上海市實驗學校南校2024-2025學年八年級上學期期中考試數(shù)學試卷（帶解析）

第1頁/共1頁SSES2024學年第一學期期中質(zhì)量監(jiān)測（202411）（初二數(shù)學（含拓展題））（閉卷）滿分：100分+20分時間：90分鐘考生注意：1．本試卷含四個大題，共26題；2．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的主要步驟．一、選擇題：（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1.下列根式，不能與合并的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把各個二次根式化為最簡二次根式，選出與不是同類二次根式的選項即可；【詳解】解：∵，，，，∴不能與合并的是故選B．【點睛】本題考查同類二次根式的概念及二次根式的化簡，掌握二次根式化簡的方法是解題關鍵．2.下列各式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】A選項：＝，故不是最簡二次根式；B選項：＝2，故不是最簡二次根式；C選項：最簡二次根式；D選項：＝，故不是最簡二次根式；故選C.3.下列方程中，一定是關于的一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可；【詳解】解：A、當時，該方程是一元一次方程；不符合題意；B、是分式方程；不符合題意；C、是關于的一元二次方程；符合題意；D、可化為：，該方程是關于的一元一次方程；不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了識別一元二次方程，理解一元二次方程的定義是解答本題的關鍵．4.下列說法正確的是（）A.的根為 B.是的根C.方程的根為 D.沒有實數(shù)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程的根與方程的邏輯關系，逐項判斷即可；【詳解】解：A、的根為；選項錯誤，不符合題意；B、是的根；選項正確，符合題意；C、方程無實數(shù)根；選項錯誤，不符合題意；D、當時，有實數(shù)根；選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根；熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．5.在命題：“三角形的一個外角大于三角形的每一個內(nèi)角”、“底邊及一個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形全等”、“兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直中，真命題的個數(shù)有（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而得出答案．【詳解】解：三角形的一個外角大于任何與之不相鄰的一個內(nèi)角，故原命題錯誤，為假命題；底邊及一個底角相等的兩個等腰三角形全等，故原命題錯誤，為假命題；兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，正確，為真命題，故選：B．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，能夠熟練掌握有關的命題及定理是解答本題的關鍵．6.在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延長至點，使得，可證，可得，，在中，根據(jù)三角形三邊關系即可求得的取值范圍，即可解題．【詳解】解：延長至點，使得，在和中，，，，中，，，．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證是解題的關鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7.當______時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解即可；【詳解】解：由題意得：解得：故答案為：【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件；熟練運用二次根式有意義的條件列不等式是解題的關鍵．8.化簡：（a＞0）＝___．【答案】【解析】【分析】二次根式的化簡公式：，再把原式化為，再結合公式進行化簡即可.【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，掌握“”是解難題的關鍵.9.的倒數(shù)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意列出的倒數(shù)，然后分母有理化即可.【詳解】的倒數(shù)為=所以答案為【點睛】本題主要考查了二次根式中的分母有理化，熟練掌握分母有理化的步驟和方法是關鍵.10.化簡：_____________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得到a＜0，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．【詳解】∵＞0，∴a＜0，∴原式＝，故填：．【點睛】本題考查二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是關鍵．11.方程3x2=4x的根是_____．【答案】0，【解析】【詳解】試題解析：故答案為點睛：一元二次方程的解法有：直接開方法，配方法，公式法，因式分解法.本題用的是因式分解法.12.若一元二次方程有一個根為，則的關系是________．【答案】【解析】【分析】將x=﹣1代入ax2+bx+c=0中，即可得出a、b、c關系．【詳解】解：把x=﹣1代入ax2+bx+c=0中，得：a﹣b+c=0，∴b=a+c．故答案為b=a+c．【點睛】本題考查的是一元二次方程解的定義：能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，比較簡單．13.某商場對空調(diào)進行兩次降價，假設兩次降價的百分率相同，降價后的價格為降價前的，則每次降價百分率為_________．【答案】【解析】【分析】設降價的百分率為，根據(jù)降價后的價格為降價前的，列方程即可解答．【詳解】解：設降價的百分率為，根據(jù)題意，可得，解得，（舍去），每次降價百分率為，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，準確讀懂題意，得到等量關系是解題的關鍵．14.一個三角形的兩邊長分別為3和5，其第三邊是方程的根，則此三角形的周長為________．【答案】13【解析】【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三邊，再根據(jù)三角形三邊關系進行取舍即可求得答案．【詳解】解：解方程可得或，當?shù)谌厼?時，則三角形的三邊長為3、5、5，滿足三角形三邊關系，其周長為13；當?shù)谌厼?時，則三角形的三邊長為3、5、8，不滿足三角形三邊關系，舍去．則此三角形的周長為13．故答案為：13．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法及三角形三邊關系，求得方程的兩根是解題的關鍵，注意分類討論．15.把定理“有兩個角互余的三角形是直角三角形”，寫成“如果那么”的形式：_________．【答案】如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形【解析】【詳解】解：定理“有兩個角互余的三角形是直角三角形”，寫成“如果…那么…”的形式：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形，故答案為：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形.16.如圖在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝70°，那么∠A＝_____．【答案】40°【解析】【分析】先證明△BDF≌△CED，得到∠BFD=∠CDE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與平角的定義推出∠FDE與∠B相等，再利用三角內(nèi)角和定理整理即可得出結論．【詳解】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BDF和△CED中，，

∴△BDF≌△CED（SAS），

∴∠BFD=∠CDE，

∴∠FDE=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B，

∵∠FDE=70°，

∴∠B=70°，

∵∠B+∠C+∠A=180°，

∴∠A=40°．

故答案為：40°．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定．解題的關鍵是通過三角形全等利用角的等量代換得到∠FDE=∠B．17.如圖：已知在中，，垂足為D在邊BC上，分別交線段DA、線段CA于點E、F，若，，，那么DC的長是_____．【答案】6【解析】【分析】利用已知條件可以得到，，根據(jù)，得到：，再根據(jù)對頂角相等得到，進一步得到：，再利用，證明即可求出CD．【詳解】解：∵，，∴∵∴，∵∴∵∴又∵∴∵，∴∴故答案為：6【點睛】本題考查全等三角形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理．掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關鍵．18.如圖：已知中，，，將繞點旋轉得到，所在的直線與直線交于點，那么的度數(shù)是______．【答案】或【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，將繞點順時針或逆時針旋轉得到，由等腰三角形的性質(zhì)求出，由旋轉的性質(zhì)及三角形外角和定理——三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可得出答案，掌握知識點的應用及分類思想討論是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，將繞點順時針旋轉得到，∵，，∴，∵，∴；如圖，將繞點逆時針旋轉得到，∵，，∴，∵，∴；綜上可知：的度數(shù)是或，故答案為：或．三、簡答題：（本大題共5題，每題6分，滿分30分）19.．【答案】【解析】【詳解】20.解不等式：．【答案】【解析】【分析】先化簡二次根式，然后根據(jù)解不等式的方法和步驟解不等式即可；【詳解】解：【點睛】本題考查了二次根式的化簡、二次根式的混合運算、解一元一次不等式；熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．21.解方程：（x+1）（x+2）=2x+4．【答案】x=﹣2或1【解析】【分析】先變形得到（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．【詳解】原方程可變?yōu)椋海▁+1）（x+2）=2（x+2）．即（x+2）（x﹣1）=0，解得：x=﹣2或1．【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．22.用配方法解方程：．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟求解即可；【詳解】解：∴，【點睛】本題考查了一元二次方程的解法；熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解題的關鍵．23.已知關于x的方程（m﹣1）x2﹣（m﹣5）x＝﹣有兩個相等的實數(shù)根，求m的值及此時方程的根．【答案】m＝3時，x1＝x2＝﹣或m＝9時，x1＝x2＝【解析】【分析】將方程變形為，根據(jù)根與系數(shù)的關系得，解得m＝3或m=9，當m＝3時代入方程得2x2+2x+＝0，解得，當m＝9時代入原方程得8x2﹣4x+＝0，解得．【詳解】解：，根據(jù)題意得，解得m＝3或m=9，當m＝3時，2x2+2x+＝0，（x+）2＝0，解得；當m＝9時，8x2﹣4x+＝0，（x﹣）2＝0，解得．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系．四、簡答題：（本大題共3題，第24、25每題6分，26題10分，滿分22分）24.如圖，，點是的中點，連接并延長交的延長線于點，點在邊上，且．（1）求證：；（2）當點是的中點時，判斷的形狀．【答案】（1）證明見解析；（2）是直角三角形，理由見解析．【解析】【分析】（）由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到，繼而證明，最后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可；（）由得，再結合等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到，根據(jù)中位線性質(zhì)定理得，再由平行線的性質(zhì)解得即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵為的中點，∴，在和中，，∴，∴；小問2詳解】解：是直角三角形，理由如下：如圖，連接，∵，，∴，∴，由（）得，∴，即為上的中線，∴，∵點是中點，，∴EG是中位線，∴，∴，∴，∴是直角三角形．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線性質(zhì)定理，直角三角形的判定，熟練掌握判定與性質(zhì)是解題的關鍵．25.如圖，某農(nóng)場有一道長16米的圍墻，計劃用40米長的圍欄靠墻圍成一個面積為120平方米的長方形養(yǎng)雞場，為了方便飼養(yǎng)又用圍欄隔出一個儲物間，在墻的對面開了兩個1米寬的門，求圍成長方形養(yǎng)雞場寬AB的長度．【答案】10米【解析】【分析】設長方形養(yǎng)雞場AB邊的長度為x米，則BC邊的長度為（42﹣3x）米，根據(jù)長方形面積公式列方程得x（42﹣3x）＝120，解方程得x1＝4，x2＝10，根據(jù)圍墻的長為16米得到關于x的不等式，確定x的取值范圍，進而確定x的值，問題得解．【詳解】解：設長方形養(yǎng)雞場AB邊的長度為x米，則BC邊的長度為（42﹣3x）米，由題意得：x（42﹣3x）＝120，整理，得：x1＝4，x2＝10．∵42﹣3x≤16，∴x≥，∴x＝10．答：圍成長方形養(yǎng)雞場AB邊的長度為10米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵，注意要根據(jù)墻長對x的值進行取舍．26.已知，在四邊形中，，、分別是邊、上的點，且．（1）為探究上述問題，小王同學先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當時．小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明__________；再證明了__________，即可得出之間的數(shù)量關系為__________．（2）如圖②，在四邊形中，，分別是邊上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，分別是邊所在直線上的點，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關系：______________．【答案】（1）；；（2）成立，過程見解析（3）或或【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是利用截長補短法，構造全等三角形．（1）依據(jù)題意，補圖，補充思路即可；（2）延長到，使，連接，證明即可；（3）分三種情況討論，