2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何2.32.3.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE2.3.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．駕馭圓與圓的位置關(guān)系及判定方法．(重點(diǎn))2．了解兩圓相離、相交或相切時(shí)一些簡(jiǎn)潔的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．(重點(diǎn))3．駕馭利用圓的對(duì)稱(chēng)性敏捷解決問(wèn)題的方法．(難點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系，培育直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．魔術(shù)鋼圈有許多的版本，通常有三連環(huán)和四連環(huán)．三連環(huán)中，有一個(gè)環(huán)是有缺口的，而另外兩個(gè)環(huán)是密封的；而四連環(huán)的原理基本相同，唯一不同的是有兩個(gè)環(huán)原來(lái)就連在一起，其余是一個(gè)有缺口的環(huán)和一個(gè)密封的環(huán)．表演時(shí)的常用手法是敲擊法：一手拿一個(gè)環(huán)，右手拿的是有缺口的環(huán)．缺口環(huán)的口要在右手的尾指處．用右手的環(huán)敲擊左手的環(huán)．先裝作敲兩下，第三下時(shí)右手的環(huán)快速向下敲，同時(shí)讓左手的環(huán)的上端穿過(guò)右手的環(huán)的缺口，穿進(jìn)去后便連在一起．在魔術(shù)師精美絕倫的表演中，對(duì)于圈而言，有時(shí)分開(kāi)，有時(shí)相連；假如把魔術(shù)圈看成圓，那么圖中兩個(gè)圓的位置關(guān)系能否用圓心間的距離和半徑來(lái)刻畫(huà)呢？學(xué)問(wèn)點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系及推斷位置關(guān)系相離相交相切外離內(nèi)含外切內(nèi)切圖示交點(diǎn)個(gè)數(shù)00211判定方法幾何法d＞r1＋r20＜d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝r1＋r2d＝|r1－r2|代數(shù)法Δ＜0Δ＜0Δ＞0Δ＝0Δ＝0說(shuō)明：d為兩圓的圓心距，r1，r2分別為兩圓半徑，Δ為聯(lián)立兩圓方程消去一個(gè)未知數(shù)后的一元二次方程的根的判別式．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)假如兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切． ()(2)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交． ()(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)錯(cuò)誤，還可能是內(nèi)切．(2)錯(cuò)誤，還須要大于兩半徑之差的肯定值．(3)錯(cuò)誤，在相交的狀況下才是．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2兩圓的公切線同時(shí)與兩個(gè)圓相切的直線稱(chēng)為兩圓的公切線．當(dāng)兩圓的位置關(guān)系不同時(shí)，公切線的條數(shù)也不同．詳細(xì)狀況如下表：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含切線圖示切線條數(shù)432102．圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圓C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切線有()A．2條B．3條C．4條D．1條B[∵圓C1的圓心為C1(－2，2)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為C2(2，5)，半徑r2＝4，∴圓心距|C1C2|＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5，r1＋r2＝5，故兩圓外切，公切線的條數(shù)為3．]類(lèi)型1圓與圓位置關(guān)系的判定【例1】已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0．(1)當(dāng)m為何值時(shí)，圓C1與圓C2外切？(2)當(dāng)圓C1與圓C2內(nèi)含時(shí)，求m的取值范圍．[解]對(duì)于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后，有C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．∴兩圓的圓心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半徑r1＝3，r2＝2，且|C1C2|＝eq\r(m＋12＋m＋22)．(1)若圓C1與圓C2外切，則|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(m＋12＋m＋22)＝5．解得m＝－5或m＝2．(2)若圓C1與圓C2內(nèi)含，則0＜|C1C2|＜|r2－r1|＝1，即eq\r(m＋12＋m＋22)＜1．解得－2＜m＜－1．1．推斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題有以下幾個(gè)步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓心和半徑；(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d；(3)通過(guò)d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來(lái)推斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．2．應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是特別簡(jiǎn)潔清楚的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切？[解]將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．圓C1的圓心為C1(－2，3)，半徑r1＝1；圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑r2＝eq\r(50－k)(k＜50)．從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5．當(dāng)1＋eq\r(50－k)＝5，k＝34時(shí)，兩圓外切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＝5，eq\r(50－k)＝6，k＝14時(shí)，兩圓內(nèi)切．當(dāng)|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34時(shí)，兩圓相交．類(lèi)型2兩圓相交的有關(guān)問(wèn)題【例2】(對(duì)接教材人教B版P114例2)已知圓C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圓C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．[解]法一：兩圓方程相減得4x＋3y－10＝0，此即為兩圓相交弦所在直線AB的方程．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－10＝0，,x2＋y2－10x－10y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))∴A，B的坐標(biāo)分別為(－2，6)，(4，－2)．∴|AB|＝eq\r(－2－42＋6＋22)＝10．即弦AB的長(zhǎng)為10．法二：由解法一得直線AB的方程為4x＋3y－10＝0．圓心C1(5，5)到直線AB的距離為d＝eq\f(|20＋15－10|,5)＝5，而圓C1的半徑為r＝5eq\r(2)．由圓的性質(zhì)可知|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(50－25)＝10．即弦AB的長(zhǎng)為10．1．求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必需留意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)，才能如此求解，否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù)．2．求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解．3．已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)圓O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圓O2：x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是______________．(2)經(jīng)過(guò)兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程為_(kāi)___________．(1)3x－y－9＝0(2)x2＋y2－x＋7y－32＝0[(1)兩圓的方程相減得AB的方程為x＋3y＝0，圓O1的圓心為(2，－3)，所以線段AB的垂直平分線的方程為y＋3＝3(x－2)，即3x－y－9＝0．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得兩圓的交點(diǎn)A(－1，3)，B(－6，－2)．設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4．則有eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)－3))eq\s\up12(2))＝eq\r(\f(89,2))．故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．]類(lèi)型3圓與圓的相切問(wèn)題【例3】求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程．1．圓與圓相切有哪幾種狀況？[提示]兩圓相切指的是內(nèi)切和外切兩種狀況．2．兩圓相切可用什么方法求解？[提示](1)幾何法．利用圓心距d與兩半徑R，r之間的關(guān)系求得，d＝R＋r為外切，d＝|R－r|為內(nèi)切．(2)代數(shù)法．將兩圓聯(lián)立消去x或y得到關(guān)于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．[解]設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則eq\r(a－12＋b2)＝r＋1． ①又所求圓過(guò)點(diǎn)M的切線為直線x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3)， ②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r． ③解由①②③組成的方程組得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6．故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36．1．將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過(guò)點(diǎn)(3，－eq\r(3))的圓的方程”，如何求？[解]因?yàn)閳A心在x軸上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，0)，半徑為r，則所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2(r＞0)，又因?yàn)榕c圓x2＋y2－2x＝0外切，且過(guò)點(diǎn)(3，－eq\r(3))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋02)＝r＋1，,3－a2＋－\r(3)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝4．2．將本例改為“若圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，試求實(shí)數(shù)m的值．”[解]圓x2＋y2－2x＝0的圓心為A(1，0)，半徑為r1＝1，圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圓心為B(4，4)，半徑為r2＝eq\r(32－m)．因?yàn)閮蓤A相外切，所以eq\r(4－12＋4－02)＝1＋eq\r(32－m)，解得m＝16．處理兩圓相切問(wèn)題的2個(gè)步驟(1)定性，即必需精確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告知相切，則必需分兩圓內(nèi)切、外切兩種狀況探討．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的肯定值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知圓M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)與圓N：x2＋(y－1)2＝1外切，則直線x－y－eq\r(2)＝0被圓M截得的線段的長(zhǎng)度為()A．1B．eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)D[由題意，知eq\r(a2＋1)＝2＋1，a＞0，∴a＝2eq\r(2)，圓心M(2eq\r(2)，0)到直線x－y－eq\r(2)＝0的距離d＝eq\f(|2\r(2)－0－\r(2)|,\r(2))＝1，∴直線x－y－eq\r(2)＝0被圓M截得的線段的長(zhǎng)度為2eq\r(4－1)＝2eq\r(3)，故選D．]1．兩圓x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的公切線條數(shù)是()A．1B．2C．3D．4B[兩圓圓心分別為(0，2)和(－2，－1)，半徑分別為1和4，圓心距d＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|，兩圓相交．故兩圓有2條公切線，選B．]2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋n＝0內(nèi)切，則n＝()A．21B．9C．19D．－11D[C2化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，其圓心為(3，4)，半徑r＝eq\r(25－n)，C1圓心為(0，0)，半徑為1．若兩圓內(nèi)切，則有eq\r(3－02＋4－02)＝|eq\r(25－n)－1|，解得n＝－11．]3．已知兩圓的圓心距為6，兩圓的半徑分別是方程x2－6x＋8＝0的兩個(gè)根，則兩圓的位置關(guān)系為()A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切B[由題意知r1＋r2＝6(兩圓圓心距)，∴兩圓外切．]4．圓x2＋y2＝8與圓x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．4[兩圓方程作差得x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(2，2)，B(2，－2)，則|AB|＝2－(－2)＝4．]5．已知兩圓相交于點(diǎn)A(1，3)，B(m，－1)，兩圓的圓心均在直線x－y＋c＝0上，則m＋c的值為_(kāi)_______．3[分析題意，可知AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)，1))在直線x－y＋c＝0上，∴eq\f(m＋1,2)－1＋c＝0，∴m＋2c＝1．