高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊(cè)課件：二元函數(shù)極值和最值

二元函數(shù)的極值和最值

§6.6.1多元函數(shù)的極值及最大值、最小值§6.6.2

條件極值拉格朗日乘數(shù)法預(yù)備知識(shí)：一元函數(shù)極值的求法:

駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為可疑極值點(diǎn)，利用函數(shù)在這些點(diǎn)左右兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)進(jìn)一步確定是否為極值點(diǎn),是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);比較極值點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,最大的為最大值,最小的為最小值.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的求法:6.6.1

多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為極值,

使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．

定義6.10的某個(gè)鄰域內(nèi)

在點(diǎn)

設(shè)函數(shù)

處有極大值,

點(diǎn)

則稱函數(shù)

在點(diǎn)

的極小值點(diǎn)．

稱為函數(shù),

總有

有定義,

若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于

的任何點(diǎn)

例6.6.1證明函數(shù)在點(diǎn)(0

0)處有極小值．證明

=(0

0)時(shí)當(dāng)而當(dāng)時(shí)

因此是函數(shù)的極小值．分析

很明顯,函數(shù)在任何異于(0,0)的點(diǎn)處取值都大于0.例6.6.2函數(shù)在點(diǎn)(0

0)處有極大值．證明=(0

0)時(shí)而當(dāng)時(shí)

因此是函數(shù)的極大值．不取得極小值．例6.6.3函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值,也分析：因?yàn)辄c(diǎn)(0,

0)處的函數(shù)值為零,

而在點(diǎn)(0,

0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)．由此，得到下面的定理．二元函數(shù)的極值問(wèn)題,一般可以用偏導(dǎo)數(shù)解決.

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處取得極值，如果將函數(shù)

中變量固定，令，則是一元函數(shù)，它在處取得極值，根據(jù)一元函數(shù)極值存在的必要條件，有

，同理.定理6.8(必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)

處有極值,則有,．證明

不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值.根據(jù)極大值定義,在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有特別地,在該鄰域內(nèi)取

,對(duì)

的點(diǎn),也適合不等式這表明一元函數(shù)在處取得極大值,因此必有.

類似可證.定理6.8的結(jié)論可類似推廣到三元以上函數(shù)情形,例如,三元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在點(diǎn)處取得極值的必要條件為與一元函數(shù)類似,使,同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)..

定理6.8只給出了二元函數(shù)有極值的必要條件．那么,我們?nèi)绱笾迭c(diǎn)和極小值點(diǎn)？有下面的定理.何判定二元函數(shù)的駐點(diǎn)為極值點(diǎn)呢?對(duì)極值點(diǎn)又如何區(qū)分極定理6.9（充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),令又則在處是否取得極值的條件如下：(1)時(shí)具有極值，且

當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值（2）時(shí)沒(méi)有極值；(3)時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，需另作討論.極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn),也有可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．因此，在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，在點(diǎn)例如函數(shù)處有極大值，但不是函數(shù)的駐點(diǎn).

除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)予以考慮.因此，求解函數(shù)極值的步驟：求得一切實(shí)數(shù)解，即求得一切駐點(diǎn);第一步：解方程組，第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步：確定的符號(hào)，按照定理6.9的結(jié)論若有，判別是否為極值點(diǎn).判定是否是極值，是極大值還是極小值；第四步：考察函數(shù)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，例6.6.4求函數(shù)的極值.分析所給函數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，按照求解步驟的前三步即可.解先解方程組再求出二階偏導(dǎo)函數(shù)，，.求得駐點(diǎn)為，，，，在點(diǎn)處，所以函數(shù)在點(diǎn)處有極小值，，又在點(diǎn)處，在點(diǎn)處，在點(diǎn)處，所以不是極值；所以不是極值；所以函數(shù)在點(diǎn)處有極小值，為.，，，又，如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上必能取得最大值和最小值，并且函數(shù)的最大值、最小值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或在的邊界點(diǎn)中取得.因此，要求函數(shù)的最值點(diǎn)，我們只需求出函數(shù)的駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值，以及邊界上的最大、最小值，然后加以計(jì)較即可.在實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，知道函數(shù)最小值，然后我們加以比較即可.的最值一定在區(qū)域的內(nèi)部取得，以及邊界上的最大、蓋長(zhǎng)方體水箱.問(wèn)：當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)，才能使

例6.6.5某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為的有分析用料最省？體積已知，長(zhǎng)、寬、高為三個(gè)變量，可將長(zhǎng)、寬看作自變量，高看作因變量，求得面積表達(dá)式，為二元函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的最值問(wèn)題.解

設(shè)水箱的長(zhǎng)為m，寬為m，則其高應(yīng)為m.此水箱所用材料的面積為令，，得，.根據(jù)題意可知，水箱所用材料面積的最小值一定存在，并在開(kāi)區(qū)域內(nèi)取得.因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，所以，此駐點(diǎn)一定是的最小值點(diǎn)，即當(dāng)水箱的長(zhǎng)為m、寬為m、高為m時(shí)，水箱所用的材料最省.在研究函數(shù)的極值時(shí),如果對(duì)函數(shù)的自變量除了限制在定義6.6.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法例如，求函數(shù)在條件下的可能極值點(diǎn).(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(為常數(shù))域內(nèi)取值外,還有其他附加的約束條件,這類極值問(wèn)題就稱為條件極值問(wèn)題.(2)求函數(shù)對(duì),的偏導(dǎo)數(shù),并使之為零,與條件聯(lián)立,這種直接尋求條件極值的方法就是拉格朗日乘數(shù)法.解方程組得,其中就是函數(shù)在條件下的可能(3)確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn),在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定.的極值點(diǎn)的坐標(biāo);拉格朗日乘數(shù)法推廣求函數(shù)在條件，下的可能的極值點(diǎn)構(gòu)造輔助函數(shù)其中為常數(shù),求函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),并使之為零,解方程組得到的就是函數(shù)在條件,