高等數(shù)學（第二版）下冊課件：多元復合函數(shù)和隱函數(shù)求導法則

多元復合函數(shù)和隱函數(shù)的求導法則

§6.5.1多元復合函數(shù)的求導法則§6.5.2

全微分形式不變性§6.5.3

隱函數(shù)求導法則預備知識：一元復合函數(shù)的求導法則：由方程確定的隱函數(shù)

的導數(shù)的求法：在方程兩端同時對求導,將視作中間變量.6.5.1

多元復合函數(shù)的求導法則

(1)一元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形可導,且函數(shù)在對應點具有連續(xù)偏導數(shù)，

我們將一元函數(shù)微分學中復合函數(shù)的求導法則推廣到多元復合函數(shù)，按照多元復合函數(shù)不同的復合情形，主要分以下三種情形討論.

都在點處定理

6.5

如果函數(shù)

及則復合函數(shù)在點可導

,

且有證明

在點于函數(shù)處可微,于是這里

,當?shù)蒙鲜匠?

時,,時,當,.相應地獲得增量此時函數(shù),

又由的對應增量為設

有增量

及

,

則函數(shù)所以

即從形式上看是全微分，此時,兩端除以得到的,常將稱為全導數(shù)．.

中間變量多于兩個的情形.其復合關系如下圖所示.用類似的方法,可以把定理6.5的結(jié)論推廣到復合函數(shù)的相關聯(lián)，

與自變量

定理6.5中函數(shù)通過中間變量

則有全導數(shù)公式.

而成的函數(shù)滿足該定理類似的條件，

復合

，例如，由，，具有對及對的偏導數(shù),函數(shù)

在對應點處具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù)

在點處的兩個偏導數(shù)存在,且有公式（2）多元函數(shù)與多元函數(shù)復合的情形定理6.6如果函數(shù)及在點;.事實上,定理中求時,將看作常量,因此及仍可看做一元函數(shù)而應用定理6.5.但由于復合函數(shù)及和都是的二元函數(shù),所以將定理6.5結(jié)論中的改為,將換成.即可.同理可求定理6.6中函數(shù)的復合關系如下圖所示：

與定理6.5類似,定理6.6也可推廣到復合函數(shù)的中間變量于多兩個的情形.類似的條件,則有全導數(shù)公式

例如,設由，，

滿足定理6.6;.

，復合而成的復合函數(shù)；.（3）其他情形

定理6.7

如果函數(shù)可微,

在點的偏導數(shù)存在，且有公式在點處具有對及對的偏導數(shù)，則復合函數(shù)事實上,該情形可看作情形2中當由公式(6.5)和(6.6)可得結(jié)論.此處需注意與的區(qū)別：是把函數(shù)看成常數(shù),對求偏導數(shù);中的是把中的看成常數(shù),對求偏導數(shù)．前者是復合后對的偏導數(shù),后者是復合前對的偏導數(shù)．的特殊情形,因此解數(shù)

.例6.5.1

設函數(shù),而，，求全導分析畫出函數(shù)的復合關系圖,利用情形3的結(jié)論.解例6.5.2

設函數(shù)，而，，求.解例6.5.3

設函數(shù)，而求和.，例6.5.4

設抽象函數(shù)，其中的偏導數(shù)連續(xù),求.解記，，則其中，.例6.5.5

設復合函數(shù)

,其中

對

解

具有二階連續(xù)偏導數(shù),

求

.其中，，，，.的復合關系圖完全相同.本例中需要注意的是，和與函數(shù)6.5.2全微分形式不變性設函數(shù)

具有連續(xù)的偏導數(shù),則全微分

若函數(shù)

,

有連續(xù)的偏導數(shù),則復合函數(shù)

的全微分為可見,無論

是自變量

的函數(shù)還是中間變量

的函數(shù),它的全微分形式是一樣的,這個性質(zhì)叫全微分形式不變性．例6.5.6利用全微分形式不變性求微分

,解

因為

又因為所以其中,.所以若先求

再代入公式

,則結(jié)果完全一樣．6.5.3隱函數(shù)求導法則

現(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在定理,并根據(jù)多元復合函數(shù)的求導法則

來推導隱函數(shù)的求導公式．在一元函數(shù)微分學中,我們介紹了求由方程

所確定的隱函數(shù)的導數(shù)的方法．

隱函數(shù)存在定理1

設函數(shù)滿足條件：(2)(3)則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)它滿足條件,并有導數(shù)公式(1)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù),(6.7)代入,所確定的函數(shù)將方程求導即得得恒等式等式兩端對就導數(shù)公式(6.7)作如下推導由于連續(xù),且于是得求偏導數(shù)時，將函數(shù)中的視為常數(shù)，對求偏導數(shù)求偏導數(shù)時，將函數(shù)中的視為常數(shù)，對求偏導數(shù).從而存在的一個鄰域,在這個鄰域內(nèi)如果的二階偏導數(shù)也都連續(xù)可以將等式

的兩端分別對求導右端看做的復合函數(shù)得到.例6.5.7驗證方程在點的鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù),當時,

二階導數(shù)在處的導數(shù)值．解設函數(shù)則,顯然偏導數(shù)連續(xù),并求這個函數(shù)的一階與且因此方程在點的鄰域內(nèi)能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)當時,有導數(shù)二階導數(shù)為隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)．可以確定一個一元隱函數(shù)，可以確定一個二元隱函數(shù)．一個二元方程那么一個三元方程

隱函數(shù)存在定理2

設函數(shù)

滿足：(1)在點

的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù);(2)(3)

，它滿足條件

，并有則方程在點的某一鄰域

.

(6.8),內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)這個定理我們不證，與隱函數(shù)存在定理1類似，僅就公式（6.8）作如下推導.由于將上式兩端分別對和求導，得于是得點的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，

，.,.因為連續(xù)且，所以存在

例6.5.8已知方程，求，，，.

分析構造函數(shù)，驗證該函數(shù)是否滿足隱函數(shù)存在定理2中的條件，利用公式（6.8）求出，，求得的分別對和求偏導，可得，.方法1，在求一階偏導數(shù)時，可將看作關于，的二元函數(shù)，在方程兩邊分別對，求導.方法2，解（方法1）設，則于是,式兩端對求偏導數(shù)，得,,,式