高等數(shù)學(xué)（第2版）課件：矩陣與線性方程組

矩陣與線性方程組7.2矩陣的概念7.17.4矩陣的運算逆矩陣7.3線性方程組的解矩陣是線性代數(shù)的主要研究對象.它在線性代數(shù)與數(shù)方程組的解法及有解的條件.秩、可逆矩陣。

本章介紹矩陣的概念、矩陣的基本運算、矩陣的陣表達并用有關(guān)理論解決.學(xué)的許多分支中都有重要應(yīng)用,許多實際問題可以用矩最后,利用矩陣的有關(guān)概念與方法討論線性第7章矩陣與線性方程組7.2矩陣的概念7.17.4矩陣的運算逆矩陣7.3線性方程組的解設(shè)有n

個未知數(shù)m

個方程的線性方程組其中aij

是第i

個方程的第j

個未知數(shù)的系數(shù)，bi

是第i個方程的常數(shù)項，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n，當(dāng)常數(shù)項b1,b2,…,bm

不全為零時，線性方程組(1)叫做n

元非齊次線性方程組，當(dāng)b1,b2,…,bm

全為零時，(1)式成為叫做

n

元齊次線性方程組．對于n

元齊次線性方程組(2)，x1=x2=…=xn=0一定是它的解，稱之為齊次線性方程組(2)的零解．如果一組不全為零的數(shù)是(2)的解，則它叫做齊次線性方程組(2)的非零解．齊次線性方程組(2)一定有零解，但不一有非零解．例如二元，非齊次二元，非齊次二元，齊次Oxy唯一解Oxy無解Ox1x2無窮多解對于線性方程組需要討論以下問題：(1)

它是否有解？(2)

在有解時它的解是否唯一？(3)

如果有多個解，如何求出它的所有解？對于線性方程組(1)上述諸問題的答案完全取決于它的m

n

個系數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)和右端的常數(shù)項b1,b2,…,bm

所構(gòu)成的m

行n+1列的矩形數(shù)表：這里橫排稱為行，豎排稱為列；而對于齊次線性方程組(2)的相應(yīng)問題的答案也完全取決于它的m

n

個系數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)所構(gòu)成的m

行n

列的矩形數(shù)表：

定義1

由m

n

個數(shù)aij(i=1,2,···,m;j=1,叫做一個

m

n

矩陣,

這m

n

個數(shù)叫做矩陣的元素,aij

叫做矩陣A

的第i

行第

j

列元素.2,···,n)排成的m

行n

列的數(shù)表7.1.1矩陣的概念元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)例如5×2矩陣

A

＝(aij)m

n

或

A=(aij

).的矩陣稱為復(fù)矩陣．（1）式也可簡記為行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：7.1.2幾種常用的特殊矩陣形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為單位陣．記作記作．n

階單位矩陣E

在矩陣代數(shù)中占有很重要的地位,它的作用與“1”在初等代數(shù)中的作用相似.如EA=AE=A.5數(shù)量矩陣主對角線上的元素全相等的對角矩陣稱為數(shù)（c為常數(shù)）.n

階數(shù)量矩陣量矩陣.例如6三角形矩陣主對角線下(上)方的元素全為零的方陣稱為上三角形矩陣下三角形矩陣上(下)三角形矩陣.例如第7章矩陣與線性方程組7.2矩陣的概念7.17.4矩陣的運算逆矩陣7.3線性方程組的解同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.7.2.1矩陣的加法注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如定義：設(shè)有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負矩陣．顯然

例1

設(shè)(1)

問三個矩陣中哪些能進行加法運算,并求其和,哪些不能進行加法運算,說明原因;(2)

求C

的負矩陣.(1)

A

與B

能進行加法運算;陣,A

和B都是3×2矩陣,C

是2×2矩陣.B與C不能進行加法運算,因為它們不是同型矩而A與C,解(2)C

的負矩陣為:定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為7.2.2矩陣的數(shù)乘結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.

例2

設(shè)且在求矩陣X.兩端同加上得

解兩端乘以得定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．注意:

只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣(左矩陣)的列數(shù)等于第二個矩陣(右矩陣)的行數(shù)時,兩個矩陣才能相乘.7.2.3矩陣的乘法例3：設(shè)則例

結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．

(2)矩陣的乘法不滿足消去律,即如果但A

C.例如AB=CB,B

O,不一定能推出A=C.

注：(1)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.矩陣乘法的運算規(guī)律

(1)

乘法結(jié)合律(3)

乘法對加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律

（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對角陣表示一個從變量到變量線性變換，其中為常數(shù).矩陣乘法的意義

n個變量與m

個變量之間的關(guān)系式系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.如線性變換及則

即定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例7.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)例4：已知解法1解法2第7章矩陣與線性方程組7.2矩陣的概念7.17.4矩陣的運算逆矩陣7.3線性方程組的解矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位．一個復(fù)數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入對于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有7.3.1逆矩陣的概念定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的？

定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1

.下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1？例5

設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法又因為所以431.矩陣的初等行變換：交換矩陣的兩行（第

i行與第

j行交換,記作

）；以非零常數(shù)k乘矩陣的某一行（第

i行乘以

k,記作

）；一行加上另一個行的k倍（第

j行的

k倍加到第

i行上，記作

）.

7.3.2用矩陣的初等變換求逆矩陣44備注帶有運算符的矩陣運算，用“=”．例如：矩陣加法 ＋數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 ×矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標）不帶運算符的矩陣運算，用“～”．例如：初等行變換初等列變換45矩陣A與矩陣B等價(A

B):等價關(guān)系性質(zhì)：（i）反身性A

A；（ii）對稱性若A

B，則B

A；（iii）傳遞性若A

B，B

C，則A

C.具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價.如：兩個方程組同解，則這兩個方程組等價.矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B.有限次初等變換即rc46行階梯形矩陣：（i）可畫出一條階梯線，線的下方全為零；（ii）每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，豎線后第一個元素為非零元.如：2.幾種特殊矩陣47行最簡形矩陣：（i）是一個行階梯形矩陣；（ii）每行第一個非零元為1，且該元素所在的列的其它元素都為0.定理

任何矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化成行最簡形矩陣

例6用初等行變換將矩陣變成行最簡形矩陣.

解A～～～～50表明，如果A~B，r即A

經(jīng)一系列初等行變換變?yōu)锽，則有可逆矩陣P，使PA=B.那么，如何去求出這個可逆矩陣P

呢?由于PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)~(B,P)，r因此，如果對矩陣(A,E)作初等行變換，那么，當(dāng)把A

變?yōu)锽

時，E

就變?yōu)镻.3.用矩陣的初等變換求其逆51特別地，如果B=E，則P=A-1

，即(A,E)~(E,A-1)我們可以采用下列形式求A-1

：并排放在一起，組成一個n

2n

矩陣(A,E).對矩陣(A,E)作一系列的初等行變換，將其左半部分化為單位矩陣E

，這時其右半部分就是A-1.即(A,E)初等行變換(E,A-1).將A

與E52例7

設(shè)求解53例8

求矩陣X,使AX=B，其中解若可逆，則初等行變換4.用初等變換解矩陣方程或第7章矩陣與線性方程組7.2矩陣的概念7.17.4矩陣的運算逆矩陣7.3線性方程組的解設(shè)有n

個未知數(shù)m

個方程的線性方程組當(dāng)常數(shù)項b1,b2,…,bm

不全為零時，線性方程組(1)叫做n

元非齊次線性方程組，當(dāng)b1,b2,…,bm

全為零時，(1)式叫做

n

元齊次線性方程組．對于n

元齊次線性方程組，x1=x2=…=xn=0一定是它的解，稱之為齊次線性方程組的零解．矩陣形式為

，其中記

為方程組的增廣矩陣。58對增廣矩陣進行初等行變換時，方程組也相應(yīng)地進行了以下三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個方程，記作；一個方程加上另一個方程的k倍，記作.

其逆變換是：結(jié)論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知數(shù)并未參與運算．iji

×ki＋kjiji

×ki+kjiji÷ki－kj1、線性方程組的求解步驟（四步法）步驟1

對于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣B

化成行階梯形；步驟3寫出增廣矩陣B

對應(yīng)的同解線性方程組；則把系數(shù)矩陣A化成行最簡形；自由未知量為任意常數(shù)，學(xué)出解的參數(shù)形