2020-2024年五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題13 數(shù)列（真題10個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題13數(shù)列（真題10個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考12、18題2024年春考7、12題數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與函數(shù)的綜合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式；數(shù)列、不等式的應(yīng)用2023秋考3、21題2023春考16題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)2022秋考10、21題2022春考16、18題等差數(shù)列的n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式；數(shù)列中的遞推公式、推理問(wèn)題、數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、數(shù)列極限的求法、數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用。2021年秋考8、12題2021年春考1、9、21題等比數(shù)列通項(xiàng)公式和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式；數(shù)列概念的理解和應(yīng)用、遞推公式的應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；無(wú)窮等比數(shù)列的概念及性質(zhì)、極限的運(yùn)算；數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的判定及求解。2020年秋考2、8、21題2020年春考13題數(shù)列極限的求法；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式；數(shù)列的綜合應(yīng)用、不等式以及不等關(guān)系、二次函數(shù)以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)綜合應(yīng)用。數(shù)列極限的求法一．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共1小題）1．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則21．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則．故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共3小題）2．（2024?上海）數(shù)列，，，的取值范圍為．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：等差數(shù)列由，知數(shù)列為等差數(shù)列，即，解得．故的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有98個(gè)．〖祥解〗由等差數(shù)前項(xiàng)和公式求出，從而，由此能求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項(xiàng)均不相等，，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由，得，在利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，注意分析與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三．等比數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）5．（2021?上海）在無(wú)窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是，，．〖祥解〗由無(wú)窮等比數(shù)列的概念可得公比的取值范圍，再由極限的運(yùn)算知，從而得解．【解答】解：無(wú)窮等比數(shù)列，公比，，，，，，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查無(wú)窮等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，極限的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共1小題）6．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則189．〖祥解〗直接利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，．故答案為：189．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．五．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共5小題）7．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則〖祥解〗反例判斷；反例判斷；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；推出數(shù)列公比以及數(shù)列項(xiàng)的范圍，即可判斷．【解答】解：如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．8．（2024?上海），，，，任意，，，，滿足，求有序數(shù)列，，，有48對(duì)．〖祥解〗由題意得，10，12，18，20，，設(shè)，由單調(diào)性有，，，，分類討論可求解．【解答】解：由題意得，10，12，18，20，，滿足，不妨設(shè)，由單調(diào)性有，，，，分兩種情況討論：①，，解得，，，，②，，解得，，，，所以有2種，綜上共有對(duì)．故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了數(shù)列，不等式的應(yīng)用，屬于難題．9．（2024?上海）無(wú)窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，，記，，，，若對(duì)任意正整數(shù)，集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是，．〖祥解〗當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，，，結(jié)合為閉區(qū)間可得對(duì)任意的恒成立，故可求的取值范圍．【解答】解：由題設(shè)有，因?yàn)?，，故，故，?dāng)時(shí)，，，，故，，此時(shí)為閉區(qū)間，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若，，，則，，若，，，，則，，若，，，則，，綜上，，，，，又為閉區(qū)間等價(jià)于，，，為閉區(qū)間，而，故對(duì)任意恒成立，故，故，故對(duì)任意的恒成立，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，故即．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．10．（2021?上海）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值．〖祥解〗（1）根據(jù)和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)建立等式，然后將，，的值代入即可；（2）根據(jù)遞推關(guān)系求出、，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判定即可；（3）分別求出，，的通項(xiàng)公式，從而可求出各自的最大值，從而可求出所求．【解答】解：（1）由題意，或，解得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，，（2）證明：，，或，經(jīng)檢驗(yàn)，；，或（舍，；，或（舍，；，或（舍，；綜上，、、成等比數(shù)列，公比為；（3）由或，可知或，由第（2）問(wèn)可知，，則，即，，則，，同理，，，同理，，的最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，等比數(shù)列的判定以及通項(xiàng)公式的求解，同時(shí)考查了學(xué)生計(jì)算能力，屬于難題．11．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱滿足性質(zhì)．（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個(gè)排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的數(shù)列．〖祥解〗（1）根據(jù)定義，驗(yàn)證兩個(gè)數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)即可；（2）假設(shè)公比的等比數(shù)列滿足性質(zhì)，可得：，推出，通過(guò)，時(shí)，時(shí)：時(shí)，四種情況討論求解即可．（3）設(shè)，分時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，以及，4，，，，五種情況討論，判斷數(shù)列的可能情況，分別推出判斷是否滿足性質(zhì)即可．【解答】解：（1）對(duì)于數(shù)列3，2，5，1，有，，，滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)；對(duì)于第二個(gè)數(shù)列4、3、2、5、1，，，．不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì)．（2）由題意：，可得：，，3，，，兩邊平方可得：，整理可得：，當(dāng)時(shí)，得此時(shí)關(guān)于恒成立，所以等價(jià)于時(shí)，，所以，，所以，或，所以取，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)關(guān)于恒成立，所以等價(jià)于時(shí)，，所以，所以，所以?。?dāng)時(shí)：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得，恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不恒成立；故當(dāng)時(shí)，矛盾，舍去．當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得，恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，恒成立；故等價(jià)于時(shí)，，所以，所以或，所以取，綜上，．（3）設(shè)，，4，，，，因?yàn)?，可以取，或，可以取，或，如果或取了或，將使不滿足性質(zhì)；所以的前5項(xiàng)有以下組合：①，；；；；②，；；；；③，；；；；④，；；；；對(duì)于①，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對(duì)于②，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對(duì)于③，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對(duì)于④，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；所以，4，，，，均不能同時(shí)使、都具有性質(zhì)．當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，2，3，，，滿足題意．當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，，，3，2，1滿足題意．當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，1，3，，，滿足題意．當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，，，，，3，2，1滿足題意．所以滿足題意的數(shù)列只有以上四種．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，不等式以及不等關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力是難度大的題目，必須由高的數(shù)學(xué)思維邏輯修養(yǎng)才能解答．六．?dāng)?shù)列的求和（共1小題）12．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．〖祥解〗設(shè)的公比為，由無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，解方程可得，進(jìn)而得到，，求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再由無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【解答】解：設(shè)的公比為，由，的各項(xiàng)和為9，可得，解得，所以，，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．七．?dāng)?shù)列遞推式（共2小題）13．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為31．〖祥解〗設(shè)，由題意可得，，恰有一個(gè)為1，然后分兩種情況分別求解的值，即可得到答案．【解答】解：設(shè)，由題意可得，，恰有一個(gè)為1，如果，那么，，，，同樣也有，，，，，全部加起來(lái)至少是；如果，那么，，，同樣也有，，，，，全部加起來(lái)至少是，綜上所述，最小應(yīng)該是31．故答案為：31．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的概念的理解和應(yīng)用，遞推公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．〖祥解〗（1）利用遞推關(guān)系式可得，然后計(jì)算的值即可；（2）由題意可得，則，從而命題為真命題，給出反例可得命題為假命題．（3）由題意可得，，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，最后分類討論即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：（1），或．（2），，，，，，，為等差數(shù)列，，．逆命題：若，則，，，，，，，為等差數(shù)列是假命題，舉例：，，，，，，，，．（3）因?yàn)?，，，，，以下用?shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：當(dāng)，明顯成立，假設(shè)時(shí)命題成立，即，則，則，命題得證．回到原題，分類討論求解數(shù)列的通項(xiàng)公式：1．若，則矛盾，2．若，則，，，此時(shí)，，3．若，則，，，（由（2）知對(duì)任意成立），，事實(shí)上：矛盾．綜上可得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列中的遞推關(guān)系式，數(shù)列中的推理問(wèn)題，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解等知識(shí)，屬于難題．八．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合（共2小題）15．（2024?上海）已知．（1）若過(guò)，求的解集；（2）存在使得、、成等差數(shù)列，求的取值范圍．〖祥解〗（1）先求出函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，推得有解，再結(jié)合分離常數(shù)法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）由過(guò)可得，則，解得（負(fù)值舍去），因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格增函數(shù)，，則，解得，故所求解集為；（2）因?yàn)?、、成等差?shù)列，所以，即有解，化簡(jiǎn)可得，則且，故在上有解，又，故在上，，故，解得或，又，所以，故的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，若，則過(guò)點(diǎn)，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，以此類推，，，直至停止，由這些項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．（1）設(shè)屬于數(shù)列，證明：；（2）試比較與的大小關(guān)系；（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖祥解〗（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得過(guò)點(diǎn)，的切線方程，再結(jié)合題意即可得證；（2）由不等式，結(jié)合（1）即可得出結(jié)論；（3）易知公差，，考察函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知的單調(diào)性情況，進(jìn)而得到至多存在兩個(gè)，使得，由此可知，再驗(yàn)證即可．【解答】解：（1）證明：，則過(guò)點(diǎn)，的切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得，此時(shí)切線方程為，即，令，可得，根據(jù)題意可知，，即得證；（2）先證明不等式，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則（1），即，結(jié)合（1）可知，；（3）假設(shè)存在這樣的符合要求，由（2）可知，數(shù)列為嚴(yán)格的遞減數(shù)列，，2，3，，，由（1）可知，公差，，先考察函數(shù)，則，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則至多只有兩個(gè)解，即至多存在兩個(gè)，使得，若，則，矛盾，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，由于，，則存在，使得，于是取，，，它們構(gòu)成等差數(shù)列．綜上，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．九．?dāng)?shù)列的極限（共3小題）17．（2020?上海）計(jì)算：A．3 B． C． D．5〖祥解〗把分子分母同時(shí)除以，則答案可求．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列極限的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．18．（2020?上海）計(jì)算：．〖祥解〗由極限的運(yùn)算法則和重要數(shù)列的極限公式，可得所求值．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的極限的求法，注意運(yùn)用極限的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題．19．（2022?上海）已知在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為．（1）若是等比數(shù)列，，求；（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．〖祥解〗（1）由已知求得等比數(shù)列的公比，再求出前項(xiàng)和，求極限得答案；（2）求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和，代入，對(duì)分類分析得答案．【解答】解：（1）在等比數(shù)列中，，，則，公比，則，；（2）若是等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，恒成立，，，．綜上所述，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前項(xiàng)和，考查數(shù)列極限的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用，是中檔題．一十．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共2小題）20．（2023?上海）已知無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，為其前項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則下列各項(xiàng)中可能成立的是A．，，，，，為等差數(shù)列，，，，，，為等比數(shù)列 B．，，，，，為等比數(shù)列，，，，，，為等差數(shù)列 C．，，，，為等差數(shù)列，，，，，為等比數(shù)列 D．，，，，為等比數(shù)列，，，，，為等差數(shù)列〖祥解〗由對(duì)任意正整數(shù)，都有，可以知道，，，，不可能為等差數(shù)列，若，，則，矛盾；若，，當(dāng)，，使得，矛盾；若，，當(dāng)，，必有使得，矛盾；若，當(dāng)，，必有使得，矛盾；若，當(dāng)，，，必有使得，矛盾；即可判斷．【解答】解：由對(duì)任意正整數(shù)，都有，可以知道，，，，不可能為等差數(shù)列，因?yàn)槿?，?dāng)，，，必有使得，矛盾；若，，則，矛盾；若，，當(dāng)，，使得，矛盾；若，，當(dāng)，，必有使得，矛盾；若，當(dāng)，，必有使得，矛盾；所以選項(xiàng)中的，，，，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；選項(xiàng)中的，，，，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；選項(xiàng)中的，，，，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；由排除法可得正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．21．（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．〖祥解〗（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，解方程可得，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再由等比數(shù)列的求和公式，解不等式可得的最小值．【解答】解：（1）數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，，，可得，解得，則；（2）數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，，，可得，即，則，，，即為，即，可得，即的最小值為7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．一．選擇題（共14小題）1．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由遞推到時(shí)不等式左邊A．增加了 B．增加了 C．增加了，但減少了 D．增加了，但減少了〖祥解〗分別求出當(dāng)，時(shí)，不等式左邊的表達(dá)式，通過(guò)比較，即可求解．【解答】解：當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式的左邊為，故不等式左邊增加了，但減少了．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)①存在等差數(shù)列具有性質(zhì)；②不存在等比數(shù)列具有性質(zhì)；對(duì)于以上兩個(gè)命題，下列判斷正確的是A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合題中條件，即可判斷①；設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合題中條件，即可判斷②．【解答】解：對(duì)于①，若等差數(shù)列具有性質(zhì)，則存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由，得，即，化簡(jiǎn)得，所以等差數(shù)列具有性質(zhì)，①是真命題；對(duì)于②，若等比數(shù)列具有性質(zhì)，則存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，令，則，即，令，則，即，令，則，則，由，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡(jiǎn)得，所以等比數(shù)列具有性質(zhì)，所以②是假命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了等差、等比數(shù)列的求和公式及性質(zhì)，屬于中檔題．3．（2024?青浦區(qū)二模）設(shè)為是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)題意算出，可得且，由此對(duì)各項(xiàng)的結(jié)論加以判斷，即可得到本題的答案．【解答】解：，，，即且，，兩邊都除以，得，可得．對(duì)于，由，可得，故項(xiàng)不正確；對(duì)于，由于，所以不成立，故不正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，可得．結(jié)合，可得，故正確；對(duì)于，根據(jù)且，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)不成立，故不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．4．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項(xiàng)和為，且．若對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱是“可控?cái)?shù)列”．現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”．則下列判斷正確的是A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題〖祥解〗由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合“可控?cái)?shù)列”的定義，可得結(jié)論．【解答】解：①，數(shù)列不是常數(shù)列，則，則看作是一次函數(shù)的變化，由得，看作是二次函數(shù)的變化，當(dāng)足夠大時(shí)，極限的思想說(shuō)明不成立；②，取，則，當(dāng)時(shí)，取，可得，，滿足；當(dāng)時(shí)，取，可得，而，滿足．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．5．（2024?黃浦區(qū)二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．對(duì)于命題：①存在“數(shù)列”，使得數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列；②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列為“數(shù)列”．下列判斷正確的是A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題〖祥解〗根據(jù)題意，結(jié)合“數(shù)列”的定義，舉出實(shí)例說(shuō)明①②正確，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析兩個(gè)命題：對(duì)于①，對(duì)于數(shù)列，令，則，數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，①正確；對(duì)于②，等差數(shù)列，令，有，則有，數(shù)列為“數(shù)列”，②正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)和定義，涉及數(shù)列的求和，屬于中檔題．6．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）設(shè)為無(wú)窮數(shù)列．若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均成立，則稱為“低調(diào)數(shù)列”．有以下兩個(gè)命題：①，是低調(diào)數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)；②若存在，使得，，，，為低調(diào)數(shù)列，則．那么A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題〖祥解〗根據(jù)“低調(diào)數(shù)列”的定義驗(yàn)證即可．【解答】解：對(duì)于數(shù)列，由存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均成立，則稱為“低調(diào)數(shù)列”定義可知．若該數(shù)列為低調(diào)數(shù)列，因均小于，故．反之，當(dāng)時(shí)，，即該數(shù)列為低調(diào)數(shù)列．故①是真命題．對(duì)于數(shù)列，，，，，顯然．若存在使得該數(shù)列為低調(diào)數(shù)列，則對(duì)一切正整數(shù)恒成立．若，則當(dāng)時(shí)，不成立；若，取即可；若，則，取即可．綜上，②是真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2024?寶山區(qū)二模）數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列為“某數(shù)列”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得．則下列選項(xiàng)中正確的是A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題 C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題〖祥解〗由等比數(shù)列結(jié)合新定義即可判斷①，若，設(shè)，，再由新定義可得則，即可判斷②．【解答】解：對(duì)于①，由等比數(shù)列可得，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，故①為假命題；對(duì)于②，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．令，，則．下面證是“某數(shù)列”．設(shè)的前項(xiàng)和為，則．于是對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”．同理，可證也是“數(shù)列”．所以對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，存在大于1的整數(shù)，使得成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．現(xiàn)給出如下兩個(gè)結(jié)論：①存在等差數(shù)列是“數(shù)列”；②任意等比數(shù)列都不是“數(shù)列”．則A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立〖祥解〗由題意可得任意的，存在大于1的整數(shù)，使得，對(duì)命題①，分公差或兩種情況討論可判斷結(jié)論；對(duì)于②，舉例如，可判斷結(jié)論．【解答】解：由“數(shù)列”的定義，對(duì)任意的，存在大于1的整數(shù)，使得，成立，則對(duì)于任意的，存在大于1的整數(shù)，使得，對(duì)于命題①不成立，理由如下：假設(shè)存在，當(dāng)時(shí)，總存在，由于對(duì)任意正整數(shù)，都有，總存在正整數(shù)，使得與，不會(huì)存在．當(dāng)時(shí)，總存在，由于對(duì)任意正整數(shù)，有，總存在整數(shù)，使得與，不存在．對(duì)于命題②不成立，理由如下：舉例說(shuō)明：如，有，，，可取，可以保證不等式成立．綜上，①②均不成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，考查轉(zhuǎn)化思想與閱讀理解能力，考查分類討論思想，是中檔題．9．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿足，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿足；②數(shù)列的前項(xiàng)和；③數(shù)列每一項(xiàng)都滿足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿足．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④〖祥解〗通過(guò)遞推公式，判斷出數(shù)列單調(diào)性，由此得到數(shù)列的取值范圍，根據(jù)取值范圍對(duì)①③④進(jìn)行判斷，算出即可判斷②．【解答】解：由，，得，，，，②錯(cuò)誤；，又因?yàn)?，所以，所以，①正確；由，可得，即，又，兩邊同時(shí)除以，可得，，，，累加可得，又因，所以，即有，當(dāng)時(shí)，，所以，③錯(cuò)誤；由，得，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，故④正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．（2024?浦東新區(qū)二模）設(shè)，，，記，2，，，令有窮數(shù)列為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2，，，則有以下兩個(gè)結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②存在，使得為公差不為零的等差數(shù)列．那么A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯(cuò)誤〖祥解〗對(duì)于①，列舉驗(yàn)證，對(duì)于②，列舉驗(yàn)證．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)，故存在，使為常數(shù)列；①正確；設(shè)，則有個(gè)零點(diǎn)1，2，3，，，則在，，，的每個(gè)區(qū)間內(nèi)各至少一個(gè)零點(diǎn)，故至少有個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)槭且粋€(gè)次函數(shù)，故最多有個(gè)零點(diǎn)，因此有且僅有個(gè)零點(diǎn)，同理，有且僅有個(gè)零點(diǎn)，，有且僅有個(gè)零點(diǎn)，故，所以是公差為的等差數(shù)列，故②正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，屬于中檔題．11．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于正整數(shù)的方程記為，命題：對(duì)于任意的，存在等差數(shù)列使得有解；命題：對(duì)于任意的，存在等比數(shù)列使得有解；則下列說(shuō)法中正確的是A．命題為真命題，命題為假命題 B．命題為假命題，命題為真命題 C．命題為假命題，命題為假命題 D．命題為真命題，命題為真命題〖祥解〗根據(jù)題意，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合有解，構(gòu)造出滿足條件的等差、等比數(shù)列，即可求解．【解答】解：當(dāng)時(shí)，可得且，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，可得，此時(shí)，，滿足，即存在等差數(shù)列；使得有解，當(dāng)時(shí)，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，可得，，，此時(shí)，，滿足，即存在等差數(shù)列使得有解，綜上可得，對(duì)于任意的，存在等差數(shù)列使得有解，所以命題為真命題；當(dāng)時(shí)，取等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，可得，則，此時(shí)滿足即成立；當(dāng)時(shí)，取等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，可得，此時(shí)，，滿足，即存在等比數(shù)列使得有解，當(dāng)時(shí)，令，即為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，此時(shí)，，滿足，即存在等比數(shù)列使得有解；綜上可得，對(duì)于任意的，存在等比數(shù)列使得有解，所以命題為真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于難題．12．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域?yàn)?；②?shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”．給出下列兩個(gè)命題：①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個(gè)；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)．A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題〖祥解〗以一次函數(shù)為例，可判斷①；令，通過(guò)計(jì)算可判斷②，進(jìn)而可得正確選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于①：以一次函數(shù)為例，，，，即，整理得，只要方程有正整數(shù)解且即可，如方程中取，則有，即，對(duì)進(jìn)行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)組，故命題①是假命題；對(duì)于②：數(shù)列的前項(xiàng)和為，令．由得，取，即可保證恒成立，故命題②為真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．13．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是1位首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為A．9 B．10 C．11 D．24〖祥解〗由題設(shè)知，，由和，得，由此能求出當(dāng)時(shí)的最大值．【解答】解：是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，，，，解得：．則當(dāng)時(shí)，的最大值是9．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．14．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知數(shù)列滿足為正整數(shù)），，設(shè)集合．有以下兩個(gè)猜想：①不論取何值，總有；②若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則的可能取值有6個(gè)．其中A．①正確，②正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤〖祥解〗設(shè)出數(shù)列中的一項(xiàng)，，然后分被3除余1，余2，余0三種情況進(jìn)行討論，借助給出的遞推關(guān)系式進(jìn)行推證即可判斷①，結(jié)合遞推關(guān)系式得到符合的形式，然后保證，即可判斷②．【解答】解：（1）不妨設(shè)出數(shù)列中的一項(xiàng)，，①若被3除余1，則由已知可得，，，若被3除余2，則由已知可得，，，若被3除余0，則由已知可得，，所以對(duì)對(duì)任意的，，則，所以對(duì)數(shù)列中的任一項(xiàng)，若，則，因?yàn)椋裕詳?shù)列中必存在某一項(xiàng)（否則與上述結(jié)論矛盾），若，結(jié)論得證，若，則，，結(jié)論得證，若，則，得證，所以，不論取何值，總有；故①正確；②若是3的倍數(shù)，則，若被3除余1，則由已知可得，，若被3除余2，則由已知可得，，所以連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以這7項(xiàng)中前6項(xiàng)一定都量3的倍數(shù)，而第七項(xiàng)一定不是3的倍數(shù)（否則構(gòu)成等比數(shù)列的連接項(xiàng)數(shù)會(huì)多于7項(xiàng)）設(shè)第7項(xiàng)為，則是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得，因?yàn)?，所以，或，由遞推關(guān)系式可知，在該數(shù)列的前項(xiàng)中，滿足小于等于2022的項(xiàng)只有；，或，，或，所以首項(xiàng)的有可能取值的集合為，，，，，，故的可能取值有6個(gè)．故②正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，考進(jìn)學(xué)生的抽象思維能力，屬難題．二．填空題（共35小題）15．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)某直角三角形的三個(gè)內(nèi)角的余弦值成等差數(shù)列，則最小內(nèi)角的正切值為．〖祥解〗根據(jù)題意，設(shè)該直角三角形為，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該直角三角形為，且，則有，即，又，則有，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是（或．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，，成等差數(shù)列，則，即，解得或，故“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是（或．故答案為：（或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）數(shù)列滿足為正整數(shù)），且與的等差中項(xiàng)是5，則首項(xiàng)1．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：數(shù)列滿足為正整數(shù)），則數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設(shè)其公比為，則，與的等差中項(xiàng)是5，則，即，解得．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則759．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公差，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：由題意可得，，，，，，．故答案為：759．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?虹口區(qū)模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則9．〖祥解〗當(dāng)時(shí)，，即可求解．【解答】解：數(shù)列的前項(xiàng)和，，則．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?浦東新區(qū)二模）已知等差數(shù)列滿足，，則5．〖祥解〗直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，解得．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?松江區(qū)二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，若，則使得成立的的最大值為5．〖祥解〗利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，，，解得，，，，，整理得，解得，，使得成立的的最大值為5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．22．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知為等比數(shù)列，公比，，且，，成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式．〖祥解〗由，，成等差數(shù)列，得，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，代入求出公比即可．【解答】解：由，，成等差數(shù)列，且，得，解得或，又，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，，則的公比為．〖祥解〗由題意知，，再利用無(wú)窮等比數(shù)列和的公式求解即可．【解答】解：因?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列，，則，，又，所以，解得或（舍．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?楊浦區(qū)二模）各項(xiàng)為正的等比數(shù)列滿足：，，則通項(xiàng)公式為．〖祥解〗利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解．【解答】解：各項(xiàng)為正的等比數(shù)列滿足：，，，解得，通項(xiàng)公式為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．25．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則5．〖祥解〗利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，由題意得，，因?yàn)?，，，，成等比?shù)列，故，即，解得，則，所以，，故．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．26．（2024?金山區(qū)二模）設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則4．〖祥解〗由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)楣葹?的等比數(shù)列中，，則．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）無(wú)窮等比數(shù)列滿足：，，則的各項(xiàng)和為．〖祥解〗利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程首項(xiàng)和公比，由此能求出的各項(xiàng)和．【解答】解：因?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列滿足：，，所以，所以，或，，當(dāng)，時(shí)，的各項(xiàng)和為，當(dāng)，時(shí)，的各項(xiàng)和為．的各項(xiàng)和為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)檔題．28．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列的公比為，則3．．〖祥解〗根據(jù)題意判斷出等比數(shù)列是無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，然后根據(jù)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意，可知等比數(shù)列是無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，故．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．29．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列滿足對(duì)任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項(xiàng)一共有25項(xiàng)．〖祥解〗首先令，可得首項(xiàng)，再由作差法求得時(shí)的，由，解不等式可得所求．【解答】解：任意整數(shù)有成立，可得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)也成立，則，，令，解得，即有，2，，25，共有25項(xiàng)．故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．30．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）數(shù)列的最小項(xiàng)的值為．〖祥解〗根據(jù)題意，設(shè)，分析的單調(diào)性和函數(shù)值符號(hào)，進(jìn)而分析數(shù)列的單調(diào)性，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，可以由函數(shù)向右平移個(gè)單位得到，則在上遞減，且，在，上遞減且，對(duì)于數(shù)列，則在上遞減，且，在上遞增，且，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，其最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及數(shù)列的最小項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．31．（2024?虹口區(qū)二模）已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，若，，成等差數(shù)列，則3．〖祥解〗先求公比，再求等比數(shù)列的前項(xiàng)和，最后判斷極限．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，成等差數(shù)列可得，即，整理得，解得，或，又等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，，故，，當(dāng)時(shí)，，．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．32．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．〖祥解〗先設(shè)等比數(shù)列的公比為，先令代入題干已知條件驗(yàn)證可得，當(dāng)時(shí)，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式及題干已知條件列出關(guān)于公比的方程，解出的值，即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，①當(dāng)時(shí)，，，則，，此時(shí)不滿足題干已知條件，故，②當(dāng)時(shí)，則，，由，可得，化簡(jiǎn)整理，得，解得，或，即（舍去），或，等比數(shù)列的公比為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算．考查了分類討論，方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．33．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）數(shù)列滿足，若，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為210．〖祥解〗數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解．【解答】解：數(shù)列滿足，若，，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以1，2為首項(xiàng)，公差均為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為．故答案為：210．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．34．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且．設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得．【解答】解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，又，可得（為常數(shù)），為等差數(shù)列，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．35．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，滿足：，2，3，，，我們稱其為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項(xiàng)等于，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為5或4．．〖祥解〗根據(jù)公差可得數(shù)列單調(diào)性進(jìn)而可得，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合對(duì)稱數(shù)列的定義列方程求解即可．【解答】解：由于，，，是公差為的等差數(shù)列，故，，，單調(diào)遞減，所以，故，則，．又，故，即，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，化簡(jiǎn)得，解得或．故答案為：5或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于中檔題36．（2024?寶山區(qū)二模）在數(shù)列中，，且，則4．〖祥解〗利用遞推公式求出數(shù)列的前4項(xiàng)，由此猜想．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，由此能求出．【解答】解：在數(shù)列中，，且，，，，由此猜想．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①，成立，②假設(shè)成立，則成立，由①②得，則．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．37．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知有窮數(shù)列的首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為12，且任意相鄰兩項(xiàng)之間滿足，，則符合上述要求的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為144．〖祥解〗先分析從首項(xiàng)1到末項(xiàng)12的運(yùn)算方法的分類，然后結(jié)合組合數(shù)公式即可求解．【解答】解：從首項(xiàng)1到末項(xiàng)12的運(yùn)算方法共分為以下幾類：（1）11次，方法數(shù)為1；（2）9次，2次，方法數(shù)為；（3）7次，2次，方法數(shù)為；（4）5次，3次，方法數(shù)；（5）3次，4次，方法數(shù)為；（6）1次，5次，方法數(shù)，故共有種．故答案為：144．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，組合數(shù)公式的應(yīng)用及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．38．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列滿足，則．〖祥解〗把代入，整理后再求數(shù)列極限得答案．【解答】解：，，，則，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列極限的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．39．（2024?黃浦區(qū)二模）已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，，，取得最大值，則的值為21．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)的正負(fù)進(jìn)行分類討論，分別進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，有，所以，即為最小值，若取得最大值，則；當(dāng)時(shí)，有，所以，即為最大的值，若取得最大值，則根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，；所以．故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．40．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，且，那么這樣的數(shù)列有2個(gè)．〖祥解〗令，求得，再由與的關(guān)系，求得或，求得，結(jié)合不等式恒成立，可得所求結(jié)論．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，得或，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，整理得，所以或，當(dāng)時(shí)，由，可得，由題意可得對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則，，，，成立；當(dāng)時(shí)，由，可得，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由，可得，由題意可得對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則，，，，成立；當(dāng)時(shí)，若，可得，，不合題意，舍去．所以滿足題意的數(shù)列有2個(gè)．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，考查分類討論思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．41．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿足，，則此數(shù)列的通項(xiàng)．〖祥解〗利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：，即，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．42．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列，是公差相等的等差數(shù)列，且，若為正整數(shù)，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．〖祥解〗設(shè)數(shù)列，的公差為，由可得，，代入可得答案．【解答】解：設(shè)數(shù)列，的公差為，由，可得，解得，則，，即，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推式，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬中檔題．43．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列滿足，點(diǎn)在雙曲線上，則4．〖祥解〗由雙曲線的方程求得，由數(shù)列的極限公式求得，再由兩點(diǎn)的距離公式，可得所求值．【解答】解：點(diǎn)在雙曲線上，可得，由于，可取，則，，即有，則．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列極限的求法，以及兩點(diǎn)的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．44．（2024?寶山區(qū)二模）某區(qū)域的地形大致如圖1，某部門負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對(duì)警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描．假設(shè)1：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地；假設(shè)2：視探照燈為點(diǎn)，且距離地面20米；假設(shè)3：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓．當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時(shí)，記為一次掃描，此過(guò)程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)，2，3，．由此，通過(guò)調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、．第一次掃描時(shí)，光斑的長(zhǎng)軸為，米，此時(shí)在探照燈處測(cè)得點(diǎn)的俯角為（如圖．記，經(jīng)測(cè)量知米，且是公差約為0.1米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過(guò)15次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢．〖祥解〗由題意可得，從而得故是以為首項(xiàng)，以0.1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)的求和公式可得，再由求解即可．【解答】解：因?yàn)樵谥校?，，所以，，故，故是以為首?xiàng)，以0.1為公差的等差數(shù)列，故，而，，故．所以至少需要15次才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列在生活中的實(shí)際運(yùn)用，屬于中檔題．45．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)，，是正整數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若，且，，記，則7．〖祥解〗根據(jù)數(shù)列遞推式求出的通項(xiàng)，從而可得，進(jìn)而可得，根據(jù)，即可求出．【解答】解：，，兩式相減，得：，即，而，所以，所以，則，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)可知，必有系數(shù)1024，512，256，128，64，32，8，則這7個(gè)數(shù)前面的系數(shù)為1，其余系數(shù)都是0，故．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．46．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為．〖祥解〗首先求第二項(xiàng)，再找到可行數(shù)列，再證明可行性，即可求解．【解答】解：若，則，得，若，與矛盾，只能取．注意到一個(gè)可行的數(shù)列為0，，1，，2，，3，，，下面證明該數(shù)列使達(dá)到最大．為此，我們證明：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．假設(shè)存在某正奇數(shù)使，則分為兩種可能：①若，則，；同時(shí)，按原數(shù)列要求，，，故．注意到該數(shù)列顯然為整數(shù)數(shù)列，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不存在整數(shù)能位于該區(qū)間，因此矛盾．②若，則，，與矛盾；綜上，原假設(shè)不成立，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．而已經(jīng)找到的數(shù)列0，，1，，2，，3，，，其中等號(hào)全部成立，故的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列求和的最值，構(gòu)造可行數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查構(gòu)造思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．47．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列共有5項(xiàng)，且滿足：①，；②；③，、2、3、4．則滿足條件的數(shù)列共有80個(gè)．〖祥解〗由特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合三個(gè)條件，首先寫出，，的取值，由分類討論思想，可得所求數(shù)列的個(gè)數(shù)．【解答】解：由③可得，，，，結(jié)合①②，即有，，，，，，，，，，，，，，，，，，若，或，都有；，或，都有；若，或，都有，共有．故答案為：80．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合、數(shù)列的單調(diào)性，考查分類討論思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．48．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)關(guān)于的方程的從小到大的第個(gè)非負(fù)解為，2，3，，若數(shù)列是無(wú)窮等差數(shù)列，且在區(qū)間中的項(xiàng)恰好比在區(qū)間，中的項(xiàng)少2項(xiàng)，則的取值集合為為正整數(shù)，且．〖祥解〗設(shè)是方程的根，則也是方程的根，根據(jù)數(shù)列是無(wú)窮等差數(shù)列，求出，根據(jù)在區(qū)間中的項(xiàng)恰好比在區(qū)間，中的項(xiàng)少2項(xiàng)，列不等式組求出的取值集合．【解答】解：設(shè)第個(gè)正解，則的正解從小到大排列為（1），（2），（3），，由，得，因?yàn)閿?shù)列是無(wú)窮等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，，因?yàn)樵趨^(qū)間中的項(xiàng)恰好比在區(qū)間，中的項(xiàng)少2項(xiàng)，所以，解得，所以為正整數(shù)，且．故答案為：為正整數(shù)，且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列與三角函數(shù)求值的應(yīng)用問(wèn)題，是難題．49．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）等差數(shù)列滿足，則的最大值為50．〖祥解〗根據(jù)題意分析可知：存在，使得或，以為例，設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)分析可知：，且，進(jìn)而可得，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得，從而得出，即可求解．【解答】若對(duì)任意，恒成立，則，可得，，顯然兩者不相等，不合題意；同理可得對(duì)任意，恒成立也不合題意；所以等差數(shù)列一部分為正，一部分為負(fù)，即存在，使得或，若，可得，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，解得；且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即，解得，綜上所述：，即滿足條件的必為偶數(shù)，結(jié)合等號(hào)成立條件可知：且，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，即，，，可得，則，可得，解得，且，即有的最大值為25，的最大值為50；同理可得：當(dāng)，的最大值也為50．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題．三．解答題（共11小題）50．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同，從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱為移動(dòng)一次，若質(zhì)點(diǎn)的初始位置位于點(diǎn)處，記點(diǎn)移動(dòng)次后仍在底面上的概率為．（1）求；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；若，求的最大值．〖祥解〗（1）由圖形可得每一個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，其中兩個(gè)在同一底面，推得，由全概率公式可得；（2）由，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可得證明，由是等比數(shù)列．可解得，再解不等式即可．【解答】解：（1）依題意，每一個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，其中兩個(gè)在同一底面．所以當(dāng)點(diǎn)在下底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次仍在下底面的概率為，在上底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次回到下底面的概率為，又因?yàn)?，所以；?）證明：因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列．因?yàn)?，所以，若，即，又，，所以若，的最大值?．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式，以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和、概率的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．51．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）某集團(tuán)投資一工廠，第一年年初投入資金5000萬(wàn)元作為初始資金，工廠每年的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)能使資金在年初的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)．每年年底，工廠向集團(tuán)上繳萬(wàn)元，并將剩余資金全部作為下一年的初始資金，設(shè)第年的初始資金為萬(wàn)元．（1）判斷是否為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；（2）若工廠某年的資金不足以上繳集團(tuán)的費(fèi)用，則工廠在這一年轉(zhuǎn)型升級(jí)．設(shè)，則該工廠在第幾年轉(zhuǎn)型升級(jí)？〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件，列出遞推式，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，求出，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）是等比數(shù)列，理由如下：由題意可得，，，則，，由此可得，，即，當(dāng)時(shí)，，故不是等比數(shù)列，當(dāng)且時(shí)，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知：是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，，，設(shè)第年轉(zhuǎn)型升級(jí)，則，解得，故，綜上可知：該工廠在第9年轉(zhuǎn)型升級(jí)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．52．（2024?青浦區(qū)二模）若無(wú)窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．（1）若（其中正整數(shù)為常數(shù)，，，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．〖祥解〗（1）根據(jù)題設(shè)定義，利用的周期，即可得出結(jié)果；（2）分與兩種情況討論，當(dāng)，易得到是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造，則，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，可得出是嚴(yán)格增（或減）數(shù)列，從而可得出結(jié)果；（3）根據(jù)條件，利用充要條件的證明方法，即可證明結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)椋允菫橹芷跒榈闹芷跀?shù)列．（2）①當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，是周期為1的周期數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，記，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．即，所以在上嚴(yán)格增．若，則，即，進(jìn)而可得，即是嚴(yán)格增數(shù)列，不是周期數(shù)列；同理，若，可得是嚴(yán)格減數(shù)列，不是周期數(shù)列．綜上，當(dāng)時(shí)，是周期為1的周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，不是周期數(shù)列．（3）證明：充分性．若是周期數(shù)列，設(shè)它的周期為，記，則，，是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)；，是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)；，是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)；，令，則是連續(xù)函數(shù)，且，，所以存在零點(diǎn)．于是（c），取，則（c），從而，，一般地，對(duì)任何正整數(shù)都成立，即是周期為的周期數(shù)列．必要性．若存在，使得是周期數(shù)列，設(shè)的周期為，則，所以是周期為的周期數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．53．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知，集合，，其中，，，．（1）求中最小的元素；（2）設(shè)，，且，求的值；（3）記，，若集合中的元素個(gè)數(shù)為，求．〖祥解〗（1）直接利用賦值法求出結(jié)果；（2）利用分類討論思想的應(yīng)用①，②，③，進(jìn)一步求出結(jié)果；（3）利用裂項(xiàng)的方法和組合數(shù)的變換求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）中的最小元素為；（2）由題得，設(shè)，．①當(dāng)時(shí)，或或或或或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以．②當(dāng)時(shí)，或或或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以．③當(dāng)時(shí)，不符合題意．因此，或10．（3）設(shè)，則，其中，，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．54．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖像上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．〖祥解〗（1）由題意可得，由與的關(guān)系，可得所求通項(xiàng)公式；（2）推得，再由數(shù)列的倒序相加求和，可得所求和．【解答】解：（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)也成立，則，；（2）由，可得，又，可得，即有，則，又，兩式相加可得，可得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和函數(shù)的對(duì)稱性、數(shù)列的倒序相加求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．55．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足是正整數(shù)），，定義函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記函數(shù)，其中；證明：對(duì)任意，；數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．?dāng)?shù)列的極限的嚴(yán)格定義為：若存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，恒有成立，則稱為數(shù)列的極限．試根據(jù)以上定義求出數(shù)列的極限．〖祥解〗（1）利用等差數(shù)列定義，構(gòu)造，即可證明；（2）先證，再證，分開證明．（3）取進(jìn)行求解．【解答】解：（1）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足是正整數(shù)），即，得，所以是以首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．即．又．當(dāng)時(shí)也滿足，即．（2）①先證：．根據(jù)已知，得．由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，于是在，上是嚴(yán)格增函數(shù)，故成立．再證：．又，記，則，由，，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，于是在，上是嚴(yán)格減函數(shù)，故，于是．所以．②由題意知，，下面研究．將推廣至一般情形．．由，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，于是在，上是嚴(yán)格增函數(shù)，故成立①；再證：，，記，則，由，，，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，于是在，上是嚴(yán)格減函數(shù)，故，于是．所以，，即對(duì)任意，．于是對(duì)，，整理得，令，得，即，故．當(dāng)時(shí)，，故，即．從而．對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，令，則取為大于且不小于6的最小整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，的極限為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列與不等式等綜合知識(shí)，屬于難題．56．（2024?閔行區(qū)二模）已知定義在上的函數(shù)的表達(dá)式為，其所有的零點(diǎn)按從小到大的順序組成數(shù)列．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間，，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（3）求證：．〖祥解〗（1）求得的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，可得所求值域；（2）討論為奇數(shù)，或偶數(shù)時(shí)，的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可得證明；（3）由（2）可知函數(shù)在，，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在定理、以及正切函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可得證明．【解答】解：（1）由，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋?）證明：當(dāng)，，時(shí)，，①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間，上是嚴(yán)格減函數(shù)；②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間，上是嚴(yán)格增函數(shù)；且，故，所以由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間，，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．（3）證明：由（2）可知函數(shù)在，，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且滿足，即．又因?yàn)椋?，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，于是，，，①因?yàn)椋?，所以，即；（或者②因?yàn)椋桑?）可知，當(dāng)時(shí)，有，故，所以；由①②可知．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題．57．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若對(duì)在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且，且對(duì)，，在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于，（a）和，的連線，則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”．（1）若函數(shù)，證明，都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；（2）若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項(xiàng)公式；（3）若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)，時(shí)，．〖祥解〗（1）根據(jù)題意分析可知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列分析證明；（2）由題意分析可知：數(shù)列：為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（3）構(gòu)建函數(shù)；．，利用導(dǎo)數(shù)可證，利用累加法分析求解．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意可得：，因此，因此，所以為以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，易知這樣的數(shù)列對(duì)于給定的是存在的．因此，都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”．（2）令，那么，根據(jù)題意得（區(qū)間，因此為為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，因此，所以原數(shù)列通項(xiàng)公式為．（3）證明：先證先設(shè)函數(shù)，那么（b），，所以，令的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，那么，，所以，且，，使，那么，所以，所以，因此單調(diào)遞增，，同理可得，，因此，又因?yàn)?，，所以單調(diào)遞增在有，，有，所以取，那么有（b），又因?yàn)樵?，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此，因此，累加得到．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的切線、數(shù)列與函數(shù)，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．58．（2024?寶山區(qū)二模）函數(shù)的表達(dá)式為．（1）若，直線與曲線相切于點(diǎn)，求直線的方程；（2）函數(shù)的最小正周期是，令，將函數(shù)的零點(diǎn)由小到大依次記為，，，，，證明：數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列；（3）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，都有（a）且（a）．記，．當(dāng)時(shí)，是否存在、，使得成立？若存在，求出符合題意的、；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖祥解〗（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得；（2）題求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)滿足，再結(jié)合的單調(diào)性即可證明；（3）由題可得，，，假設(shè)存在、，使得成立，結(jié)合條件和最值的求法的得到，由，，，，得到等式不成立，從而求得．【解答】解（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以直線的方程是；（2）證明：由，可知，則，令，得，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，可知在，上?yán)格單調(diào)遞增，在，嚴(yán)格單調(diào)遞減，又在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以，時(shí)，在時(shí)有最小值，在時(shí)有最大值，因?yàn)?，所以在，上沒(méi)有交點(diǎn)，即在，上沒(méi)有零點(diǎn)；所以函數(shù)的零點(diǎn)滿足，因?yàn)樵?，?yán)格減，所以．又因?yàn)?，所以?shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列；（3）因?yàn)椋允且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù)，因?yàn)槿我?，，?dāng)時(shí)，都有（a）且（a），所以當(dāng)時(shí)，在，上有唯一的最大值1，由，得，，，假設(shè)存在、，使得成立，即成立，故當(dāng)時(shí)，取得最大值1；當(dāng)時(shí)，取得最大值1，由，可知①時(shí)，，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，在，上有唯一的最小值，故當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，可知②時(shí)，，若成立，則由①②得：，即，因?yàn)椋?，，，此時(shí)等式左邊為奇數(shù)，等式右邊為偶數(shù)，所以等式不成立，因此當(dāng)時(shí)，不存在、，使得成立【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等，屬于難題．59．（2024?浦東新區(qū)三模）已知函數(shù)，其中，．若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線與函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”．現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點(diǎn)列，，，，，使得對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)都是點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”．（1）若，請(qǐng)判斷原點(diǎn)是否存在“上位點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；（3）若的坐標(biāo)為，記點(diǎn)到直線的距離為．問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列、、、、嚴(yán)格減？若存在，求出實(shí)數(shù)的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖祥解〗（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求斜率，寫出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)定義判斷即可．（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，為正整數(shù)，求出函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程，代入其“上位點(diǎn)”，化簡(jiǎn)求解即可．（3）將代入求出，再根據(jù)題意，求出點(diǎn)到直線的距離，構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此求解即可．【解答】解：（1）時(shí)，，所以，，所以函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，其與函數(shù)圖像無(wú)其他交點(diǎn)，所以原點(diǎn)不存在“上位點(diǎn)”．（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，為正整數(shù)，則函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程為，代入其“上位點(diǎn)”，，得，化簡(jiǎn)得，即得；又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（若沒(méi)有寫出遞推公式，直接求出的坐標(biāo)給（4分），的坐標(biāo)給2分）（3）將代入，得，解得．由得，，即，所以，即．令，則嚴(yán)格單調(diào)遞減．因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)遞減，符合要求；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)闀r(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)遞增，不存在正整數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列，，，，嚴(yán)格單調(diào)遞減．綜上，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了新定義和推理與運(yùn)算能力，是難題．60．（2024?浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．設(shè)，曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．依此類推，稱得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于，的“數(shù)列”．（1）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；（2）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；（3）若，則對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，是否存在，使得函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖祥解〗（1）求出曲線在點(diǎn)，處的切線方程，令求得的值即可；（2）寫出在處的切線方程，令求得，得出的首項(xiàng)和公比，即可證明是等比數(shù)列．（3）根據(jù)題意，寫出以為切點(diǎn)的切線方程，令得到，討論的取值情況，根據(jù)函數(shù)的大致圖像判斷數(shù)列的單調(diào)，求解即可．【解答】解：（1）曲線在點(diǎn)，處的切線斜率為，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，解得，所以；（2）證明：在處的切線方程為，令，可得，即，所以，即，又，所以，因此是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（3）由題意知，，以為切點(diǎn)的切線方程為，令，得到，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的大致圖像如圖所示：因?yàn)榈葍r(jià)于，因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列嚴(yán)格增；同理，當(dāng)時(shí)，數(shù)列嚴(yán)格減．所以不存在使得是周期數(shù)列．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的大致圖像如圖所示：令，可得，即，依此類推，顯然可得，，．所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為周期數(shù)列，且周期．下證唯一性：當(dāng)時(shí)，，因此，數(shù)列嚴(yán)格減；當(dāng)時(shí)，，所以，因此數(shù)列嚴(yán)格增．綜上，當(dāng)時(shí)，不存在，使得為周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”為周期數(shù)列，且周期．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題．專題13數(shù)列（真題10個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考12、18題2024年春考7、12題數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與函數(shù)的綜合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式；數(shù)列、不等式的應(yīng)用2023秋考3、21題2023春考16題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)2022秋考10、21題2022春考16、18題等差數(shù)列的n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式；數(shù)列中的遞推公式、推理問(wèn)題、數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、數(shù)列極限的求法、數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用。2021年秋考8、12題2021年春考1、9、21題等比數(shù)列通項(xiàng)公式和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式；數(shù)列概念的理解和應(yīng)用、遞推公式的應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；無(wú)窮等比數(shù)列的概念及性質(zhì)、極限的運(yùn)算；數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的判定及求解。2020年秋考2、8、21題2020年春考13題數(shù)列極限的求法；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式；數(shù)列的綜合應(yīng)用、不等式以及不等關(guān)系、二次函數(shù)以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)綜合應(yīng)用。數(shù)列極限的求法一．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共1小題）1．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則21．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則．故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共3小題）2．（2024?上海）數(shù)列，，，的取值范圍為．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：等差數(shù)列由，知數(shù)列為等差數(shù)列，即，解得．故的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有98個(gè)．〖祥解〗由等差數(shù)前項(xiàng)和公式求出，從而，由此能求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項(xiàng)均不相等，，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由，得，在利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，注意分析與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三．等比數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）5．（2021?上海）在無(wú)窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是，，．〖祥解〗由無(wú)窮等比數(shù)列的概念可得公比的取值范圍，再由極限的運(yùn)算知，從而得解．【解答】解：無(wú)窮等比數(shù)列，公比，，，，，，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查無(wú)窮等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，極限的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共1小題）6．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則189．〖祥解〗直接利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，．故答案為：189．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．五．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共5小題）7．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則〖祥解〗反例判斷；反例判斷；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；推出數(shù)列公比以及數(shù)列項(xiàng)的范圍，即可判斷．【解答】解：如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．8．（2024?上海），，，，任意，，，，滿足，求有序數(shù)列，，，有48對(duì)．〖祥解〗由題意得，10，12，18，20，，設(shè)，由單調(diào)性有，，，，分類討論可求解．【解答】解：由題意得，10，12，18，20，，滿足，不妨設(shè)，由單調(diào)性有，，，，分兩種情況討論：①，，解得，，，，②，，解得，，，，所以有2種，綜上共有對(duì)．故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了數(shù)列，不等式的應(yīng)用，屬于難題．9．（2024?上海）無(wú)窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，，記，，，，若對(duì)任意正整數(shù)，集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是，．〖祥解〗當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，，，結(jié)合為閉區(qū)間可得對(duì)任意的恒成立，故可求的取值范圍．【解答】解：由題設(shè)有，因?yàn)?，，故，故，?dāng)時(shí)，，，，故，，此時(shí)為閉區(qū)間，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若，，，則，，若，，，，則，，若，，，則，，綜上，，，，，又為閉區(qū)間等價(jià)于，，，為閉區(qū)間，而，故對(duì)任意恒成立，故，故，故對(duì)任意的恒成立，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，故即．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．10．（2021?上海）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值．〖祥解〗（1）根據(jù)和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)建立等式，然后將，，的值代入即可；（2）根據(jù)遞推關(guān)系求出、，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判定即可；（3）分別求出，，的通項(xiàng)公式，從而可求出各自的最大值，從而可求出所求．【解答】解：（1）由題意，或，解得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，，（2）證明：，，或，經(jīng)檢驗(yàn)，；，或（舍，；，或（舍，；，或（舍，；綜上，、、成等比數(shù)列，公比為；（3）由或，可知或，由第（2）問(wèn)可知，，則，即，，則，，同理，，，同理，，的最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，等比