：.ZCAG=ZBAG,

作M，_LAC于，，

：.HM=ME,

VS^ACE=SAAEM+SAACM,

???yyAE-EA/+1AC-HM,

A4x4拒=4?￡M+48?EM,

AEMM76-272，

：,x=CD=CE-EM

=4及-(4x/6-2加)

=672-476，

當(dāng)。GJ_ON時(shí)，如圖4,

圖4

此時(shí)尸CE=4&,

綜上所述，產(chǎn)4&-4、6忘?4布和4板.

【點(diǎn)睛】

本寇考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形相似判定和性質(zhì)、矩形的判定等綜合知識，解決問題的關(guān)鍵是是理解變

量工與y的對應(yīng)關(guān)系：當(dāng)入=0時(shí)，產(chǎn)12,即求出圓的半徑是12.

練習(xí)題

1.（2024.浙江溫州?一模）如圖，在矩形A8CO中，A8=8,8c=6,E是線段A8上的一個(gè)動點(diǎn)，經(jīng)過A,

D,E三點(diǎn)的。。交線段AC于點(diǎn)K,交線段CD于點(diǎn)兒連接OE交線段AC于點(diǎn)F.

(1)求證：AE=DH；

(2)連接。K,當(dāng)?！昶椒諲AOK時(shí)，求線段￡>￡的長；

(3)連接HK,KE,在點(diǎn)￡的運(yùn)動過程中，當(dāng)線段HK,KE中滿足某兩條線段相等時(shí)，求出所有滿足條

件的AE的長.

【答案】(1)證明見解析

喈

79

(3)AE的長為二或弄或3

42

【解析】

【分析】

(1)連接證明四邊形AO"E是矩形即可；

(2)根據(jù)勾股定理可求出47=10.由角平分線的定義和圓周保定理可知AE=EK-根據(jù)

An

。七為。O直徑，結(jié)合垂徑定理，即可確定。七_(dá)LAC,從而可求證/A/?=NC48.最后根據(jù)cos//WE=

7D7Er

=8sNC4B=?=g,即可求出DE的長；

(3)分類討論當(dāng)，K=KE時(shí)、當(dāng)OH=KE時(shí)和當(dāng)時(shí)，根據(jù)解直角三角形和圓周角定理分別求解

即可.

(1)證明：連接“七，如圖1所示：

???矩形ABCZ),

：,ZDAB=ZADC=90°,

??.Z)E為。O直徑,

JNDHE=90。.

???四邊形ABC。是矩形，

，NADH=/DAE=9()。,

???四邊形是矩形，

：.AE=DH；

(2)解：如圖2所示：

;四邊形A8CQ是矩形，

AZB=ZADC=90°,