高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊(cè)課件：全微分及其應(yīng)用

全微分及其應(yīng)用

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6.4.1全微分的定義6.4.2全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用6.4.1全微分的定義上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出在一元函數(shù)微分學(xué)中,如果函數(shù)在點(diǎn)

處可微,其中

是與

無(wú)關(guān)的常數(shù).則函數(shù)的改變量

可以表示為

的線(xiàn)性函數(shù)與一個(gè)比

高階的無(wú)窮小之和,即,類(lèi)似的,二元函數(shù)

在點(diǎn)

的全改變量與一元函數(shù)類(lèi)似,我們希望分離出自變量的改變量

、

的線(xiàn)性函數(shù),從而引入如下定義．可表示為定義6.9

如果函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義,且函數(shù)在點(diǎn)

的全增量

其中

是不依賴(lài)于

、

而僅與

有關(guān)的量,且,

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,則稱(chēng)函數(shù)

在點(diǎn)

可微分,而

稱(chēng)為函數(shù)

在點(diǎn)

處的全微分,記如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,那么稱(chēng)函數(shù)在D為

,即.內(nèi)可微分．上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出可微與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系在第三節(jié),我們指出,對(duì)于多元函數(shù),即使偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù).但是,如果函數(shù)

可得

,從而.因此函數(shù)在點(diǎn)

處連續(xù).由此可得下面的定理．上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出在點(diǎn)處可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)處必連續(xù).由上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出定理6.2

如果函數(shù)

在點(diǎn)

處可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)．定理6.3(必要條件)如果函數(shù)在點(diǎn)

處可微且函數(shù)在點(diǎn)

的全微分為分,則該函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)

,必定存在,且函數(shù)

下面進(jìn)一步討論函數(shù)在點(diǎn)

處可微的必要和充分條件．證明

因?yàn)楹瘮?shù)

在點(diǎn)

處可微,所以有成立．特別地,當(dāng)

時(shí),上式也成立,此時(shí).從而

存在．所以上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出同理,

,所以分條件(見(jiàn)本節(jié)例6.4.1).這要與一元函數(shù)區(qū)分開(kāi)來(lái),一元函注意：偏導(dǎo)數(shù)，存在是可微分的必要條件,但不是充數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例6.4.1討論函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分問(wèn)題.分析

利用偏導(dǎo)數(shù)定義求出函數(shù)在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù),根據(jù)解函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處有偏導(dǎo)數(shù)上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出全微分定義判斷函數(shù)在該點(diǎn)的可微性.同理，,即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出

但是如果考慮點(diǎn)沿直線(xiàn)趨于，則這表明，它不能隨而趨于0.因此，當(dāng)時(shí)，不是的高階無(wú)窮小.因此函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的全微分不存在，即不可微.上例表明，函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微分，那么函數(shù)滿(mǎn)足什么條件才可微分呢？定理6.4（充分條件）如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)的全微分存在.我們將自變量的增量分別記作，稱(chēng)為自變量的微分，則函數(shù)的全微分就可以寫(xiě)為：二元函數(shù)微分定義及定理對(duì)三元及三元以上的多元函數(shù)可完全類(lèi)似的加以推廣，如對(duì)三元函數(shù)有全微分上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出例6.4.2

求函數(shù)

的全微分.

解因?yàn)樗越饫?.4.3計(jì)算函數(shù)

在點(diǎn)(1,2)處的全微分.因?yàn)樗岳?.4.4設(shè)函數(shù)，求全微分.解因?yàn)樗?.4.2全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用上一頁(yè)目錄下一頁(yè)退出當(dāng)二元函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且都較小時(shí)，有近似式即我們可以利用上述近似式對(duì)二元函數(shù)做近似計(jì)算和誤差估計(jì).例6.4.5

有一圓柱體,受壓后發(fā)生形變,它的半徑由此解

設(shè)圓柱體的底面半徑、高和體積依次為則有

已知根據(jù)近似公式，有

即此圓柱體在受壓后體積約減少了

20cm增大到20

05cm,高度由100cm減少到99cm．求此圓柱體體積變化的近似值．

例6.4.6計(jì)算的近似值.

分析設(shè)函數(shù).要計(jì)算的值就是函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，利用進(jìn)行近似計(jì)算.