導數(shù)的應用之函數(shù)的單調(diào)性問題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學一輪復習（原卷版+解析版）

專題12導數(shù)的應用-函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類

彩題如工總

題型5：含參數(shù)單調(diào)性討論題型1：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定

原函數(shù)圖象

題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論

專題12導數(shù)的應用一函數(shù)的單調(diào)

性問題5題型分類

題型2：求單調(diào)區(qū)間

題型3：巳知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不

單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

彩先渡寶庫

一、單調(diào)性基礎(chǔ)知識

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)〉=/（%）在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果/'（幻>0,則y=為增函數(shù)；如果

rW<0,則y=/（x）為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若Ax）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有了'（x）N0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足廣（無）>0,

才能得出了⑺在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若fM在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有f'（x）<0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足f\x）<0,

才能得出Ax）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

二、討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負,

無需單獨討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導函數(shù)正

負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；

（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；

（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；

求二階導往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導.

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)

的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，

無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；

（5）導數(shù)圖象定區(qū)間；

（一）

利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象

原函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)〃元）單調(diào)遞增o導函數(shù)7'（X）20（導函數(shù)等于0,

只在離散點成立，其余點滿足r（無）＞0）;原函數(shù)單調(diào)遞減o導函數(shù)/'（x）W0（導函數(shù)等于0,只在離散點

成立，其余點滿足/（毛）＜0）.

題型1：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象

1-1.（天津市西青區(qū)為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數(shù)學試題）已知函數(shù)y=/（x）的圖象是下列

四個圖象之一，且其導函數(shù)y=r（x）的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（）

"或"連接，而應用"和"隔開.

2.導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應注意如下幾方面：

（1）在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；

（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；

（3）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類

討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用.

3.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函

數(shù)的形式及圖象特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線

最小值落在端點等.

（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.

題型2:求單調(diào)區(qū)間

2-1.（2024高三下?江西鷹潭?階段練習）函數(shù)y=土上+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

X

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+oo）D.（l,+oo）

2-2.（2024高二下糊北?期中）函數(shù)〃元）=ln（4尤2-1）的單調(diào)遞增區(qū)間（）

2-3.（2024?上海靜安?二模）函數(shù)y=xlnx（）

A.嚴格增函數(shù)

B.在上是嚴格增函數(shù)，在+上是嚴格減函數(shù)

C.嚴格減函數(shù)

D.在［。,口上是嚴格減函數(shù)，在+s）上是嚴格增函數(shù)

題型3：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

3-1.（2024?陜西西安三模）若函數(shù)〃力=V一依+1nx在區(qū)間0,e）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.[3,+co)B.(-8,3]C.[3,e2+l]

3-2.（2024?山東濟寧?一模）若函數(shù)〃尤）=log“（依-尤3）（。>0且在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是（）

A.[3,+co)B.(1,3]

V-21

3-3.（2024?寧夏銀川?三模）若函數(shù)/（x）=5-Inx在區(qū)間（〃?,〃，+§）上不單調(diào)，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.0<m<——<m<l

33

21

C.—<m<I

3

3-4.（2024高三上?江蘇蘇州?期中）若函數(shù)/"）=12+辦2_2在區(qū)間（3,2]內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。

的取值范圍是（）

A.[-2,+co）B.C.-2,-^D.（-2,+co）

9「1-

3-5.（2024高三上?山西朔州?期中）已知函數(shù)〃x）=ln尤+（工-6）一（6eR）在區(qū)間-,2上存在單調(diào)遞增區(qū)

間，則實數(shù)6的取值范圍是

-C0,2—00,—C.2,3)

4

3-6.（2024高二下?天津和平期中）已知函數(shù)/（x）=7加+3（m-l）x2-M?+l（m>0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,4）,

則加=（）

他甄秘籍

函數(shù)單調(diào)性的討論

1.確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，

二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用"逗號"或"和"隔開.

2、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點個數(shù)的討論，從

而得到原函數(shù)對應導數(shù)的正負，最終判斷原函數(shù)的增減.（注意定義域的間斷情況）.

3、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導函數(shù)端點處的函

數(shù)值或零點可判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段.

4、利用草稿圖象輔助說明.

題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論

4-1.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)=虱上D（x>0）.試判斷函數(shù)〃x）在（0,+8）上單調(diào)性并

X

證明你的結(jié)論；

42（2024高三?全國?專題練習）已知"x）=lnx+^若。=1,求的單調(diào)區(qū)間.

4-3.（2024?貴州?二模）已知函數(shù)/（x）=xlnx—e'+l.

（1）求曲線y=f（x）在點（L〃l））處的切線方程；

⑵討論〃力在（0,+力上的單調(diào)性.

題型5:含參數(shù)單調(diào)性討論

5-1.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=（m+1）%-機Inx-根.討論了（九）的單調(diào)性；

52（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=lnx-2/d+3依-1（心0）,討論函數(shù)的單調(diào)性.

5-3.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)〃x）=lnx+（l—a）x+l（aeR）,討論函數(shù)的單調(diào)性.

5-4.（2024高二下?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)〃x）=e=1.討論函數(shù)“力的單調(diào)性.

5-5.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=alnx+x2-（a+2）x（a>0）,討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性.

5-6.（2024高三,全國?專題練習）已知函數(shù)=1-—^^x—a^—\nx——+b,其中a,6eR,討論函數(shù)

的單調(diào)性.

5-7.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)〃尤）=（/-3依+2/lnx,a^Q,討論的單調(diào)區(qū)間.

5-8.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)〃x）=Alnx-g.判斷函數(shù)的單調(diào)性.

X

法習與置升

一、單選題

1.（2024高三?全國?課后作業(yè)）函數(shù)〃引=依+工（八6為正數(shù)）的嚴格減區(qū)間是（）.

2.（2024高二上?浙江?開學考試）已知函數(shù)f（x）=sinx+“cosx在區(qū)間[苦）上是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范

圍為（）

A.?>72-1B.a>\C.a>l-6D.a>-l

3.（2024高三?全國?專題練習）三次函數(shù)=在（_oo,+oo）上是減函數(shù)，則機的取值范圍是（）

A.m<0B.m<\C.m<0D.m￡1

4.（2024高三下?青海西寧?開學考試）已知函數(shù)了（同=9+111北若對任意4，X,G（O,2],且無產(chǎn)馬，都有

"%）-/&）>一],則實數(shù)。的取值范圍是（）

x2—xi

（271（27^

A.l-oo,—B.（-oo,2]C.I-oo,—ID.（-oo,8]

5.（2024高三?全國?專題練習）若函數(shù)/（x）=1+x-ln尤-2在其定義域的一個子區(qū)間（2左-1,2Z+1）內(nèi)不是

單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)上的取值范圍是（）

6.（2024高三?全國,專題練習）已知函數(shù)〃尤）=；尤3+3尤2+x+i在（一雙0）,（3,母）上單調(diào)遞增，在（1,2）上

單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為（）

10_5

A.T，-2

3111

7.(2024?全國)已知。=一,b=cos—,c=4sin—,貝Ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.(2024?全國)設(shè)。=0.隨叫6=",c=-ln0.9,貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

9.(2024高三上?河南?階段練習)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

1vx

A./(x)=xlnxB./(x)=^—i--C./(x)=e+e'D./(x)=-^—1-

10.(2024高三上?河南?階段練習)函數(shù)/(x)=xlnx+l的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.JB.(0,e)C.D.(e,+oo)

IL(2024高二下?河南許昌?階段練習)函數(shù)y=xcosx-sin尤在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)

A.)B.(71,2K)C.(―,—)D.(271,3K)

2222

12.(2024?全國)己知函數(shù)/'(x)=ae'-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為().

2-1-2

A.eB.eC.eD.e

13.(2024高二下?福建泉州?期末)已知函數(shù)y=/(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖像如下圖，那么y=/(x),y=g(x)

14.(2024高二下?河北邯鄲?期末)函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(元)的圖

象可能是（）

15.（2024,湖南）若函數(shù)y=/（元）的導函數(shù)在區(qū)間m,切上是增函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）在區(qū)間句上的圖象

可能是

16.（2024?全國）函數(shù)y=-￡+*2+2的圖像大致為

17.

18.（2024?全國）函數(shù)〃尤）=--：的圖像大致為（

1

19.(2024高三上?重慶沙坪壩?開學考試)已知實數(shù)。，仇。滿足：〃=31-32/=—1113,c=4-2石，則()

2

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

20.(2024IWJ二下,山東荷澤?期末)已知〃=/，9c=l+ln--,則a,b,c的大小關(guān)系為()

1011

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

21.(2024高二上?湖南張家界?階段練習)設(shè)/(%)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當xvO時,

「(%總(尤)+/(%必'(%)>0.且g(—3)=0,則不等式/(x)g(x)〈。的解集是()

A.(-3,0)53,+8)B.(-3,0)50,3)

C.(-00,-3)u(3,+oo)D.(-00,-3)u(0,3)

22.(2024高三?全國?專題練習)己知/(x)在R上是可導函數(shù)，〃尤)的圖象如圖所示，則不等式

(尤2—2%—3)-的解集為()

A.(-co,-2)U(l,+<?)B.(^30,-2)U(1,2)

C.(-co,-l)u(-l,0)u(2,+oo)D.(-co,-l)U(3,+oo)

23.(2024高三上?重慶沙坪壩?開學考試)若函數(shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當時，f(x)>2x,

則不等式〃3x-1)-〃2)>(3龍-3)(3x+l)的解集為()

1(-00,-4卜(1,+8)

A.—oo,----B.

3

C.(1,+co)D.

24.(2024?全國?模擬預測)已知幕函數(shù)/(x)=x\xe(y,0)30，+8)，若〃月=/回，則下列說法正確

a+\

的是（）

A.函數(shù)/（x）為奇函數(shù)B.函數(shù)/（X）為偶函數(shù)

C.函數(shù)“X）在（0,+巧上單調(diào)遞增D.函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞減

25.（2024?江西鷹潭?模擬預測）函數(shù)y=-/+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.fB.（0,e）C.D.0,與

26.（2024高二下?重慶?期中）若函數(shù)〃尤）=d_alnx-x-2023（aeR）在區(qū)間［1,+s）上單調(diào)遞增，則。的取

值范圍是（）

A.（-℃,1）B.（-co,l］C.［一00，i.D.

27.（2024?甘肅蘭州?一模）已知"X）是偶函數(shù)，在（一8,0）上滿足曠'（力＞0恒成立，則下列不等式成立的

是（）

A./（-3）＜/（4）＜/（-5）B./（4）＜/（-3）＞/（-5）

C./（-5）＜/（-3）＜/（4）D./（4）＜/（-5）＜/（-3）

M2

28.（2024?全國?模擬預測）已知。,女。41,心），＞a-lna-l=e,b-\nb-2=e,c-lnc-4=e^,其

中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）

A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜b＜a

b3

29.（2024?江蘇南京?模擬預測）已知實數(shù)，，〃滿足ae"=e2,=上e，其中《是自然對數(shù)的底數(shù)，則必的

eb

值為（）

A.e2B.e3C.2e3D.e4

30.（2024高三?貴州貴陽?階段練習）已知〃了）=竺1-彳，%G（O,-H?）,對且占＜%，恒

有工墟-/應＜0,則實數(shù)。的取值范圍是（）

x2石

A.2,+81B.”,+8C.（-oo,e2'|D.|-oo,e2

31.（2024?四川南充?三模）已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=e\*］,々41,2］使以（再）-8（々）|＞左|/（國）-/'（工2）|（k

為常數(shù)）成立，則常數(shù)上的取值范圍為（）

A.（?,e）B.（-<?,e]C.（-oo,2e2）D.（-℃,2e2]

二、多選題

32.（2024高二上?山東濟寧?期末）已知函數(shù)/（尤）的定義域為R且導函數(shù)為尸（x）,如圖是函數(shù)>=步'（無）的

圖像，則下列說法正確的是

A.函數(shù)/（%）的增區(qū)間是（-2,0）,（2,二）

B.函數(shù)/（X）的增區(qū)間是（-8,-2）,（2,+00）

C.x=-2是函數(shù)的極小值點

D.x=2是函數(shù)的極小值點

33.（2024?湖北武漢?二模）函數(shù)，=（辰2+1）/的圖像可能是（）

34.（2024?山東濰坊?模擬預測）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A.y=x-sinxB.y=x^-1C.y=tanxD.y=ex-e-x

35.（2024高二下?廣東潮州?開學考試）已知函數(shù)/（%）=%ln（l+x）,則（）

A.f（x）在（0,+oo）單調(diào)遞增

B.7（九）有兩個零點

C.曲線y=/（x）在點,處切線的斜率為—1—M2

D./（九）是奇函數(shù)

36.（2024?河北?模擬預測）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把"="作為等號使用，

后來英國數(shù)學家哈里奧特首次使用和，符號，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若1<a<6<e,

則（）

In（2InZ?,

A.——<—B.b<ba

aba

abab

C->艇D-

37.（2024,浙江金華,模擬預測）當x>l且y>l時，不等式￡二>[2]恒成立，則自然數(shù)〃可能為（）

In>⑴

A.0B.2C.8D.12

三、填空題

2

38.（2024高二下?四川眉山?階段練習）〃x）=x+—的單調(diào)遞減區(qū)間是—.

x

39.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=31nx-x+2,則的單調(diào)遞減區(qū)間為.

40.（2024?四川雅安?模擬預測）給出兩個條件：①a,6eR,f（a+b}=f（a）f（b}.②當xe（0,W）時，

r（x）<0（其中/（力為〃尤）的導函數(shù)）.請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數(shù).（寫出一個滿足

條件的函數(shù)即可）

41.（2024高三上?湖北黃岡?階段練習）已知函數(shù)〃x）=e，-er-2x+l,則不等式〃2彳—3）+/（尤）>2的解

集為.

42.（2024?寧夏銀川三模）若函數(shù)/（x）=1-Inx在區(qū)間上,機+￡|上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為

四、解答題

43.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=e*-6ix（aeR）,g（x）=e*+cos^|x.

⑴若"x）Z0,求a的取值范圍；

（2）求函數(shù)g（x）在（0,+s）上的單調(diào)性.

44.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=ln（eX—D—Inx,判斷了（無）的單調(diào)性，并說明理由.

45.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/■（尤）=（x-a）lnx,討論尸（x）的單調(diào)性.

46.（2024高三?全國?專題練習）己知函數(shù)=討論〃x）的單調(diào)性;

47.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/。）=如'一：無2

（1）當左=1時，求曲線>=/（尤）在x=l處的切線方程;

⑵設(shè)g（x）=f'。）,討論函數(shù)g（尤）的單調(diào)性.

48.（2024高三?北京海淀?專題練習）設(shè)函數(shù)-（4a+l）x+4a+3]e”.

⑴若曲線y=/（x）在點（L〃1））處的切線與x軸平行，求。;

（2）求外力的單調(diào)區(qū)間.

49.（2024高三?全國?專題練習）已知了（月=1"+日君-：-2（0/0）,討論/'（x）的單調(diào)性.

50.（2024高三?全國?專題練習）己知函數(shù)〃尤）=ln（l+尤）-3儂2（。工0）,討論“X）的單調(diào)性.

51.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)〃x）=lnx+士匚竺^（aeR）,討論函數(shù)/⑺的單調(diào)性;

2x

52.（2024高三?全國?專題練習）己知函數(shù)外月=葉片，aeR,討論的單調(diào)性.

e以

53.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/。）=g/+3公+21nx（aeR）,討論函數(shù)“力的單調(diào)性.

54.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)=+lnx+N,xe（0,+oo）,其中aeR,討論函數(shù)/（x）的

x

單調(diào)性.

55.（2024|W]二■全國,專題練習）已知/'（x）=（x-a-l）e*-5辦?+。-工-1.（aeR）,討論/'（x）的單調(diào)性.

56.（2024高三?全國?專題練習）已知〃到=（1）2]-#+皿尤>0）（。€11）,討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性.

57.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)〃元）=口1?尤_（4+l）lnx+l}x,aeR,討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性.

58.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（幼="田+爐—2x+l+（x-l）lm（a>0,且awl）求函數(shù)全（x）

的單調(diào)區(qū)間；

Y1

59.（2024高三?全國?專題練習）設(shè)函數(shù)〃耳=妥+辦2,其中aeR,討論〃尤）的單調(diào)性.

60.（2024高三?全國?專題練習）設(shè)勿>1,函數(shù)〃x）=e"-（2x+l）[x>-￡],討論在（-2,+，|的

單調(diào)性.

61.（2024?北京）已知函數(shù)/（x）=e，ln（l+x）.

（1）求曲線y=〃尤）在點（o,/（o））處的切線方程；

（2）設(shè)g（x）=r（x）,討論函數(shù)g（無）在[0,+8）上的單調(diào)性；

（3）證明:對任意的s,fw（0,+<?）,</（s+f）>/（J）+/（0.

62.(陜西省咸陽市高新一中2023-2024學年高二上學期第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學試題)設(shè)函數(shù)

/(X)=x3-3辦2+3區(qū)的圖象與直線12x+y—l=0相切于點(1,—11).

⑴求。、6的值.

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

63.(2024?甘肅天水?一模)設(shè)函數(shù)=

⑴若函數(shù)Ax)在(0，￡|上遞增，在&，+勺上遞減，求實數(shù)〃的值.

(2)討論在(L+8)上的單調(diào)性.

64.(2024?全國)已知函數(shù)/5)=尤3-龍？+辦+1.

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=/⑺過坐標原點的切線與曲線y=/⑺的公共點的坐標.

65.(2024高三上?全國?階段練習)已知函數(shù)/(x)=(尤-2)e'-￡f+ax-1(aeR).

⑴若a=2,求曲線y=〃x)在點(0,〃0))處的切線方程;

(2)討論的單調(diào)性.

66.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=2lnx+l.

(1)若/(x)<2x+c,求c的取值范圍；

(2)設(shè)a>0時，討論函數(shù)g(x)=二￡⑷的單調(diào)性.

x-a

67.(2023?重慶)設(shè)函數(shù)/(尤)=尤3++-9尤-1(。<0).若曲線)；=/(%)的斜率最小的切線與直線12彳+'=6平

行，求：

(E)。的值;

(0)函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

68.(2024?北京)設(shè)函數(shù)/(無)=疵-+公,曲線y=在點(2"(2))處的切線方程為y=(e—l)x+4,

(1)求。，6的值；

(2)求Ax)的單調(diào)區(qū)間.

69.(2024?山東)設(shè)函數(shù)“x)=ar-(a+l)ln(x+l),其中a2-L,求f(尤)的單調(diào)區(qū)間.

70.（2024?陜西）設(shè)函數(shù)/力=「——，其中。為實數(shù).

x~+ax+a

⑴若/（x）的定義域為R，求。的取值范圍;

（2）當〃尤）的定義域為R時，求/'（司的單調(diào)減區(qū)間.

2x-b

71.(2008?北京)已知函數(shù)/(x)=，求導函數(shù)/'（X）,并確定“X）的單調(diào)區(qū)間.

d)2

72.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=1：+a)ln(l+x).

⑴當a=T時，求曲線y=/（x）在點處的切線方程.

⑵若函數(shù)〃x）在（0,+。）單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

73.（2024高二下■四川綿陽■期中）已知函數(shù)〃以=；X3+：（°一1）/-依+1.

"2"

⑴若函數(shù)〃X）的單調(diào)遞減區(qū)間為-§,1,求實數(shù)。的值；

（2）若函數(shù)/（x）在（2,3）單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.

74.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（無）=%lnx+±（%?R）.若函數(shù)＞=/（尤）為增函數(shù)，求左的取值范

e

圍.

75.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（無）=e-g加-X,若單調(diào)遞增，求。的值.

76.（2024?貴州貴陽?模擬預測）實數(shù)上＞0,/（x）=ln（x+l）,g（x）=-^-.

%?rC

⑴若/（xT）三辰T恒成立，求實數(shù)上的取值范圍；

（2）討論-g（x）的單調(diào)性并寫出過程.

專題12導數(shù)的應用-函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類

彩題如工總

題型5：含參數(shù)單調(diào)性討論題型1：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定

原函數(shù)圖象

題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論

專題12導數(shù)的應用一函數(shù)的單調(diào)

性問題5題型分類

題型2：求單調(diào)區(qū)間

題型3：巳知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不

單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

彩先渡寶庫

一、單調(diào)性基礎(chǔ)知識

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)〉=/（%）在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果/'（幻>0,則y=為增函數(shù)；如果

rW<0,則y=/（x）為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若Ax）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有了'（x）N0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足廣（無）>0,

才能得出了⑺在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若fM在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有f'（x）<0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足f\x）<0,

才能得出Ax）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

二、討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負,

無需單獨討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導函數(shù)正

負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；

（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；

（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；

求二階導往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導.

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)

的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，

無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；

（5）導數(shù)圖象定區(qū)間；

（一）

利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象

原函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)〃元）單調(diào)遞增o導函數(shù)7'（X）20（導函數(shù)等于0,

只在離散點成立，其余點滿足r（無）＞0）;原函數(shù)單調(diào)遞減o導函數(shù)/'（x）W0（導函數(shù)等于0,只在離散點

成立，其余點滿足/（毛）＜0）.

題型1：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象

1-1.（天津市西青區(qū)為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數(shù)學試題）已知函數(shù)y=/（x）的圖象是下列

四個圖象之一，且其導函數(shù)y=r（x）的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（）

切

【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系及導數(shù)的幾何意義即得.

【詳解】因為y=r(x)的圖像經(jīng)過(—1,0)與(1,0)兩點，即r(—i)=o,-(1)=0,

由導數(shù)的幾何意義可知y=/(x)在x=-l與x=l處的切線的斜率為0,故AD錯誤;

由y=r(x)的圖象知，/")>0在(-M)上恒成立，故〃力在上單調(diào)遞增,

又r(x)在(-L0)上越來越大，在(0」)上越來越小，

所以/(元)在(-1,0)上增長速度越來越快，在(0,1)上增長速度越來越慢，故C錯誤，B正確.

故選：B.

1-2.(天津市瑞景中學2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題)設(shè)((力是函數(shù)〃尤)的導函數(shù)，y=f(x)

的圖象如圖所示，則>=/(力的圖象最有可能的是()

求單調(diào)區(qū)間

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

（1）求一（X）的定義域

（2）求出/1（X）.

（3）令廣（x）=0,求出其全部根，把全部的根在x軸上標出，穿針引線.

（4）在定義域內(nèi)，令r（x）＞0,解出X的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令/（x）＜0,解出X的取值

范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用"U"、

"或"連接，而應用"和"隔開.

2.導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應注意如下幾方面：

（1）在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；

（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；

（3）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類

討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用.

3.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函

數(shù)的形式及圖象特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線

最小值落在端點等.

（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.

題型2:求單調(diào)區(qū)間

2

2-1.（2024高三下,江西鷹,潭,階段練習）函數(shù)＞=±T+上7+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

X

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,+oo)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】求導，求出不等式了＞。的解集即可.

【詳解】函數(shù)的定義域為（。,+⑹.

X2+22,.21x2+x—2(x+2)(%—1)

y=------FInx=xH---i-lnx,則了=：

XX|一，一必一*?

令A;y>o0,解得…+◎.

故選：D

22（2024高二下?湖北,期中）函數(shù)〃x）=ln（4元2一1）的單調(diào)遞增區(qū)間（）

【答案】A

【分析】根據(jù)/彳吊>0,結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】由可得了<-：或

所以函數(shù)/（x）=In（4x2-1）的定義域為［---］u［g,+［.

Q1

求導可得尸（司=逮r］，當/"）>o時，x>0,由函數(shù)定義域可知，X>j,

所以函數(shù)〃x）=ln（4x2-1）的單調(diào)遞增區(qū)間是［,+，］.

故選：A.

2-3.（2024?上海靜安?二模）函數(shù)y=xlnx（）

A.嚴格增函數(shù)

B.在上是嚴格增函數(shù)，在+上是嚴格減函數(shù)

C.嚴格減函數(shù)

D.在，上是嚴格減函數(shù)，在+上是嚴格增函數(shù)

【答案】D

【分析】求導后利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)嚴格增減函數(shù)的定義即可得到選項.

【詳解】解：已知y=xlnx,x>0,則y'=lnx+x,，=lnx+l,

x

令y'=0,gplnx+l=0,解得冗=工，

e

當o<x<：時，y<o,所以在［o,；|上是嚴格減函數(shù)，

當時，y>o,所以在（：,+，）上是嚴格增函數(shù)，

故選：D.

【點睛】導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應注意如下幾方面：

(1)在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；

(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式；

(3)利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類

討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用.

題型3:已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

3-1.(2024?陜西西安?三模)若函數(shù)=f-依+lnx在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.[3,+co)B.(—8,3]C.[3,e~+l]D.[3,e?—1]

【答案】B

【分析】由導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合條件可得((x)上。在(l,e)上恒成立，由此可得在區(qū)間

X

(l,e)上恒成立，求函數(shù)8(%)=2犬+,。＜工＜6)的值域可得。的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)=依+lnx在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，

所以/(無)=2尤在區(qū)間(l,e)上恒成立，

即aV2x+工在區(qū)間(1,e)上恒成立，

X

令g(x)=2x+—(l＜x＜e),

貝—與「巫"乂＞0，

XXX

所以g(x)在(l,e)上遞增,又g⑴=3,

所以aK3.

所以。的取值范圍是(-8,3].

故選：B

3-2.(2024?山東濟寧?一模)若函數(shù)〃尤)=log〃(依-尤且在區(qū)間(0/)內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是()

A.[3,+co)B.(1,3]C.°4D.P1

【答案】A

【分析】令〃=屋力=砒-V利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間，再分和。<"1兩種情況討論，結(jié)

合復合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】令〃=8(%)=依-%3,貝I]g<x)=a-3x2,

當X>■或X<-三時,g'(%)<0，當-后時，g[x)>0.

、

小和aa

所以g(%)在g上遞減，在卜上遞增,

3

7

當。>1時，y=iog“〃為增函數(shù)，且函數(shù)“X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

〃>1

-40,解得/3,

所以

'1>1

此時g(x)在(0,1)上遞增，則g(x)>g(o)=0恒成立,

當0<°<1時，y=log"〃為減函數(shù)，且函數(shù)〃可在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

/-<0

所以V3-,無解,

0<a<l

綜上所述，。的取值范圍是[3,+8).

故選：A.

r21

3-3.(2024?寧夏銀川?三模)若函數(shù)/(%)=J-lnx在區(qū)間(〃?,〃，+§)上不單調(diào)，則實數(shù)，"的取值范圍為()

2

2

A.0<m<—B.-<m<l

33

21

C.—<m<ID.m>l

3

【答案】B

【詳解】首先求出/(x)的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間(北川+$內(nèi)，且相>0,得出關(guān)于加的

不等式組，求解即可.

【分析】函數(shù)，(x)=]-lnx的定義域為(0,+⑹,

且/\x)=x--=土^=(X+DD,

XXX

令/'(?=0,得x=l,

因為fM在區(qū)間(m,m+；)上不單調(diào)，

m>0

2

所以《1I，解得：-<m<\

3

1m<l<m+—3

故選：B.

3-4.(2024高三上?江蘇蘇州?期中)若函數(shù)〃x)=lnx+ox2_2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)“

的取值范圍是(

I

A.[-2,+oo)B.——,+ooD.(-2,+oo)

8

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進而求函數(shù)g(無)=*的最值，即