三明市尤溪縣2024-2025學年九年級上學期11月期中考試數(shù)學試題（帶解析）

第1頁/共1頁2024－2025學年第一學期九年級期中教學質量監(jiān)測數(shù)學（滿分：150分考試時間：120分鐘）友情提示：1．本試卷8頁．2．考生將自己的姓名、準考證號及所有答案均填寫（涂）在答題卡上．3．答題要求見答題卡上的“注意事項”． 一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．1.一元二次方程的根是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將等號左邊提公因式，用因式分解法即可求出方程的解；【詳解】解：原方程可化為：，因此或，所以，．故選：D．【點睛】本題考查用因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟．2.已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本題考查成比例線段，根據(jù)a，b，c，d是成比例線段，得到，進而利用比例性質求解即可．【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴，∵，，，∴，解得，故選：B．3.順次連接菱形各邊中點所得的四邊形一定是（）A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質和矩形的判定定理，正確理解菱形的性質以及三角形的中位線定理是解題的關鍵．先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形判斷．【詳解】如圖：菱形中，分別是的中點，，故四邊形是平行四邊形，又∴四邊形是矩形．故選：C．4.在用求根公式求一元二次方程的根時，小明正確地代入了，，得到，則他求解的一元二次方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是掌握求根公式中字母所表示的意義．根據(jù)求根公式解答．【詳解】解：由知：，，．所以該一元二次方程為：．故選：A．5.如圖，誠誠用橡膠皮和布料自制了一塊四邊形鼠標墊，為了檢驗這塊鼠標墊是不是標準的矩形，他想出了以下幾種方案，其中合理的是（）A.測量一組對邊是否平行且相等 B.測量兩組對邊是否分別相等C.測量其中的三個角是否都為直角 D.測量對角線是否相等【答案】C【解析】【分析】本題考查矩形的判定，根據(jù)矩形的判定方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、測量一組對邊是否平行且相等，只能判斷出這塊鼠標墊是不是標準的平行四邊形，不符合題意；B、測量兩組對邊是否分別相等，只能判斷出這塊鼠標墊是不是標準的平行四邊形，不符合題意；C、測量其中的三個角是否都為直角，可以檢驗這塊鼠標墊是不是標準的矩形，符合題意；D、測量對角線是否相等，不能檢驗這塊鼠標墊是不是標準的矩形，不符合題意；故選C．6.如圖所示的電路中，當隨機閉合開關、、中的兩個時，燈泡能發(fā)光的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖法以及概率公式，正確的畫出樹狀圖是解此題的關鍵．畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中能夠讓燈泡發(fā)光的結果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：由電路圖可知，當同時閉合開關和，和時，燈泡能發(fā)光，畫樹狀圖如下：共有6種等可能結果，其中燈泡能發(fā)光的有4種，∴燈泡能發(fā)光的概率為，故選：A．7.根據(jù)下列表格的對應值，判斷方程（，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）x3.233.243.253.260.030.09A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，令（，a，b，c為常數(shù)），根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸有交點時，方程有解，進而可求解．【詳解】解：令（，a，b，c為常數(shù)），當時，，當時，，時，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，即方程的一個解x的范圍是，故選C．8.用配方法解一元二次方程，此方程可變形為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，正確掌握配方法解一元二次方程的方法是解題的關鍵．將常數(shù)項移到等號右邊，再在等式兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方即可．【詳解】故選：A9.在歐幾里得的《幾何原本》中給出一個找線段的黃金分割點的方法．如圖所示以線段為邊作正方形，取的中點，連接，延長至，使得，以為邊作正方形，則點即是線段的黃金分割點．若記正方形的面積為，矩形的面積為，則與的比值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是的黃金分割點求出，求出，，再得出答案即可．【詳解】解：是的黃金分割點，，，，，即，故選：D．【點睛】本題考查了黃金分割，能熟記黃金分割的性質是解此題的關鍵．10.如圖，矩形中，，，點P為對角線上一動點，于點E，于點F，則線段長的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查矩形的判定與性質、垂線段最短、勾股定理、三角形的面積，證明四邊形是矩形得到是解答的關鍵．先根據(jù)矩形的性質和勾股定理得到，，再證明四邊形是矩形得到，由垂線段最短得到當時，線段最短，即線段最小，利用三角形的等面積求解即可．【詳解】解：連接∵四邊形是矩形，，，∴，，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，當時，線段最短，即線段最小，此時，由得，∴線段長最小值為，故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.已知，則______．【答案】【解析】【分析】考查了分式的求值，找出的關系，代入所求式進行約分．由，得，再代入所求得式子化簡即可．【詳解】，，，故答案為：12.有張牌，牌面朝下，每次抽出一張記下花色再放回，洗牌后再抽，經歷多次試驗后，記錄抽到紅桃的頻率為，則紅桃大約有______張．【答案】【解析】【分析】本題考查了利用頻率估計概率．根據(jù)概率的頻率定義可知，由于抽到紅桃的頻率為20%，即紅桃的概率為20%，根據(jù)概率公式即可求出紅桃的張數(shù)．【詳解】解：由題意可得，紅桃大約有：張．故答案為：．13.在Rt中，∠C＝90°，點D是AB邊的中點，若AB＝8，則CD＝______．【答案】4．【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得．【詳解】∵，D是AB的中點，∴，∴．故答案為：4．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記性質是解題的關鍵．14.如果兩個相似三角形面積之比為，那么它們對應高之比為______．【答案】##13【解析】【分析】本題考查相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，對應高之比等于相似比求解即可．【詳解】解：∵兩個相似三角形面積之比為，∴這兩個相似三角形的相似比為，∴它們對應高之比為，故答案為：．15.小明與小穎一起寫作業(yè)，在解一道二次項系數(shù)為1的一元二次方程時，小明在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是6和1；小穎在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是．則原來的方程是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意得出原方程中，即可求解．【詳解】∵小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是6和1；∴，又∵小冬寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是．∴，原來的方程是，故答案為：16.如圖，a//b//c，直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為，等邊的三個頂點分別在直線a、直線b、直線c上，則等邊三角形的邊長是______．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點A作AD⊥直線c于D，過點B作EF⊥直線b分別交直線a、c于F、E，先證明四邊形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為，得到，，則，可設AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作AD⊥直線c于D，過點B作EF⊥直線b分別交直線a、c于F、E，∵a∥b∥c，∴AD⊥直線a，EF⊥直線a，EF⊥直線c，∴四邊形ADEF矩形，∴AF=DE，AD=EF，∵直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為，∴，，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴可設AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，又∵，∴，∴，∴，∴∴，∴，∴，解得（不符合題意的值已經舍去），∴△ABC的邊長為．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，矩形的性質與判定，勾股定理，平行線的間距，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.解方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法并靈活運用是解答的關鍵．（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小問1詳解】解：，，，∴，∴，∴，；【小問2詳解】解：移項，得，∴，∴或，∴，．18.10月23日至25日某校召開田徑運動會，小明報名參加，有以下5個項目可供選擇：徑賽項目：，，（分別用、、表示）；田賽項目：跳遠，跳高（分別用、表示）．（1）小明從5個項目中任選一個，恰好是田賽項目的概率為______；（2）小明從5個項目中任選兩個，利用樹狀圖或表格列舉出所有可能出現(xiàn)的結果，并求恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．（1）直接根據(jù)概率公式求解；（2）先畫樹狀圖展示所有20種等可能的結果數(shù)，再找出一個田賽項目和一個徑賽項目的結果數(shù)為12，然后根據(jù)概率公式計算即可．【小問1詳解】∵5個項目中田賽項目有2個，∴該同學從5個項目中任選一個，恰好是田賽項目概率為：；故答案為：；【小問2詳解】畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結果，恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的12種情況，∴恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的概率為：19.小穎同學學了本學期第四單元第6節(jié)《利用相似三角形測高》后，用下面的方法來測量自己學校教學樓的高度．如圖，她在與教學樓底部A同一個水平的地面上放一面平面鏡，鏡子與教學樓的距離米，然后在射線AE上調整自己與鏡子的距離，直到剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，此時她與鏡子的距離米，若小穎的眼睛距離地面高度米，請你幫小穎利用這些數(shù)據(jù)求出教學樓的高度是多少米？【答案】教學大樓的高度是米【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，根據(jù)，，得出，進而得出，即可求解．【詳解】解：∵由題意得，，，∴，∴，即，解得：，答：教學樓高度是米．20.閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變?yōu)棰?，解得．當時，，∴；當時，，∴x=±2；∴原方程有四個根：．（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用___________法達到________的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想．（2）解方程．【答案】（1）換元，降次（2）【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用換元、因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想；（2）經分析：設,則，再運用因式分解法求出y的值，再代入得關于x的方程求解即可．【小問1詳解】解：在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想故答案為：換元，降次【小問2詳解】解：設，則，∴，解得．當時，即，解得：．當時，即，則，由，此時方程無解．所以原方程的解為．21.下面是某數(shù)學興趣小組用尺規(guī)作圖“作一條線段的三等分點”的過程，請按要求完成相應的任務．（1）用尺規(guī)按下面步驟作出圖形：①分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑在AB兩側畫弧，四段弧分別交于點C，點D；②連接，，AD，作射線BD；③以D為圓心，BD的長為半徑畫弧，交射線BD于點E；④連接CE，交AB于點F．（2）請你證明點F為AB的三等分點（即）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、菱形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，根據(jù)相似三角形的性質得到是解答的關鍵．（1）根據(jù)作圖步驟畫圖即可；（2）根據(jù)作圖得，進而可得四邊形是菱形，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質得到，進而有可得結論．【小問1詳解】解：如圖所示：小問2詳解】證明：由作圖步驟得：，∴四邊形是菱形，∴，∴，，∴，∴，∴，即，故點F為AB的三等分點．22.俠天下景區(qū)某商店以每件8元的價格購進掛墜，以每件14元的價格出售．據(jù)統(tǒng)計，7月份的銷售量為256件，9月份的銷售量為400件．（1）求該掛墜7月份到9月份銷售量的月平均增長率；（2）從10月份起，商家決定降價促銷回饋顧客，經調查發(fā)現(xiàn)，該掛墜每降價0.5元，月銷售量就會增加20件．則掛墜售價為多少元時，月銷售利潤達1920元？【答案】（1）（2）12元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握起始量、終止量、增長次數(shù)的關系，總利潤、每個利潤、數(shù)量的關系列方程，每個利潤、進價、售價的關系，售價、原價、降價的關系列式，是解題關鍵．（1）設該款掛墜7月份到9月份銷售量的月平均增長率為a，根據(jù)題意列一元二次方程求解，即可得到答案；（2）設每件掛墜降價x元，根據(jù)題意列一元二次方程求解，即可得到答案；【小問1詳解】解：設該款掛墜7月份到9月份銷售量的月平均增長率為a，由題意得，，解得：，（舍）．答：該款掛墜7月份到9月份銷售量的月平均增長率為．【小問2詳解】解：設每件掛墜降價x元，則每件的銷售利潤為元，由題意得，，整理得：，解得：，（舍）．∴（元）．答：應將每件掛墜的售價定為12元．23.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：不論k取何值，該方程都有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根大于1，求k的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關鍵是（1）牢記“當時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程結合方程一根大于1，找出關于的一元一次不等式（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，可得，由此可證出方程總有兩個實數(shù)根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出,根據(jù)方程有一根大于1，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；【小問1詳解】證明：∵在方程中，，∴方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】∵，∴，∵方程有一根大于1，∴，∴的取值范圍為；24.如圖，在中，，過點C的直線，為邊上一點，過點作，交直線于，垂足為，連接．（1）求證：；（2）當D在中點時，四邊形是什么特殊四邊形？說明你的理由；（3）若D為中點，則當?shù)拇笮M足什么條件時，四邊形是正方形？說明你的理由．【答案】（1）見解析（2）菱形，見解析（3）當時，四邊形是正方形，理由見解析【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、正方形的判定、等腰三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）由題意得出，結合證明四邊形是平行四邊形即可得出結論；（2）先證明四邊形是平行四邊形，結合即可得出四邊形是菱形；（3）當