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泰勒(Taylor)公式3.3.1泰勒定理
3.3.2常用函數(shù)的麥克勞林展開式3.3.3泰勒公式的應(yīng)用
3.3.1泰勒公式的建立1.設(shè)
在
處連續(xù)，則有
2.設(shè)
在
處可導(dǎo)，則有例如，當(dāng)
很小時(shí)，
，（如下圖）需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?尋找函數(shù),使得
則誤差=設(shè)函數(shù)
在含有
的開區(qū)間
內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，
為
多項(xiàng)式函數(shù)誤差=
和
的確定分析1.若在
點(diǎn)相交
2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好令......又，，......，（1）
求n次近似多項(xiàng)式故(2)余項(xiàng)估計(jì)令=（稱為余項(xiàng)),則有
（
在
和
之間）（
在
和
之間）（
在
和
之間）泰勒定理如果函數(shù)
在
處存在n階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)在的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意，有這里記
，為
的高階無(wú)窮小。
①式稱為
的n階泰勒公式，
稱為佩亞諾余項(xiàng)。證明已知
在
處有n階導(dǎo)數(shù)
與
之間存在誤差由泰勒公式可知：下面證明誤差
是比
高階的無(wú)窮小，即0
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
以及都是無(wú)窮小，所以由洛必達(dá)法則，有將代入上式得得證。泰勒中值定理如果函數(shù)
在含有
的某個(gè)領(lǐng)域
內(nèi)具有
階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意
，
可以表示為
的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)
之和，即其中（
在
與
之間）上式中的
也稱為拉格朗日余項(xiàng)。特例當(dāng)n=0時(shí)，就是我們熟悉的拉格朗日中值公式：當(dāng)=0時(shí)，帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式就稱為麥克勞林公式，即這里于是，上述函數(shù)
在x=0點(diǎn)可以得到近似代替：
3.3.2常用函數(shù)的麥克勞林展開式【例3.3.1】
求
的n階麥克勞林展開式解由于
，所以
，取拉格朗日余項(xiàng)，得麥克勞林展開式為由公式可知估計(jì)誤差：設(shè)x>0,取x=1,其誤差【例3.3.2】
求
的n階麥克勞林展開式解因?yàn)樗?/p>
，
，
，
，于是誤差
當(dāng)m=1，2，3時(shí)，有近似公式：誤差分別不超過(guò)
，
，【例3.3.3】
將
按（x-1）的冪展開
解取=1，計(jì)算可得所以
【例3.3.4】
求
的
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