高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊(cè)課件：函數(shù)的凹凸性和最值

函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性3.4.1函數(shù)的單調(diào)性3.4.2函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)小結(jié)思考題2麥克勞林公式是怎么由泰勒公式變換的上節(jié)回顧1泰勒公式的展開(kāi)式以及它的拉格朗日余項(xiàng)本節(jié)研究1函數(shù)的單調(diào)性

2駐點(diǎn)3拐點(diǎn)4函數(shù)的凹凸性

定理3.10設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，在區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo);

（1）若在

內(nèi),則函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)增加；

（2）若在

內(nèi),則函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)減少．3.4.1函數(shù)的單調(diào)性證明

在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)

，

，不妨設(shè)<,由條件知函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是，存在,使得

由于->0，故與同號(hào)．于是（1）若在內(nèi)，則>0,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加；（2）若在內(nèi),則>0,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少．說(shuō)明

（1）將此定理中的閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間（包括無(wú)窮區(qū)間），結(jié)論仍成立．（2）函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是判斷函數(shù)單調(diào)性的充分條件而非必要條件，即如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加(或減少)，不一定得出（或),可能(或).（3）函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)函數(shù)在一段區(qū)間上的性質(zhì)，因此判斷函數(shù)的單調(diào)性要用某個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)而非某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．在區(qū)間內(nèi)個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0要視情況而定．二、駐點(diǎn)定義

3.2已知函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),若存在點(diǎn),使得,則稱點(diǎn)

為函數(shù)

的駐點(diǎn)．一般地，在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，如果函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

在區(qū)間上符號(hào)不定，應(yīng)先確定單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．往往駐點(diǎn)可能是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)，如

的導(dǎo)數(shù)

在x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，是分界點(diǎn)．一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（不可導(dǎo)點(diǎn)）也可能是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)．如函數(shù)

在點(diǎn)

的導(dǎo)數(shù)不存在．確定函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)寫(xiě)出函數(shù)的定義域；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，以及由這些點(diǎn)劃分的各個(gè)區(qū)間；(3)判斷上述各個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)

的符號(hào)，根據(jù)

的正負(fù)確定函數(shù)

的相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性．

例3

討論函數(shù)

的單調(diào)性討論函數(shù)．

解

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

．又

令

，得

為駐點(diǎn)．

在

內(nèi)，

，故在

上函數(shù)單調(diào)減少；

在

內(nèi)，

，故在

上函數(shù)單調(diào)增加．說(shuō)明1單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

例如

2如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),則不改變函數(shù)的單調(diào)性.

例如

二、函數(shù)的凹凸性定義3.3設(shè)函數(shù)

在區(qū)間I

上連續(xù)，

(1)若恒有,則稱

的圖形是凹的.(2)若恒有,則稱

的圖形是凸的.連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.確定曲線的凹、凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟：(1)確定函數(shù)

的定義域；(2)求出二階導(dǎo)數(shù)

；(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(4)判斷或列表判斷，確定出曲線的凹、凸區(qū)間和拐點(diǎn).拐點(diǎn)推論

如果函數(shù)

在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)二階可導(dǎo)，則：若在區(qū)間

內(nèi)

,則函數(shù)

是 上的凹函數(shù)；若在區(qū)間

內(nèi) ,則函數(shù)

是 上的凸函數(shù).例3.4.4

討論函數(shù)

的凹凸性．解又因?yàn)樵?/p>

上,.所以在區(qū)間

內(nèi),函數(shù)

是凸的．因?yàn)樵?/p>

上，.所以在區(qū)間

內(nèi)，函數(shù)

是凹的．例3.4.6

求曲線

的拐點(diǎn)及凹、凸區(qū)間．解

定義域?yàn)?令,得列表所以在區(qū)間

和

上曲線是凹的，在區(qū)間

上曲線是凸的；點(diǎn)

和

是曲線的拐點(diǎn)．課節(jié)回顧

1.確定單調(diào)區(qū)間的一般步驟以及一些注意事項(xiàng)?2.確定曲線的凹,凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟以及一些注意事項(xiàng)?牛刀小試1.

確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.判定下列曲線的凹凸性3