廣東省惠州市博羅縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁博羅縣2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高二階段性教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，共19小題，總分150分，檢測(cè)用時(shí)：120分鐘第I卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程直接得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由題意可得，故.故選：C.2.已知，，且，則實(shí)數(shù)t的值為（）A. B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用空間向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：B.3.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出直線的方程，代入點(diǎn)求出答案.【詳解】直線與直線垂直，設(shè)直線的方程是將代入直線中，，解得，故直線的方程為.故選：D.4.如圖所示，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：.故選：A.5.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求的值,然后求圓心坐標(biāo)，接著求圓心與點(diǎn)連線的斜率，最后求圓在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得：.即，所以，則圓的方程為.對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，所以此圓的圓心.：根據(jù)斜率公式，這里，，則.因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.6.已知在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上皆有可能【答案】A【解析】【分析】由幾何法圓心到直線的距離與半徑的大小比較可得.【詳解】由題意圓的圓心，半徑，由在圓外，得，則圓心到直線的距離，故直線與圓相交故選：A.7.已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，再結(jié)合圖形求出斜率的取值范圍即可.【詳解】解：因?yàn)镻，，所以，

因?yàn)橹本€與線段AB（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則或故直線的斜率的范圍為.故選：D.8.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系中，方程（、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線，空間直角坐標(biāo)系中，方程（、、不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點(diǎn)且一個(gè)法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求得平面的法向量與直線的方向向量，再結(jié)合空間向量的數(shù)量積求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，所以兩平面的交線的方向向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)交線在兩平面內(nèi)，所以直線的方向向量與兩平面的法向量互相垂直可求得直線的方向向量，利用線面角的向量求法，可求得線面角的正弦值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩條直線方程分別為與，則下列結(jié)論正確的是（

）A.若，則B.若，則C.若，則直線一定相交D.若，則兩條平行直線之間的距離為【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)平行關(guān)系得到方程，得到，檢驗(yàn)后A正確；B選項(xiàng)，根據(jù)平行線間距離公式求出B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出答案；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足兩直線平行，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，由選項(xiàng)A得：當(dāng)，則直線一定相交，故正確.對(duì)于D，若，則，所以平行線間的距離，故D錯(cuò)誤.故選：A10.已知圓，直線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線與圓可能相切C.直線被圓截得的弦長的最小值為4D.當(dāng)時(shí)，圓上到直線距離為2的點(diǎn)恰有三個(gè)【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，整理方程可得，再令求解即可；對(duì)B，由點(diǎn)?1,1在圓內(nèi)部判斷即可；對(duì)C，設(shè)點(diǎn)?1,1為，根據(jù)當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長最小求解即可；對(duì)D，代入，求解圓心到直線的距離判斷即可.【詳解】圓，故該圓半徑為3.對(duì)A，直線的方程整理可得，由，得即直線恒過定點(diǎn)?1,1，故A正確．對(duì)B，因?yàn)辄c(diǎn)?1,1在圓內(nèi)部，所以直線與圓不可能相切，故B不正確．對(duì)C，設(shè)點(diǎn)?1,1為，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長最?。?yàn)?，所以直線被圓截得的弦長的最小值為，故C正確．對(duì)D，圓心，半徑為3，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以圓上到直線距離為2的點(diǎn)恰有三個(gè)，故D正確．故選：ACD11.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點(diǎn)，為底面正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.直線平面C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.當(dāng)?shù)恼兄禐?時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】由三棱錐的體積公式直接求出A正確；建立如圖所示空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用兩向量的數(shù)量積不為零得到與不垂直可得B錯(cuò)誤；求出平面的法向量，利用點(diǎn)到面的距離公式可得C正確；當(dāng)?shù)恼兄禐?時(shí)，不變得到點(diǎn)的軌跡，再求其長度可得D正確；【詳解】對(duì)于A，如圖1，因，故A正確；對(duì)于B，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上圖建系，設(shè)P的坐標(biāo)為，當(dāng)，有，則，設(shè)平面的法向量，則，故．取平面一點(diǎn)A與點(diǎn)E構(gòu)成，所以點(diǎn)E到平面的距離，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镻為底面正方形的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)恼兄禐?時(shí)，不變，由圓錐性質(zhì)可知，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為高，為母線的圓錐的底面圓周，此時(shí)為底面半徑r，又因?yàn)镻在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以P的軌跡是底面圓周的；當(dāng)?shù)恼兄禐?，則為，所以P的軌跡長為，故D正確，故選：ACD．第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩條直線和相交，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為______；【答案】【解析】【分析】聯(lián)立方程組，求解得解.【詳解】由方程組，解得，即交點(diǎn)為.故答案為：.13.已知，，求在上的投影向量______（用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，在上的投影向量為，故答案為：14.已知圓，為過的圓的切線，A為上任一點(diǎn)，過A作圓的切線AP，AQ，切點(diǎn)分別是P和Q，則四邊形APNQ的面積最小值是__________．【答案】##【解析】【分析】求出直線的方程，再根據(jù)圓的切線長定理求出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系，借助點(diǎn)到直線距離求出最小值作答.【詳解】依題意，直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即，圓的圓心，半徑，因?yàn)闉閳A的切線，則，四邊形的面積：又到距離，于是，因此，所以四邊形APNQ的面積最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.直三棱柱中，，，，分別是的中點(diǎn)．（1）求的值；（2）求證：⊥平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的值；（2）利用向量法證明線線垂直，可證線面垂直.【小問1詳解】直三棱柱中，平面，又，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，∴，，，，，所以；【小問2詳解】求得，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴⊥平面．16.已知圓的圓心在軸上，并且過和兩點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線被圓截得的弦長，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：設(shè)圓心，根據(jù)可得解；法二：可求得垂直平分線，進(jìn)而可解得圓心，及圓的方程；（2）易求得圓心到直線的距離，結(jié)合弦長，利用垂徑定理可得直線方程.【小問1詳解】法一：依題意，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)和在圓上，所以，則，即，解得，所以，則圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．法二：點(diǎn)和的中點(diǎn)為0,2，且直線的斜率為，則線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，因?yàn)閳A過和兩點(diǎn)，所以圓心在線段的垂直平分線上，因?yàn)閳A心在軸上，所以圓心的坐標(biāo)為2,0．則圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】直線的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因?yàn)橄议L，所以，則，化簡得：，解得，所以直線的方程為.17.已知直線過定點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程；（2）若直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）若三角形的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．【答案】（1）或；（2）（?。?；（ⅱ）24，【解析】【分析】（1）由題意可得恒過定點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程計(jì)算即可求解；（2）（i）由題意可得，解不等式組即可；（ii）由（i）可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】將整理可得，令，可得，所以直線過定點(diǎn)，若直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為零，可得直線的方程為；若直線在兩坐標(biāo)軸上截距不為零且相等，設(shè)直線的截距式方程為，代入點(diǎn)即可得，解得；此時(shí)直線的方程為；綜上可知直線的方程為或；【小問2詳解】（?。╋@然，求得：，依題意得：，解得；（ⅱ）由（?。┑萌切蔚拿娣e為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.此時(shí)直線方程為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．（1）若直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（2）設(shè)為直線上的點(diǎn)，滿足：過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等．試求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）直線斜率不存在時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得切線方程；（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，根據(jù)截得弦長相等可求得的值；當(dāng)斜率為時(shí)，易知不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，假設(shè)直線方程，根據(jù)垂徑定理表示出直線被圓截得的弦長，根據(jù)有無數(shù)個(gè)解可確定的取值.【小問1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)直線與圓顯然相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程：，即，圓心到直線的距離，解得：，直線方程為：，即；綜上所述：直線方程為或.【小問2詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí)，則方程為：，方程為：；則被圓截得的弦長為：；被圓截得的弦長為，解得：或；或；②當(dāng)過的直線斜率為時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)與圓相離，不合題意；③當(dāng)過的直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，則，即，，圓心到直線的距離；圓心到直線的距離；直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，，即，，又，，，，當(dāng)時(shí)，整理可得：，滿足題意的直線有無數(shù)對(duì)，，解得：，即；當(dāng)時(shí)，整理可得：，滿足題意直線有無數(shù)對(duì)，，方程組無解；綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為.19.如圖①所示，矩形中，，，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，將沿AM翻折到，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐，N為PB中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線BC與平面所成角的大??；（3）設(shè)的大小為θ，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，借助三角形中位線性質(zhì)，結(jié)合平行公理，利用線面平行的判定推理即得.（2）借助面面垂直的性質(zhì)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求出大小.（3）連接DG，過點(diǎn)D作平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及法向量，列出方程，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，由N為PB中點(diǎn)，得，依題意，，則，于是四邊形是平行四邊形，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，過作，則平面，又平面，于是，在矩形中，，，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線BC與平面所成的角為，則，所以直線BC與平面所成角的大小為.【小問3詳解】連接，由，得，而，則為的平面角，即，過點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)