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文檔簡介
差分及差分方程的基本概念
.9.7.1差分的概念9.7.2差分方程的基本概念9.2.1差分的概念設(shè)變量
是
的函數(shù)，記為，其中自變量
(通常表示時間)的取值為離散的等間隔的整數(shù)值：定義9.5設(shè)函數(shù)在處有定義，
是定義在相應(yīng)點的函數(shù)．對應(yīng)的函數(shù)值為
，則函數(shù)
在時間
的一階差分定義為其中“
”稱為“差分
”，
表示對
的差分；類似地有
是在一階差分的基礎(chǔ)上再次差分，即一般地，階差分定義為同樣，可以定義
在時刻
的二階差分
，二階差分
其中
二階及二階以上的差分稱為高階差分．解
解解例9.7.1
已知
（是常數(shù))，求例9.7.2
已知
，求例9.7.3
已知
(其中
，且），求解
一階差分的性質(zhì)如下：例9.7.4
設(shè)
，且，求設(shè)，性質(zhì)9.1已知
，(是常數(shù))，則性質(zhì)9.2對于任意的常數(shù)
，性質(zhì)9.3利用差分的定義可以對以上的性質(zhì)進行證明，這里只給出性質(zhì)9.4的證明，其余的類似，請同學自行證明。證明：性質(zhì)9.4性質(zhì)9.59.2.1差分方程的基本概念的函數(shù)方程，稱為常差分方程，簡稱差分方程，出現(xiàn)在方程中差分的最高階數(shù)稱為差分方程的階．
階差分方程的一般形式為定義9.6含有未知函數(shù)
以及
的差分(9.26)其中
是已知函數(shù)，且
一定要在方程中出現(xiàn)．定義9.7含有自變量
以及兩個或兩個以上函數(shù)值的函數(shù)方程，稱為常差分方程，簡稱差分方程；出現(xiàn)在差分方程中未知函數(shù)的最大下標和最小下標之差，稱為差分方程的階．
階差分方程的一般形式為或(9.27)
①差分方程的兩種定義形式可以相互轉(zhuǎn)換．②差分方程的階數(shù)在兩種差分方程的定義中是不完全相等的.注：則按照公式（9.27）中方程的階數(shù)定義是一階差分方程．例如，
是按照公式（9.26）定義的二階差分方程，又可以寫成公式（9.27）的形式，即例如，差分方程
按照公式（1）是二階差分方程；如將方程寫成在經(jīng)濟問題中，經(jīng)常遇到的是公式（9.27）定義的差分方程，因此本節(jié)主要討論形如公式（9.27）的差分方程．相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階數(shù)，則稱為差分方程的通解；在通解中給任意常數(shù)以確定的值，則稱為差分方程的特解．確定特解時所需要滿足的條件稱為定解條件.如果把一個函數(shù)
代入差分方程，方程兩端相等，則稱函數(shù)
是差分方程的解；如果在差分方程的解中含有對于差分方程
把方程
代入差分方程有
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