2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫：考點(diǎn)15 等腰三角形（解析版）

考點(diǎn)15等腰三角形

g命題趨勢(shì)

等腰三角形的性質(zhì)及判定是初中數(shù)學(xué)最為重要的知識(shí)點(diǎn)之一，也是重要幾何模型的“發(fā)源地”，

最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的。而數(shù)學(xué)中考中，等腰三角形單獨(dú)出題的可能

性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因?yàn)榈妊切慰梢苑旁诤芏嗄Ｐ椭校缘妊切谓Y(jié)

合其他考點(diǎn)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn)。

存知號(hào)導(dǎo)圖

判定：到線段兩跳距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上

存重w考向

一、等腰三角形的性質(zhì)和判定

二、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理

三、線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理

考向一：等腰三角形的性質(zhì)和判定

一.等腰三角形的性質(zhì)和判定

定義有兩邊長(zhǎng)相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊長(zhǎng)叫做腰，第三邊叫做底

軸對(duì)稱性：一般等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有1條對(duì)稱軸

性質(zhì)等邊對(duì)等角

三線合一（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合）。

判定①定義法；②等角對(duì)等邊

二.等邊三角形的性質(zhì)和判定

定義三邊長(zhǎng)都相等的三角形是等邊三角形

軸對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸

性質(zhì)等邊三角形三個(gè)角都相等，分別都等于60°

三線合一（等邊三角形三邊上均存在三線合一）。

定義法

判定有兩個(gè)角相等的等腰一:角形是等邊三角形

有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形

>特別注意：當(dāng)一個(gè)三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時(shí)，雖然不能直接

得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來(lái)證明該三角形是等腰三角形。

>等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=岸邊長(zhǎng)2

典例引微

,一▲」

1.等腰三角形的周長(zhǎng)為15cm,其中一邊長(zhǎng)為3c7".則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）

A.3cmD.6cmC.3c，〃或6cD.3c，?i或9c7〃

【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：當(dāng)腰是3cM時(shí)，則另兩邊是3。小9cm.而3+3V9,不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去.

當(dāng)?shù)走吺?c機(jī)時(shí)，另兩邊長(zhǎng)是6cM6cm.則該等腰三角形的底邊為3cM.

故選：B.

2.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則它的底角的大小是（）

A.25°B.20°C.25°或65°D.20，或70°

【分析】分兩種情況討論：①若NAV90°；②若NA>90°；先求出頂角/BAG即可求出底角的度數(shù).

【解答】解：分兩種情況討論：

①若NAV900,如圖1所示：

,：BDLAC,

AZ4+/4?D=90°,

?；480=50°,

AZA=90°-50°=40°,

VAB=AC,

???/A8C=NC=上(1800-40°)=70°；

2

②若NA>90°,如圖2所示：

同①可得：ND48=90°-50°=40°,

???/BAC=180°-40°=140°,

*：AB=AC,

/.ZABC=ZC=-1(180°-140°)=20°；

2

綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為70°或20°,

故選：D.

3.如圖，等腰△A8C中，AB=AC=\0,BC=5,A8的垂直平分線OE交AE于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,則4

8EC的周長(zhǎng)為（）

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE=BE,然后求出△BEC周長(zhǎng)=

AC+8C,再根據(jù)等腰三角形兩腰相等可得AC=A8,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

【解答】解：YOE是48的垂直平分線，

:?AE=BE,

/.2BEC^^z=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,

???腰長(zhǎng)4B=10,

：.AC=AB=\O,

???△8七。周長(zhǎng)=10+5=15.

故選：C.

4.如圖，在△43C中，D為BC邊上一點(diǎn),BD=AD=AC,NA4C=108°,則NZMC的度數(shù)為（）

【分析】由8O=AO=AC得N1=N2,Z3=Z4,由N4=N1+N2得，Z3=Z4=2Z1=2Z2,由/

84c=108°得N2+N3=180°?NBAC=180°-108°=72°,即可求出N2=24°,最后便可求出N

OAC的度數(shù).

【解答】解：

AZ1=Z2,Z3=Z4,

VZ4=Z1+Z2,

A/3=N4=2N1=2/2,

???/BAC=108°,

/.Z2+Z3=180°-NBAC=180°-108°=72°,

/.Z2+2Z2=72°,

，/2=24°,

AZ1=24°,

AZDAC=ZBAC-Z1=108°-24°=84°,

故選：D.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,A。平分NB4C,DEA.AB,DF1AC,E,尸分別為垂足，則下列四個(gè)結(jié)

論：（1）/DEF=4DFE；（2）AE=AB（3）4。平分/瓦）尸；（4）AD垂直平分E/，其中正確的有（1）

(2)⑶⑷.(填序號(hào))

【分析】由在△ABC中，AB=AC,AD平分N8AC,DELAB,DF±AC.根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得

DE=DF,即可證得NOE尸=N。/E；又由等角的余角相等，可得N4OE=N/WF,然后由角平分線的性

質(zhì)，證得AE=AF,又由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，證得4。垂直平分Er.

【解答】解：(1)?.?A。平分N8AC,DE1AB,。尸_LAC,

:,DE=DF,

：?/DEF=NDFE；正確：

(2)平分NB4C,DE.LAB,QF_LAC,

AZADE=ZADF,ED=FD,

.\AE=AF,正確；

(3)*：AE=AF,40平分NB4C,

??冷。垂直平分E尸，故(4)正確；

由(2)知理)="),

平分NEZ)產(chǎn)；

故(3)正確.

故答案為：(1)(2)(3)(4).

6.等接△ABC中，AB=AC,點(diǎn)E為底邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，E4長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交A8于點(diǎn)。，

測(cè)得NCAE=80°,ZE4D=54°,則NDEB=31°.

【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求NC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求N4EC,根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)可求NAED,再根據(jù)平角的定義即可求解.

【解答】解：???NCAE=80°,ZEAZ)=54°,

/.ZCAB=134°,

a：AB=AC,

：.ZC=(180°-134°)4-2=23°,

AZAEC=1800-ZCAE-AC=1T,

由作圖可知EA=ED,

：.^EDA=54°,

/.ZAED=180°-54°X2=72°,

/.ZDEfi=180°-77°-72°=31°.

故答案為：31.

7.如圖所示，在坐標(biāo)平面中，A(0,4),C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，CO=3,AC=5,若點(diǎn)尸為y軸上一動(dòng)

點(diǎn)，以PC為腰作等腰三角形△PCQ,已知NCPQ=2NACO=2a(a為定值)，連接OQ,則OQ的最小

值為衛(wèi).

【分析】延長(zhǎng)AC至點(diǎn)”,連接PM,使PM=AP,證出NCPM=NAPQ,進(jìn)而證明△CPMgZ\QE4(SAS),

得到N%Q=NM=NC4O,求出OC=OM當(dāng)OQ_LAN時(shí)，OQ有最小值，利用S“0N=SA4OC,求出

OQ的最小值.

【解答】解：延長(zhǎng)4C至點(diǎn)M,連接PM,使PM=AP,

■:乙4co=a,

???/M=NCAO=90°-a,

AZAPQ=180°-2a,

:.乙APM=2a=/CPQ,

：?4CPM=/APQ,

又；CP=PQ,PM=PAt

:?XCPMm2QPA(SAS),

：,/PAQ=AM=ACAO.

：?OC=ON,

???當(dāng)0Q_L4N時(shí)，OQ有最小值，

.：SSON=SAAOC，

???y-OC-OA=y-ANOQ?

???3X4=5OQ,

解得OQT，

???。。的最小值是看，

故答案為：12.

8.如圖，已知點(diǎn)尸是射線MN上一動(dòng)點(diǎn)，NAMN=35°,當(dāng)N4為110°或72.5°或35°時(shí),

是等腰三角形.

【分析】若△4MP為等腰三角形則有人M=AP、4M=MP和三種情況，分別利用等腰一：角形的

兩底角相等可求得NA的值.

【解答】解：若△AMP為等腰三角形則有4M=4尸、和MP=4戶三種情況，

①當(dāng)AM=AP時(shí)，則有NM=/APM=35°,

AZA=110°；

②當(dāng)時(shí)，則NA=NAPM=72.5°；

③當(dāng)MP=AP時(shí)，則NA=N4MN=35。，

綜上可知NA為110°或72.5°或35°,

故答案為：110°或72.5?；?5°.

9.在如圖所示的3X3方格中，以4B為邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形有4個(gè).

B

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A、4為圓心，48長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，即可得出第三個(gè)頂點(diǎn)的位置.

【解答】

解：如圖所示,

分別以A、B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)。、Q、C3、C4,即為第二個(gè)頂點(diǎn)的位置;

故以A8為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出4個(gè).

故答案為：4

10.如圖所示，NAO3=60°,。是50延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，0C=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿C3以3aMs

的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以2cMs的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用/（s）表示移

時(shí)，△PO。是等腰三角形.

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段0。上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)

線上時(shí).分別列式計(jì)算即可求.

【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段0C上時(shí),

設(shè)t時(shí)后△POQ是等腰三角形,

有OP=OC-CP=OQ,

即12-3r=2n

解得，尸烏;

5

（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過(guò)C0時(shí)的時(shí)間已用5s,

當(dāng)APO。是等腰三角形時(shí)，t：ZPOQ=60°,

???△POQ是等邊三角形，

:.OP=OQ.

即31-12=2/,

解得，尸⑵

故答案為衛(wèi)或12.

5

CpoB

11.如圖，/XABC中，AB=BC,ZC=60°,4。是BC上的高，DE//AC,圖中與80（8。除外）相等的

線段共有（）條.

小

BDC

A.1B.2C.3D.4

【分析】由已知條件可判斷△ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得5Q=CQ,再根據(jù)平行線

的性質(zhì)可得NBEO=N￡D8=60°,可得△8EO是等邊三角形，即可得出再根據(jù)8力=

CD,ED//AC,可得七。是△ABC的中位線，即可得出8E=AE,即可得出答案.

【解答】解：/XABC中，AB=BC,ZC=60°,

???△ABC為等邊三角形，

??飛。是BC上的高，

:?BD=CD,

?：DE〃AC,

：?/BED=/EDB=600,Z5=60°,

???ABED是等邊三角形，

:,BD=ED=BE,

?；BD=CD,ED//AC,

是△ABC的中位線，

：?BE=AE,

：,BD=AE.

，圖中與8。（8。除外）相等的線段有CO、DE、BE、AE共4條.

故選：D.

12.已知：如圖，八人8右和八。五仁都是等邊二角形.力是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，4。與"內(nèi)相交于點(diǎn)P.AC.

8E相交于點(diǎn)M,AD.CE相交于點(diǎn)M則下列五個(gè)結(jié)論：①AO=6E；②/BMC=NANC;③NAPM=

60°；④4N=BM；⑤ACMN是等邊三角形.其中，正確的有（）

【分析】根據(jù)先證明△BCEgZLACQ,得出人。=83根據(jù)已知給出的條件即可得出答案;

【解答】解：:△ABC和△DEC都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,NACB=NECD=60°,

:./ACB+NACE=ZECD+ZACE,即N8CE=ZACD,

:,△BCE/AACD(SAS),

：,AD=BE,故選項(xiàng)①正確；

VZACB=ZACE=60°,由△BCEg/XACO得：/CBE=NCAD,

：?4BMC=NANC,故選項(xiàng)②正確；

由△BCE且△ACO得：NCBE=NCAD,

?；/ACB是△ACO的外角，

/.^ACB=ZCAD+ZADC=^CBE+ZADC=6Q0,

又乙APM是△PB。的外角，

???/APM=NCBE+NADC=60°,故比項(xiàng)③正確；

在AACN和△8CM中，

rZCAN=ZCBM

<AC=BC，

ZACN=ZBCM=600

:.△ACNdBCM,

；.AN=BM,故選項(xiàng)④正確；

:.CM=CN,

???△CMN為等腰三角形，???NMCN=60°,

???△CMN是等邊三角形，故選項(xiàng)⑤正確:

故選：D.

13.如圖.已知A。平分/AMC,7DF.R=7FRC=600.若用?=5,。內(nèi)=2,則RC=7

【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出△BEM為等邊三角形，得出七=5,從而

得出8N的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：延長(zhǎng)上。交8C于M,延長(zhǎng)AO交BC于N,如圖，

?：AB=AC,A。平分/8AC,

.??4N_L8C',BN=CN,

?：/EBC=NDEB=60°,

???△BEM為等邊三角形，

:?BM=EM=BE=5,ZEMB=6O0,

VDE=2,

???0M=3,

??YN_LBC,

???/ONM=90°,

：?4NDM=30°,

.?.NM=L)M=3.

22

:?BN=BM-MN=5-旦=工

22

???BC=2BN=7.

14.如圖，點(diǎn)。是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，N4OB=110°,NBOC=a.以0C為一邊作等邊三角形OCD,連

接AC、AD.

（I）當(dāng)a=lSO。時(shí).試判斷八4。。的形狀，并說(shuō)明理由:

（2）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△40。是等腰三角形？

【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△8OC0ZXAOC,然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出

的度數(shù)，由此即可判定△AO。的形狀；

（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）???△oco是等邊三角形，

:.OC=CD,

而AABC是等邊三角形，

：.BC=AC,

???/AC8=NOCD=60°,

:,乙BCO=NACD,

在ABOC與△4QC中，

rOC=CD

???<ZBCO=ZACD*

BC=AC

:?△BOC"AADC,

??,乙BOC=Z1ADC,

而/8OC=a=150°,NOOC=60°,

??./AOO=150°-60°=90°,

??.△A。。是直角三角形；

(2)???設(shè)/CBO=NC4O=a,ZABO=b,/B4O=c,NCAO=d,

則a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+J=60°,

：.b-d=\O°,

J(600-a)-J=10°,

???o+QSO。，

即//”。=50°，

①要使人。=4。,需/4。。=/4。。?

A1900-a=a-60°,

??.a=125°5

②要使04=。。，需NO4O=NAOO,

Al10°+80°+60°+a=360°

Aa=110°；

③要使00=40,需NOAO=NAOO,

1100+50°+60°+a=360°,

.,.a=140°.

所以當(dāng)a為110°、125°、140°時(shí)，三角形A。。是等腰三角形.

15.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)A作8C的平行線交N4BC的角平分線于點(diǎn)O,連接CZ）.

（1）求證：△A8為等腰三角形；

（2）若/84。=140°,求NACO的度數(shù).

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得出N1=N3,進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC=A。即可；

（2）由（1）知N1=N2=N3,根據(jù)已知條件得到/1=/2=/3=工（180°-ZBAD）=20°,根據(jù)

2

等腰三角形的性質(zhì)得到NACB=NABC=40°,根據(jù)平行線的選擇得到NADC+NAC￡>=180°,于是得

到結(jié)論.

【解答】（1）證明：：①）平分NA8C

AZ1=Z2.

*：AD//BC>

???Z2=Z3.

r.zi=Z3.

.\AR=AD.

'：AB=AC,

**?AC=ADr

???△48為等腰三角形；

(2)解：由(1)知，Z1=Z2=Z3S

VZBAD=140°,ZBAD+Z1+Z3=18O°,

r.Zl=Z2=Z3=A(1800-ZBAD)=20°,

2

A^ABC=40°,

*：AB=AC,

???/ACB=NA3C=40°,

由(1)知，AD=AC,

???/ACO=N4OC=/8OC+/3=NBDC+20°,

■:AD//BC,

???/AOC+N8C￡>=180°,

A40°+(NBOC+200)+(N8OC+20。)=180°,

，/BOC=50°,

AZ4DC=70°,

*：AC=AD,

???/AC￡>=NAOC=70°.

Dc

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為C4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，Q￡_L6C于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,若AF=BF.

求證：(1)△A。尸是等腰三角形.

(2)DF=2EF.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可證得ND=NOR,根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結(jié)

論；

(2)過(guò)A作A，_LOE于”，由等腰三角形的性質(zhì)可得￡>"="/,根據(jù)全等三角形的判定證得△AFHg

△BFE,得到?！?尸"=￡：尸，即可求出。尸=2E尸.

【解答】證明：(1)*：AB=AC,

:.4B=/C,

VDE±BC,

:?NB+NBFE=NC+ND=90°,

：?/D=NBFE,

,:乙BFE=4DFA,

AZD=ZDM,

***AD=AF'r

??.△AO尸是等腰三角形；

(2)過(guò)4作A”_LOE于"，

VDE1BC,

AZAHF=ZBEF=90°,

由(1)知，AD=AF,

:?DH=FH,

在△AFH和48/話中，

rZAHF=ZBEF

<NAFH=NBFE，

AF=BF

:?2AF曄4BFECAAS),

:,FH=EF,

:.DH=FH=EF,EC

：.DF=2EF.

考向二：角平分線的性質(zhì)與判定

一.角平分線的性質(zhì)定理與判定定理

性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

判定定理：角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。

方依技巧

角平分線常見(jiàn)的處理策略:

1.角平分線+〃一等腰4

特別地：①AD為向平分線；@DEIIAB;@AE=ED

若以上3個(gè)條件中有2個(gè)成立，則刎余的那個(gè)就會(huì)成立。

即：三條件讖又“知2得1”

!☆其中：

|1.平行線的引入方法常見(jiàn)的有：

；①直接給出的平行；②平行四邊形及特殊平行四邊形；③梯形的上下底邊；

；④輔助線作出的平行；⑤其他條件證明得到的平行；

；2.當(dāng)?shù)妊魇墙Y(jié)論時(shí)，常接著用等腰△的性質(zhì)；

|3.“知2得1”在圓中應(yīng)用時(shí)，常用"角平分線+等腰T〃"，進(jìn)而得某角二RtN,證直線與圓相切。

2.角平分線十_L一等腰△；

（即“三線合一"的你應(yīng)用，此類問(wèn)題常和圓的性質(zhì)結(jié)合考察）

3.見(jiàn)角平分線，作雙垂一得全等或線段相等，亦可以用;

（作“_L”，即作“高”；有“高”想“面積”，進(jìn)而拓展想“等積法”;

再往后還可延伸“平行線等積模型”、面積比=底邊之比等）

其中，“得線段相等”是因?yàn)槠湫再|(zhì)定理；更深一步

的應(yīng)用方向可以是：

①用于“等處代換“；②再證全等的條件；③將“雙垂”

者作“雙高線”，進(jìn)而得兩個(gè)△面積之間的關(guān)系；④當(dāng)角

平分線多于1條時(shí)，可能要結(jié)合其判定定理證其他線也是

角平分線

4.見(jiàn)角平分線，作對(duì)稱

（即截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)全等）A

5.圓中：由角平分線得角相等，進(jìn)而推知1得4；

6.重要思想f倍半角模型：

與角平分線有關(guān)的問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“倍半角”關(guān)系，可利用“倍半角模型”解題。

典例引

,----▲41

1.三條公路將A,B,C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使集

貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（）

A.三邊高線的交點(diǎn)B.三條垂直平分線的交點(diǎn)

C.三邊中線的交點(diǎn)D.三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可.

【解答】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在NA、乙B、NC的角平分線的交點(diǎn)處.

故選:D.

2.如圖，在△A8C中，ZC=90°,AO平分NCA8,若A3=10,8=3,則△48。的面積是（）

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。于區(qū)根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得OE=CZ）,再利用三角

形的面積公式列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OE_LAB于E,

VZC=90°,平分N8AC,

:,DE=CD=3,

???'ABD的面積=/郎四］義10X3=15-

乙乙

故選：C,

3.如圖，已知△ABC的面積為10,8P平分NABC,且AP_LBP于點(diǎn)P,則aBPC的面積是（）

A.10B.8C.5D.4

【分析】延長(zhǎng)4P交8。于￡根據(jù)已知條件證得△A8P0△EBP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

得出&A8P=SaE5P,SAACP=5A￡CP,SApgC

【解答】解：延長(zhǎng)AP交8c于E,

二?BP平分NA8C,

:.NABP=NEBP,

工NAPB=NEPB=90°,

在Z\ABP和△EBP中，

rZABP=ZEBP

<BP=BP，

ZAPB=ZEPB

:.△ABPqAEBP(ASA),

:,AP=PE,

S^BP=S&EBP.S&ACP=S^ECP，

SAPBC^SAABC卷X10=5，

故選：c,

4.如圖，N8OP=N4OP=15。，PC//OB,PO_LO8于0,PC=4,則P0的長(zhǎng)度為（）

DB

A.2B.3C.4

【分析】作PEYOA于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N4CP=NA08

=30°,由直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得即可求得PQ.

【解答】解：作PEJ_Q4于E,

*：4A0P=/B0P,PDLOB,PELOA.

：,PE=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），

???/BOP=NAOP=15°,

???/AO8=30°,

,:PC〃OB,

，/ACP=NAO8=30°,

???在RdPCE中，PE=APC=AX4=2（在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），

:?PD=PE=2,

故選：A.

5.如圖：已知在△ABC中，NACB=9（T,BC=6,AC=8,CE為△ABC的角平分線，EF//AC,則￡尸

的長(zhǎng)度是（）

c

A.匹B.建C.匹D.4

776

【分析［根據(jù)E/ZMC,得到Er_L8C,過(guò)點(diǎn)E作EO_L4C,易得：EF=ED,利用等積法，求出E尸的

長(zhǎng)度即可.

【解答】解：?：EF//AC,

???/EF8=NAC8=90°,

：.EFLBC,

過(guò)點(diǎn)E作瓦＞_LAC,交AC于點(diǎn)。，

???CE為△ABC的角平分線，

:.DE=EF,

■:SMBC=SMEC+S.CEB,即：工?AC?BC=2?AC?E￡>+^?8C?EF=2?(AC+BC)?EF,

2222

A6X8=(6+8)*EF,

故選:B.

6.如圖，/XABC中，ZABC./尸。的角平分線8尸、CP交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)力、BC,PM上BE于M,PN±

BF于N,則下列結(jié)論：①AP平分NE4C；@ZABC+2ZAPC=180°；③/84C=2N8PC；?S^PAC=S

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作PDJ_4C于。,根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①;證明RtAB4M^RtAB4D,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)判斷④.

【解答】解：①過(guò)點(diǎn)尸作POL4C于。，

平分NABC,PC平分N產(chǎn)CA,PM1BE,PNJLBF,PDLAC,

:?PM=PN,PN=PD,

:?PM=PD,

?；PM_LBE,PDA.AC,

??"/)平分NEAC,故①正確：

@'：PMA.AB,PN上BC,

???/48C+90°+NMPN+90。=360°,

???/A8C+NMPN=l80°,

在Rt△以M和RtABAD中，

(PM=PD

IPA=PA,

，Rt△以M絲RlABA。(HL),

:./APM=NAP。，

同理：RtAPCD^RtAPCA^(HL),

:2CPD=NCPN,

:.4MPN=24APC,

：.ZABC+2ZAPC=180°,②正確；

③；必平分NC4EBP平分NABC,

；?NCAE=/ABC+NAC8=2N%M,ZPAM=^ZABC+^APB,

2

???/AC8=2NAPB,③正確；

④由②可知Rt△%M也RtZ\B4。(HL),RtAPCD^RtAPCN(HL),

ASMPD=SAMAP?S&CPD=SANCP，

5AAMC=5AA/4P+SANCP?故④正確，

故選：D.

E

“CNr

7.如圖，A、8兩點(diǎn)分別在射線OM,ON上，點(diǎn)C在NMON的內(nèi)部，RAC=BC,CD.LOM,CELON,

垂足分別為O，E,RAD=BE.

(1)求證：OC平分NMON；

(2)若AO=3,80=4,求40的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理推出RtAADC^RtABEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD=

CE,再得出答案即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AQ=BE=3,根據(jù)全等三角形的判定定理推出RtZXOOCgRtZXOEC,

用根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出。。=08,再求出答案即可.

【解答】(1)證明：*：CD±0MtCE_ON,

???/AOC=NCE8=90°,

在RlAADC和RtABEC中,

fAC=BC

lAD=BE，

ARtAADC^RtABEC(HL),

:?CD=CE,

?HOM,CELON,

：.OC平分4M0N；

(2)解：VRtAADC^RtABEC,40=3,

：.BE=AD=3f

???80=4,

，OE=OB+BE=4+3=1,

*/CDICM,CF.ION,

：?NCDO=NCEO=90°,

在RlADOC和RlAEOC中,

[oc=oc,

(CD=CE'

ARtADOC^RtAEOC(HL),

：,OD=OE=1,

\MD=3,

:.OA=OD+AD=7+3=10.

8.如圖，點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)在一直線上，在BC同側(cè)作△8CO、ABCE,若BE,CE分別平分NABO,/BCD,

過(guò)點(diǎn)B作NCBD的平分線交CE于點(diǎn)F.

(1)已知NE=27°,求的度數(shù)；

(2)若BE〃CD,BO=8,求線段BE的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，若BF=6,求線段CO的長(zhǎng).

【分析】（1）由NE+NEBD=NDFNDCE,再由角平分線定義，三角形外甭的性質(zhì)，可推出NO=2NE；

（2）由平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，可以推出

（3））延長(zhǎng)5尸交0c于G,作3H_LEC于H,由勾股定理可以求出3的長(zhǎng)，列出關(guān)于尸G的方程，求

出尸G,再由勾股定理求出CG的長(zhǎng)，即可求出。的長(zhǎng).

【解答】解：（1）BE,CE分別平分NABD,NBCD,

:./EBD=L/ABD,NDCE=L/BCD,

22

?：4ABD=ND+NDCB,

：./EBD=LND+工NDCB,

22

<NE+NEBD=ND+NOCE,

ZE+AzD+-izDCfi=ZD+-1ZBCD,

222

AZD=2ZE=54°；

(2)VRE//DC,

：.Z.D=NEBD,NDCB=NEBA,/E=/DCE,

?：4EBD=NEBA,NDCE=NBCE,

：?4D=/DCB,/E=NECB,

:?BE=BC,BD=BC,

???BE=BO=8；

(3)延長(zhǎng)5產(chǎn)交OC于G,作5”_LEC于”，

■:4EBD=L/ABD,NDBF=Z/DBC,

22

：?"BD+/DBF=Z(N48O+NO8C),

2

r.ZEBF=AzABC=90°,

2

/.￡F=^BE2+BF2=^g2+62=io,

,:EF?BH=BE?BF,

???10B"=8X6,

：.BH=4.S,

???C//=VBC2-BH2=V82-4.82=64*

ra=VBF2-BH2=V62-4.82=3-6'

：?CF=CH-FH=2.8,

,:BD=BC,8G平分NCBO,

???BG_LDC,

VCG2=BC2-BG1=CF2-FG1,

A82-(6+FG)2=2.82-FG2,

???FG=1.68,

22=224-

???CG=4CF2-FG2r2.8-1.68

：.CD=2CG=4A8.

考向三：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理

性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等。

判定定理：到線段兩端的距離相等點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

角平分線與線段垂直平分線常見(jiàn)輔助線的區(qū)別:

角平分線：過(guò)點(diǎn)作到邊的垂線段；

線段垂直平分線：連接兩個(gè)端點(diǎn)

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.三角形的角平分線將三角形的面積平分

B.三角形的外角一定大于它的任意一個(gè)內(nèi)角

C.在△4BC中，若N4+N8=NC,則這個(gè)三角形是直角三角形

D.若線段AB垂直平分線段CQ,則線段。。必垂直平分線段

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的中線，三角形的內(nèi)角和定理，逐一判斷即可解答.

【解答】解：4、三角形的中線將三角形的面積平分，故4不符合題意；

8、三角形的外角一定大于它的任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，故B不符合題意；

。、在△ABC中，若NA+NB=NC,則這個(gè)三角形是直角三角形，故。符合題意；

。、若線段A8垂直平分線段CD,而線段CD不一定垂直平分線段48,故。不符合題意；

故選：C.

2.如圖，在△A8C中，。后是A8的垂直平分線，BC=10,AC=14,則△BCD的周長(zhǎng)為（)

E

D

8C

A.14B.24C.10D.26

【分析】依據(jù)。石是△4BC中4B邊的垂直平分線，即可得到4O=B。，再根據(jù)8C=10,AC=14,即可

得到△BCE的周長(zhǎng).

【解答】解：TOE是△ABC中A8邊的垂直平分線，

:.AD=BB,

又；8C=10,4c=14,

/.2BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD

=BC+CD+AED

=BC+AC

=24,

故選：B.

3.如圖，ZBAC=\05°,AB=AC,若MP和NQ分別垂直平分A8和AC,則NB4Q的度數(shù)是（）

【分析】由4B=AC,ZBAC=100°,可求得NB+NC的度數(shù)，又由MP,NQ分別垂直平分4B,AC,

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AP=BP,AQ=CQ,繼而求得NB4P+/CA。的度數(shù)，則可求得答案.

【解答】解：YA8=AC,N8AC=105°,

???/8+NC=180°-ZBAC=15°,

■:MP,NQ分別垂直平分48,AC,

：.AP=BP,AQ=CQ,

：./BAP=NB,NG4Q=NC,

，/B4P+NC4Q=75°,

：./PAQ=ZBAC-(N8AP+NCAQ)=30°.

故選：C.

4.如圖，銳角三角形ABC中，直線/為BC的垂直平分線，直線〃?為NABC的角平分線，/與相相交于P

點(diǎn)，若NA=65°,ZACP=22°,則的度數(shù)是()

A

【分析】連接以，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到P8=PC,得至l[NPBC=NPCB,根據(jù)角平分線的定

義得到NP8C=NA5P,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可.

【解答】解：連接外，

???直線L為8C的垂直平分線，

???PB=PC,

工乙PBC=/PCB,

??,直線PM為NABC的角平分線，

:./PBC=NABP,

設(shè)則NPCB=NA8P=x,

/.j+x+x+65°+22°=180°,

解得，x=31°,

故選：A.

A

5.如圖，在RtaABC中，D為BC上一點(diǎn):DE1AB,且AE=BE,若NG4D=4N8,BD=6,則AC=()

A

CDB

A.3B.3V3C.4D.5

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性度，等腰二角形的判定和性質(zhì)，二角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：VDE±AB,AE=BE,

垂直平分A8,

：.AD=BD=b,

:.乙DAB=4B,

???/C4D=4N8,

?"CAB=5/B,

VZC=90°,

：.ZCAB+ZB=90°,

；?NB=NDAB=15°,

A^ADC=ZB+ZBAD=30°,

??.4C=工。=3,

2

故選:A.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(5,5),點(diǎn)8(1,1),點(diǎn)C(7,1),若點(diǎn)尸到點(diǎn)A、B、C的距離相

等，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,2).

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出點(diǎn)尸，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：???點(diǎn)P到點(diǎn)A、8、C的距離相等，

???點(diǎn)P是線段43、3c垂直平分線的交點(diǎn)，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2),

故答案為：(4,2).

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A,4為不重合的兩個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)。到A,5兩點(diǎn)的距離相等，則稱點(diǎn)。是線

段AB的“公正點(diǎn)”.特別地，當(dāng)60°WNAC8W180。時(shí)，稱點(diǎn)C是線段A8的“近公正點(diǎn)”.

(1)已知A(1,0),B(3,0),在點(diǎn)C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)中，線段AB

的“公正點(diǎn)”為點(diǎn)。(2,0),點(diǎn)E(2,?2.3)；

(2)已知點(diǎn)M(0,3),作NOMN=60°,射線MN交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N.

①若點(diǎn)尸在y軸上，點(diǎn)P是線段的“公正點(diǎn)”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,?3):

②若點(diǎn)。(小b)是線段MN的“近公正點(diǎn)”，直接寫(xiě)出b的取值范圍是-30W6.

【分析】(1)判斷點(diǎn)C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)在直線x=2上即可；

(2)①畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出答案即可；

②得出點(diǎn)Q的兩個(gè)“臨界值”，即b的“臨界值”即可.

【解答】解：(1)如圖，A(1,0),B(3,0),線段48的“公正點(diǎn)”在線段A8的中垂線上.

即“公正點(diǎn)”在直線x=2的直線上，

在C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)中只有點(diǎn)C、點(diǎn)E在直線x=2上，

故答案為：點(diǎn)C(2,0),點(diǎn)￡(2,-2.3)；

(2)①如圖，作MN的中垂線交)，軸的負(fù)半軸于Pi,

?；OM=3,NOMN=60°,

:?MN=2OM=6,ON=?OM=3?,

在RlZ\PiQM中，MQ=』MN=3,/OMN=60°,

2

；?PiM=6,

：.OP\=P\M-OM=(y-3=3,

???點(diǎn)Pi(0,-3),

故答案為：(0,-3)；

②如圖，連接PiN,由對(duì)稱性可知△MNPi是正三角形,

此時(shí)，NMPiN=60°,

△MNPi是關(guān)于MN的對(duì)稱三角形△MNP2是正三角形,

此時(shí)P2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,

?.?點(diǎn)0(〃，b)是線段MN的“近公正點(diǎn)”，

，6()°WNMQNW1800,

即點(diǎn)。在線段P|P2上,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)P1時(shí)，b=-3,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)Pi時(shí)，OE=6,即b=6,

:.b的取值范圍為?3W6W6,

故答案為：?3Wb/6.

8.如圖，RtZXABC中，NACB=90°,。是A8上一點(diǎn)，BD=BC,過(guò)點(diǎn)。作AB的垂線交AC于點(diǎn)E,求

證：BE垂直平分CD

【分析】證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED=EC,根據(jù)線段垂直平分線的判定

定理證明.

【解答】證明：???NAC8=90°,DE_AB,

/.^ACB=ZBDE=90°,

在RtABDE和RtABCE中,

fBD=BC

lBE=BE,

ARtABDE^RtABCE,

：,ED=EC,

,:ED=EC,BD=BC,

???8E垂直平分CD.

逐跟蹤訓(xùn)或

1.（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中A8=4C,立柱A￡）J_BC,且頂角N84C=120。，

則/C的大小為30°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到N8=NC=30°.

【解答】解：?.F8=AC且NB4C=120°,

，/8=NC=』（1800-NB4C）=工乂60°=30°.

22

故答案為：30°.

2.（2022?北京）如圖，在△ABC中，A力平分NBA。，DELAB.若4C=2,DE=\t則S“CD=1.

【分析】過(guò)。點(diǎn)作O〃_L4C于“，如曾，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=D"=1,然后根據(jù)三角形面積

公式計(jì)算.

【解答】解：過(guò)。點(diǎn)作OH_LAC于"，如圖，

???AO平分/8AC,DELAB,