數(shù)學(xué)學(xué)案：隨機(jī)變量的均值和方差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。5隨機(jī)變量的均值和方差學(xué)習(xí)目標(biāo)重點、難點1．能記住離散型隨機(jī)變量的均值概念及計算方法；2．能記住離散型隨機(jī)變量的方差概念及計算方法；3．能用均值、方差（標(biāo)準(zhǔn)差）來分析解決實際問題.重點:均值、方差（標(biāo)準(zhǔn)差）的概念．難點:利用均值、方差（標(biāo)準(zhǔn)差)解決實際問題。1．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝xi)＝pi（i＝1，2，…，n）,則稱x1p1＋x2p2＋…＋xnpn為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，記為E(X)或μ，即E（X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，其中,xi是隨機(jī)變量X的可能取值，pi是概率，pi≥0,i＝1，2，…,n,p1＋p2＋…＋pn＝1。預(yù)習(xí)交流1離散型隨機(jī)變量的均值一定是在試驗中出現(xiàn)概率最大的值嗎?提示：不一定，如，E（X）＝0。5，在試驗中未出現(xiàn)．2．離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：,則(xi－μ）2（μ＝E（X））描述了xi（i＝1,2，…，n)相對于均值μ的偏離程度,故（x1－μ）2p1＋（x2－μ)2p2＋…＋（xn－μ）2pn（其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻畫了隨機(jī)變量X與其均值μ的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機(jī)變量X的方差,記為V(X)或σ2.即V（X）＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋（xn－μ)2pn,其中,pi≥0,i＝1，2，…，n,p1＋p2＋…＋pn＝1.方差也可用公式V（X）＝eq\i\su(i＝1，n,x)eq\o\al（2,i）pi－μ2計算．隨機(jī)變量X的方差也稱為X的概率分布的方差,X的方差V（X)的算術(shù)平方根稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差，即σ＝eq\r（V(X））.預(yù)習(xí)交流2隨機(jī)變量的方差與樣本方差有何聯(lián)系和區(qū)別？提示:隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，樣本方差是隨機(jī)變量，對于簡單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加,樣本方差越來越接近于總體方差．在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注?請在下列表格中做個備忘吧!我的學(xué)困點我的學(xué)疑點一、離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望)某運(yùn)動員投籃命中率為0。6，（1）求一次投籃時命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2）求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望．思路分析：（1）X只能取0,1這兩個值,列出分布列，求出X的均值(數(shù)學(xué)期望)．（2）Y服從Y～B(5，0.6)，利用E(Y)＝np求出Y的均值(數(shù)學(xué)期望）．解：(1）投籃一次，命中次數(shù)X的分布列為，則E（X）＝0.6。（2）由題意,重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y服從二項分布，即Y～B(5,0.6)，則E（Y）＝np＝5×0.6＝3。在添加劑的搭配使用中,為了找到最佳的配方方案,需要對各種不同的搭配方式作比較．在試制某種牙膏新品種時,需要選用不同的添加劑．現(xiàn)有芳香度分別為0,1，2,3，4,5的六種添加劑可供選用．根據(jù)試驗設(shè)計學(xué)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗．用X表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和．(1)寫出X的分布列；（2)求X的數(shù)學(xué)期望E（X)．解:(1）X的分布列為:X123456789Peq\f(1,15)eq\f(1，15)eq\f（2，15）eq\f(2，15)eq\f(1，5)eq\f(2,15)eq\f（2,15）eq\f（1,15)eq\f（1，15)（2）由E(X)的定義得：E（X)＝（1＋2＋8＋9)×eq\f(1，15）＋(3＋4＋6＋7)×eq\f(2，15）＋5×eq\f（1，5）＝5。求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：（1）理解X的意義,寫出X可能取的值;(2)求出X取每個值時的概率；(3)寫出X的概率分布列（有時可以略);(4)由均值的定義求出E(X）．二、離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X,Y.X和Y的分布列如下：X012Peq\f(6，10)eq\f(1,10）eq\f(3,10)Y012Peq\f（5，10)eq\f（3，10）eq\f(2,10)試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較．思路分析:對兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較：一是比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的情況下生產(chǎn)出次品數(shù)的平均值即數(shù)學(xué)期望;二是看次品數(shù)波動情況,即方差的大?。猓汗と思咨a(chǎn)出次品數(shù)X的平均值和方差分別為：E(X)＝0×eq\f(6，10)＋1×eq\f(1，10）＋2×eq\f（3,10）＝0.7，V（X）＝（0－0.7）2×eq\f（6，10）＋（1－0。7）2×eq\f（1，10）＋(2－0.7)2×eq\f(3,10）＝0。81;工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的平均值和方差分別為：E(Y）＝0×eq\f（5,10）＋1×eq\f（3，10）＋2×eq\f（2，10）＝0.7。V（Y)＝(0－0.7）2×eq\f（5,10)＋(1－0。7）2×eq\f(3，10）＋（2－0。7）2×eq\f（2，10)＝0。61.由E(X）＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品數(shù)的均值相同,兩人技術(shù)水平相當(dāng)，但V(X)＞V(Y）．可見乙工人的技術(shù)水平比較穩(wěn)定．已知X的分布列為：Y010205060Peq\f（1，3)eq\f(2,5）eq\f（1,15）eq\f(2,15)eq\f（1，15)(1）求V（X）；（2）設(shè)Y＝2X－E（X），求V(Y）．解：(1）∵E(X）＝0×eq\f(1，3)＋10×eq\f（2,5)＋20×eq\f（1,15）＋50×eq\f（2，15)＋60×eq\f(1，15)＝16,∴V（X）＝(0－16）2×eq\f（1，3）＋(10－16）2×eq\f(2,5）＋（20－16）2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2，15)＋（60－16)2×eq\f(1,15)＝384.（2)∵Y＝2X－E(X）,∴Y的分布列如表所示。Y－1642484104Peq\f（1,3）eq\f（2，5）eq\f(1,15)eq\f(2，15)eq\f(1，15）∴E(Y)＝－16×eq\f(1，3)＋4×eq\f（2，5)＋24×eq\f（1，15）＋84×eq\f（2，15)＋104×eq\f（1,15)＝16.V（Y）＝（－16－16）2×eq\f(1,3）＋(4－16)2×eq\f(2,5)＋（24－16）2×eq\f(1,15）＋(84－16)2×eq\f（2，15)＋(104－16)2×eq\f(1，15)＝1536.已知分布列求離散型隨機(jī)變量的方差時，首先計算數(shù)學(xué)期望，然后代入方差公式V(X）＝eq\i\su(i＝1，n,x)eq\o\al(2，i）pi－μ2求方差,在實際問題中方差反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與波動情況．在均值相等或相差不大的情況下，方差越小,說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，波動情況越?。?．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1，4）(k＝1，2，3，4),則E(X）＝__________。答案：eq\f(5，2）解析：∵P（X＝k)＝eq\f(1,4)(k＝1，2，3，4)，∴E(X)＝1×eq\f（1，4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1，4)＋4×eq\f（1，4)＝eq\f(5，2）.2．一批產(chǎn)品中的次品率為eq\f（1，3），現(xiàn)在連續(xù)抽查4次，用X表示次品數(shù)，則σ＝__________.答案:eq\f(2\r（2)，3）解析：∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3）)），∴V(X）＝σ2＝np(1－p)＝4×eq\f（1，3)×eq\f（2,3)＝eq\f（8,9),∴σ＝eq\f(2\r（2），3).3．設(shè)隨機(jī)變量X～B（n，p)且E（X）＝1。6,V（X）＝1.28，則n＝__________，p＝__________.答案:80.2解析：∵X~B(n，p)，∴E(X）＝np，V（X)＝np(1－p)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝1。6，，np(1－p）＝1。28，)）解之得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n＝8，，p＝0.2。））4．若隨機(jī)變量X的分布列如下:X01xPeq\f(1，5)peq\f（3,10)若E(X)＝1。1,則V(X）＝__________。答案：0.49解析：由eq\f(1，5)＋p＋eq\f（3，10）＝1，得p＝eq\f（1,2）.又∵E（X)＝1.1，∴0×eq\f（1,5)＋1×eq\f(1，2)＋x×eq\f(3,10)＝1。1，∴x＝2.∴V(X）＝(0－1。1）2×eq\f（1，5）＋（1－1。1）2×eq\f(1,2)＋(2－1。1）2×eq\f（3，10）＝0.49。5．海關(guān)大樓頂端鑲有A，B兩面大鐘,它們的日走時誤差分別為X，Y(單位：s)．其分布列為：X－2－1012P0.050。050。80.050。05Y－2－1012P0。10。20。40。20.1根據(jù)這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差,比較這兩面大鐘的質(zhì)量．解：∵E(X）＝0，E(Y)＝0，∴E(X)＝E(Y