高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：排列組合與概率必刷小題100題

專題21排列組合與概率必刷小題100題

任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）「30題

一、單選題

1.要安排4名學(xué)生到3個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不

同的安排方法共有（）

A.7種B.12種C.36種D.72種

【答案】C

【分析】

先將4名學(xué)生分為3組，再將3組學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)村，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】

先把4名學(xué)生分成三組，三組人數(shù)分別為2、1、1,再分配給3個(gè)鄉(xiāng)村，故方法數(shù)為盤耳=36.

故選：C.

2.在邊長為2的正六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)到該正六邊形中心的距離不超過1的概率為（）

.6/NA/3?也兀n百

A.------D.------L.---------D.-----

18182424

【答案】A

【分析】

先求出正六邊形的面積，再求出到正六邊形中心距離不超過1的點(diǎn)構(gòu)成的圓的面積，利用面積比即可求出

結(jié)果.

【詳解】

正六邊形的邊長為2,所以其面積為E=6X；X22=6G

當(dāng)正六邊形內(nèi)的點(diǎn)落在以正六邊形的中心為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)時(shí)，該點(diǎn)到正六邊形的中心的距

離不大于1,其面積為S2=;rxl2=%

所以正六邊形內(nèi)的點(diǎn)到該正六達(dá)形中心的距離不起過1的概率2="=二=冬.

01/73

故選：A

3.若某群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為0.4,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則只用

現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55

【答案】C

【分析】

利用對立事件的概率公式求解.

【詳解】

設(shè)事件4只用現(xiàn)金支付；事件用既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付；事件C：只用非現(xiàn)金支付，

則尸（4）+尸（8）+尸（。）=1,又由條件有尸（C）=0.4,尸⑻=0.15,所以

P（^）=1-P（C）-P（S）=1-0.4-0.15=0.45.

故選：C.

4.現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個(gè)底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四

色問題”：要求相鄰兩個(gè)面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（）

A.18種B.36種C.48種D.72種

【答案】D

【分析】

分別求解選用4種顏色和3種顏色，不同的染色方案，綜合即可得答案.

【詳解】

若選擇4種顏色，則前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色，其他3個(gè)面，用3種顏色，

所以有2/：=48種；

若選擇3種顏色，則前后側(cè)面用1種顏色，左右側(cè)面用1種顏色，底面不同色，

所以有用=24種，

綜上，不同的染色方案有24+48=72種.

02/73

故選：D

5.奧林匹克標(biāo)志由五個(gè)互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團(tuán)結(jié).五個(gè)奧林匹克環(huán)總共有8個(gè)交點(diǎn)，從中

任取3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上的概率為（）

Q29

B.91

c.3D.

1477

【答案】A

【分析】

求出從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)的所有情況，求出滿足條件的情況即可求出.

【詳解】

從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C；=56種情況，這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上有3xC：=12種情況,

則所求的概率尸=首=土

5614

故選：A.

6.2021年7月20日，極端強(qiáng)降雨席卷河南，部分地區(qū)發(fā)生嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，河北在第一時(shí)間調(diào)集4支抗洪

搶險(xiǎn)專業(yè)隊(duì)？96輛執(zhí)勤車？31艘舟艇及4000余件救災(zāi)器材，于7月21日4時(shí)23分出發(fā)支援河南抗洪搶險(xiǎn).

若這4支抗洪搶險(xiǎn)專業(yè)隊(duì)分別記為A,B,C,D,從這4支專業(yè)隊(duì)中隨機(jī)選取2支專業(yè)隊(duì)分別到離出發(fā)

地比較近的甲？乙2個(gè)發(fā)生洪澇的災(zāi)區(qū)，則A去甲災(zāi)區(qū)B不去乙災(zāi)區(qū)的概率為（）

A.-B.-C.?D.-

6323

【答案】A

【分析】

先求出從這4支專業(yè)隊(duì)種隨機(jī)選取2支專業(yè)隊(duì)，分別去甲乙災(zāi)區(qū)的結(jié)果總數(shù)，再求出A去甲災(zāi)區(qū)3不去乙

災(zāi)區(qū)的結(jié)果數(shù)，再求概率.

【詳解】

03/73

從這4支專業(yè)隊(duì)種隨機(jī)選取2支專業(yè)隊(duì)，分別去甲乙災(zāi)區(qū)結(jié)果有12種，

21

A去甲災(zāi)區(qū)3不去乙災(zāi)區(qū)的結(jié)果有2種，所以所求概率尸===：,

126

故選：A.

7.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從編號為1、2、3的3張卡片中選擇1張，則他們選擇的卡片上的數(shù)字

之和能被3整除的概率為()

A.-B.-C.-D.-

3993

【答案】A

【分析】

利用古典概型的概率公式即求.

【詳解】

由題知甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇的卡片結(jié)果有：

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9種；

其中他們選擇的卡片上的數(shù)字之和能被3整除的有：(1,2),(2,1),(3,3),共3種.

故他們選擇的卡片上的數(shù)字之和能被3整除的概率為;.

故選：A

8.某團(tuán)支部隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9期“青年大學(xué)習(xí)”的成績(單位：分)，得到如圖所示的成績莖

葉圖，關(guān)于這9期的成績，則下列說法正確的是()

甲乙

10

4322

322125

122

202

04/73

A.甲成績的中位數(shù)為32

B.乙成績的極差為40

C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等

D.甲成績的平均數(shù)高于乙成績的平均數(shù)

【答案】A

【分析】

根據(jù)莖葉圖求出甲成績的中位數(shù)，乙成績的極差，眾數(shù)，平均數(shù)即可判斷.

【詳解】

對A,根據(jù)莖葉圖可得甲成績的中位數(shù)為32,故A正確；

對B,乙同學(xué)的成績最高為52,最低為10,所以極差為52-10=42,故B錯(cuò)誤；

對C,由莖葉圖可知甲同學(xué)成績的眾數(shù)為32,乙同學(xué)的成績的眾數(shù)為42,不相等，故C錯(cuò)誤;

11+22+23+24+32+32+33+41+52

對D,因?yàn)榧壮煽兊钠骄鶖?shù)為焉==30,乙成績的平均數(shù)為

9

10+22+31+32+35+42+42+50+52「

--------------------------------------------------?35,x甲<x乙，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

9.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到/、B、C三個(gè)班級中，要求每個(gè)班級至少分到一人，則甲被分到/

班級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6334

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，先將四人分成三組，再分別分給三個(gè)班級即可求得總安排方法；若甲被安排到A班，則分甲單

獨(dú)一人安排到A班和甲與另外一人一起安排到A班兩種情況討論，即可確定甲被安排到A班的所有情況，

即可求解.

【詳解】

將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到4優(yōu)C三個(gè)班級中，要求每個(gè)班級至少分到一人,

05/73

則將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分成三組，人數(shù)分別為1,1,2；則共有美1種方法，分配給4叢C三個(gè)班

級的所有方法有4J,居=，x3x2=36種；

超2

甲被分到A班，有兩種情況：

甲單獨(dú)一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級分別為1人和2人，共有C；石=6種；

二，甲和另外一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級各1人，共有C；/；=6種；

綜上可知，甲被分到A班的概率為等=上

363

故選：B.

10.奧運(yùn)會跳水比賽中共有7名評委給出某選手原始評分，在評定該選手的成績時(shí)，去掉其中一個(gè)最高分

和一個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評分，則與7個(gè)原始評分（不全相同）相比，一定會變小的數(shù)字特征是（）

A.眾數(shù)B.方差C.中位數(shù)D.平均數(shù)

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、眾數(shù)的定義，分析可得答案.

【詳解】

對于A：眾數(shù)可能不變，如8,7,7,7,4,4,1,故A錯(cuò)誤;

對于B：方差體現(xiàn)數(shù)據(jù)的偏離程度，因?yàn)閿?shù)據(jù)不完全相同，當(dāng)去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，一定使得數(shù)

據(jù)偏離程度變小，即方差變小，故B正確；

對于C：7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第4個(gè)數(shù)為中位數(shù)，當(dāng)首、末兩端的數(shù)字去掉，中間的數(shù)字依然不變，

故5個(gè)有效評分與7個(gè)原始評分相比，不變的中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于C：平均數(shù)可能變大、變小或不變，故D錯(cuò)誤；

故選：B

11.有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有（）

A.66種B.60種C.36種D.24種

06/73

【答案】B

【分析】

首先利用全排列并結(jié)合已知條件即可求解.

【詳解】

首先對五名學(xué)生全排列，則共有/；=120種情況，

又因?yàn)橹挥屑自谝业淖筮吇蛴疫厓煞N情況，

所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有冬=60種情況.

2

故選：B

12.隨機(jī)變量J滿足分布列如下：

專012

P2a-baa+b

則隨著b的增大（）

A.EC）增大，越來越大

B.磯9增大，先增大后減小

C.￡4）減小，先減小后增大

D.￡4）增大，先減小后增大

【答案】B

【分析】

結(jié)合分布列的性質(zhì)求出。的值以及6的范圍，然后根據(jù)期望與方差的概念表示出期望與方差，結(jié)合函數(shù)的

性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)?a—b+。+。+6=1,所以。=—,

07/73

O<--Z><1

2

又因?yàn)榻獾?”<g，

O<-+Z?<1

4

3

所以E4)=a+2a+2b=；+26,隨著。的增大，E(4)增大;

3,11,15,1,11

D^)=(-+2b)2(--b)+(2b--)2x-+(--2b)2(-+b)=-4b2+b+-,

因?yàn)樗浴；?先增大后減小.

故選：B.

13.永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門

安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個(gè)節(jié)目，其

中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為()

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】

利用插空法求解即可.

【詳解】

第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個(gè)節(jié)目排列，有/：=24種排法；

第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個(gè)節(jié)目的間隙或者兩端，有4；=20種插法；

所以共有24x20=480種不同的安排方法.

故選：A

14.五行學(xué)說是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金?木?水?

火?土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種，則這兩種元素

恰是相生關(guān)系的概率是()

08/73

【答案】C

【分析】

先計(jì)算從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計(jì)算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基

本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解

【詳解】

由題意，從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木,

水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個(gè)基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)

系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個(gè)基本事件，所以所求概率尸=得=；.

故選：C

15.山竹，原產(chǎn)地在印度尼西亞東北部島嶼的一組群島馬魯古，具有清熱瀉火?生津止渴的功效，被譽(yù)為

夏季的“水果之王”，受到廣大市民的喜愛.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出某水果經(jīng)銷商近5年的山竹銷售情況，如下表所示.

年份20162017201820192020

年份代碼X01234

年銷量了/萬斤2.23.85.56.57.0

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得了關(guān)于x的線性回歸方程為9=L2x+f,若2021年的年份代碼為5,則

可以預(yù)測2021年該經(jīng)銷商的山竹銷量大約為（）

A.8.6萬斤B.9.2萬斤C.10萬斤D.15.5萬斤

【答案】A

【分析】

09/73

求出樣本中心點(diǎn)為G，3）,代入回歸直線可得「的值，再將x=5代入即可求解.

【詳解】

—0+1+2+3+4—2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

x=-----------=2,y=---------------------=5,

55

所以樣本中心點(diǎn)為（2,5）,

將（2,5）代入j）=1.2x+/可得：5=1.2x2+f,可得f=2.6,

所以了關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.2x+2.6,

當(dāng)x=5時(shí)，?=1.2x5+2.6=8.6萬元，

故選：A.

16.《醫(yī)院分級管理辦法》將醫(yī)院按其功能?任務(wù)不同劃分為三個(gè)等級：一級醫(yī)院?二級醫(yī)院?三級醫(yī)院.某

地有9個(gè)醫(yī)院，其中3個(gè)一級醫(yī)院，4個(gè)二級醫(yī)院，2個(gè)三級醫(yī)院，現(xiàn)在要從中抽出4個(gè)醫(yī)院進(jìn)行藥品抽

檢，則抽出的醫(yī)院中至少有2個(gè)一級醫(yī)院的抽法有（）

A.81種B.80種C.51種D.41種

【答案】C

【分析】

分恰有2個(gè)一級醫(yī)院與恰有3個(gè)一級醫(yī)院兩種情況討論，按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；

【詳解】

解：恰有2個(gè)一級醫(yī)院，有C；C；=45種抽法；恰有3個(gè)一級醫(yī)院，有C；C：=6種抽法.所以抽出的醫(yī)院中

至少有2個(gè)一級醫(yī)院的抽法有45+6=51（種）.

故選：C

17.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個(gè)學(xué)校進(jìn)行支教活動(dòng)，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中甲校

至少要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法共有（）種

A.50B.60C.80D.100

【答案】C

【分析】

10/73

對甲校分配的大學(xué)生人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用排列、組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】

若甲校分2名大學(xué)生，此時(shí)有=60種分配方法；

若甲校分3名大學(xué)生，此時(shí)有C；用=20種分配方法.

綜上所述，共有80種分配方法.

故選：C.

18.接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法.我國自2021年1月9日起實(shí)施全民免費(fèi)接種新冠疫苗工作,

截止到2021年5月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗?新冠病毒滅活疫苗?重組新型冠病毒

疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種.若甲？乙?丙?丁4人去接種新冠疫苗，則恰有兩人接種同

一種疫苗的概率為（）

4928

A.-B.—C.-D.—

91639

【答案】A

【分析】

首先利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出基本事件總數(shù)，再由排列、組合求出恰有兩人接種同一種疫苗的哇基本事

件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

由題意，每位接種者可等可能地從3種任選一種接種，

由分步乘法計(jì)算原理知，共有34=81不同的結(jié)果，

恰有兩人接種同一種疫苗，可先從4人中任選兩人并成一組，有種結(jié)果，

再與另兩人一起按三種疫苗的順序排成一排，

有可種排法，一種排法對應(yīng)一種接種方法，

故恰有兩人接種同一種疫苗共有C；4=36種不同結(jié)果，

由古典概型概率計(jì)算公式得：尸=3三6=?4.

o19

故選：A

11/73

19.袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用/表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到

白球”記為反否則記為C,那么事件/與8,/與C間的關(guān)系是（）

A.A與8,/與C均相互獨(dú)立

B.4與8相互獨(dú)立，/與C互斥

C.A與3,/與C均互斥

D./與8互斥，/與。相互獨(dú)立

【答案】A

【分析】

根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

有放回地摸球，第一次摸球與第二次摸球之間沒有影響，即/與昆/與C均相互獨(dú)立

故選：A

20.從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，則不同的選取方案數(shù)為（）

A.10B.20C.540D.1080

【答案】A

【分析】

問題等價(jià)于6個(gè)相同的小球分成3組，每組至少1個(gè)，利用“隔板法”可得答案.

【詳解】

從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，

即6個(gè)志愿者名額分到3個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少1個(gè)，

等價(jià)于6個(gè)相同的小球分成3組，每組至少1個(gè)，

將6個(gè)小球排成一排，除去兩端共有5個(gè)空，

從中任取2個(gè)插入擋板，共有C；=10（種）方法，

即從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，不同的選取方案數(shù)為10.

12/73

故選：A

第口卷（非選擇題）

二、填空題

21.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分

為隨機(jī)變量f，貝I?（￡W6）=.

【答案】蔡13

【分析】

先求出隨機(jī)變量的可能取值，再分別求出概率即可.

【詳解】

解：取出的4只紅球個(gè)數(shù)可能為：4、3、2、1個(gè)，黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為：0、1、2、3個(gè)

所以《46時(shí)，/4,6

C4coc3cl13

所以P（"6）=尸（片4）+P（片6）=興+舍矣

13

故答案為：—.

22.一個(gè)袋子中裝有六個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中一個(gè)編號為1,兩個(gè)編號為2,三個(gè)編號為3.現(xiàn)

從中任取一球，記下編號后放回，再任取一球，則兩次取出的球的編號之和等于4的概率是.

【答案】得

【分析】

根據(jù)題意列出基本事件，然后根據(jù)古典概型的概率公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

記編號為1的球?yàn)?。，編號?的球?yàn)槌餭,編號為3的球?yàn)閯t基本事件：（a,a）,

（e⑷,（e,e）,（ej）,（九a）,（7,6）,（九c）,（/,d）,（九e）,（/J）共36種,編號之和為4的有:

13/73

共10種,所求概率為整.

3618

故答案為：—.

18

23.某醫(yī)療隊(duì)有6名醫(yī)生，其中只會外科的醫(yī)生1名，只會內(nèi)科的醫(yī)生3名，既會外科又會內(nèi)科的醫(yī)生2

名.現(xiàn)在要從醫(yī)療隊(duì)中抽取3名醫(yī)生支援3個(gè)不同的村莊，每個(gè)村莊1人，要求3名醫(yī)生中至少有一名會

內(nèi)科，至少有一名會外科，則共有種派遣方法.

【答案】114

【分析】

根據(jù)醫(yī)生的情況，分從只會外科的人中選1人和從只會外科的人中選0人兩類求解.

【詳解】

由題知，有2名醫(yī)生既會外科，也會內(nèi)科，只會外科的1名，5名會內(nèi)科，

以選出只會外科的人數(shù)進(jìn)行分類：

從只會外科的人中選1人：CjAl=60,

從只會外科的人中選。人：（C；-C；）N；=54,

所以共114種.

故答案為：114

24.某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品.從這些產(chǎn)品中隨機(jī)抽

取一件產(chǎn)品測試，已知抽到一等品或二等品的概率為0.86,抽到二等品或三等品的概率為0.35,則抽到

二等品的概率為.

【答案】621/益21

【分析】

設(shè)抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為48,C,利用互斥事件加法列出方程組即可求解.

【詳解】

設(shè)抽到一等品，二等品，三等品分別為事件4B,C

14/73

尸(N)+P(3)=0.86

則《尸(8)+尸(C)=0.35,則P(8)=0.21

尸(4)+尸(8)+尸(C)=l

故答案為：0.21

25.兩名學(xué)生一起去一家單位應(yīng)聘，面試前單位負(fù)責(zé)人對他們說：“我們要從面試的人中招聘3人，你們

倆同時(shí)被招聘進(jìn)來的概率是若每個(gè)參加面試的人被招聘的可能性相同，則根據(jù)這位負(fù)責(zé)人的話，可

以推斷出參加面試的人數(shù)為.

【答案】21

【分析】

利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

設(shè)參加面試的人數(shù)為〃，依題意有送產(chǎn)=()八=一(一^=—,

即rr-M-420=(/?+20)(M-21)=0,

解得〃=21或〃-20(舍去).

故答案為：21.

26?一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：＜(尤)=x,力=工(x)=/,

￡(x)=siiu,力(x)=cosx,九卜)=2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一張

寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為九則JV3的概率為.

19

【答案】—/0.95

20

【分析】

由題可知J的取值范圍是{1,2,3,4},分別求概率，即求.

【詳解】

易判斷力(x)=Y,%(x)=cosx,_4(x)=2為偶函數(shù)，所以寫有偶函數(shù)的卡片有3張，J的取值范圍是

{1,2,3,4}.

15/73

C1iclCl3c；c；c；3

方法一^=l)=-=p尸("2)=忘=而，尸(1)=

CCc；20

i33ig

所以尸(jV3)=Pq=l)+P(J=2)+尸(4=3)=萬+歷+砧

c；c；c；c；19

方法二產(chǎn)(JV3)=l-尸0=4)=1-

Cc?c；20

19

故答案為：

27.為了強(qiáng)化勞動(dòng)觀念，弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，某班級決定利用班會課時(shí)間進(jìn)行勞動(dòng)教育.現(xiàn)要購買鐵鍬、鋤頭、

鐮刀三種勞動(dòng)工具共9把，每種工具至少購買1把，則不同的選購方法共有種.（用數(shù)字作答）.

【答案】28

【分析】

用插隔板方法求解.

【詳解】

問題相當(dāng)于9個(gè)木棍排成一排，在中間8個(gè)空位中選2個(gè)插入隔板，方法數(shù)為C；=28.

故答案為：28.

28.中國體育彩票堅(jiān)持“公益體彩樂善人生”公益理念，為支持中國體育事業(yè)發(fā)展做出了貢獻(xiàn)，其中“大

樂透”是群眾特別喜歡購買的一種體育彩票，其規(guī)則是從前區(qū)1到35的號碼中選5個(gè)，后區(qū)1到12的號

碼中選2個(gè)組成一注彩票.其中復(fù)式玩法允許從前區(qū)選5個(gè)以上，后區(qū)選2個(gè)以上號碼，那么從前區(qū)1到

35的號碼中選7個(gè)號碼，從后區(qū)1到12的號碼中選3個(gè)，組成的彩票注數(shù)為.

【答案】63

【分析】

由題意分兩步，第一步從前區(qū)所選7個(gè)號碼中任選5個(gè)號碼，第二步從后區(qū)所選3個(gè)號碼中任選2個(gè)號碼,

再由由分步計(jì)數(shù)乘法原理求解.

【詳解】

第一步從前區(qū)所選7個(gè)號碼中任選5個(gè)號碼有C；=21（種）情況，

第二步從后區(qū)所選3個(gè)號碼中任選2個(gè)號碼有C；=3（種）情況，

16/73

由分步計(jì)數(shù)乘法原理，組成的彩票注數(shù)為21x3=63（注）.

故答案為：63

29.如圖，用五種不同的顏色涂在圖中不同的區(qū)域內(nèi)，要求每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，且相鄰（有公共邊）

區(qū)域涂的顏色不同，則不同的涂色方案一共有種.用數(shù)字作答

【答案】180

【分析】

將圖形中四個(gè)板塊分別記為按照8、。不同色和3、。同色，分兩類計(jì)數(shù)再相加，可得結(jié)果.

【詳解】

將圖形中四個(gè)板塊分別記為4瓦C,D,如圖：

當(dāng)8、。不同色時(shí)，有5x4x3x2=120種涂色方案；

當(dāng)B、。同色時(shí)，有5x4x3=60種涂色方案，

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有120+60=180種涂色方案.

故答案為：180.

30.某科研項(xiàng)目包括45C,。四個(gè)課題，需要分配給甲、乙、丙三個(gè)科研小組進(jìn)行研究，每個(gè)課題分配給

一個(gè)小組，每個(gè)小組至少分配一個(gè)課題，且甲、乙小組能研究全部四個(gè)課題，丙小組只能研究兩個(gè)課

題，則不同的分配方法的種數(shù)為.

【答案】14

17/73

【分析】

根據(jù)“丙小組只能研究C,。兩個(gè)課題”可知從丙小組的情況開始分類討論并計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)科研小組中丙小組只能研究C,。兩個(gè)課題，所以不妨從丙開始討論.

若丙小組研究C課題，①甲研究兩個(gè)，乙研究一個(gè)，共C；xC；=3種；②甲研究一個(gè)，乙研究兩個(gè)，共

C；xC；=3種；

若丙小組研究。課題，①甲研究兩個(gè)，乙研究一個(gè)，共C；xC：=3種；②甲研究一個(gè)，乙研究兩個(gè)，共

C：xC；=3種；

若丙小組研究C,。課題，則甲和乙分別研究一個(gè)，共2種.

綜上，不同的分配方法的種數(shù)為3+3+3+3+2=14種.

故答案為：14

任務(wù)二：中立模式（中檔）1-40題

一、單選題

1.某學(xué)校對音樂、體育、美術(shù)、書法特長生進(jìn)行專項(xiàng)測試.現(xiàn)安排5名學(xué)生志愿者到現(xiàn)場協(xié)助，若每名志

愿者參與一個(gè)組的管理工作，每組至少有1人協(xié)助工作，則不同的安排方式共有（）

A.20種B.24種C.120種D.240種

【答案】D

【分析】

把5名志愿者分成4組，然后全排即可.

【詳解】

把5名志愿者分成4組，共有德=10種分組方法，

把分好的四組進(jìn)行全排，共有團(tuán)=24種排列方法，

所以不同的安排方式共有=24x10=240種.

故選：D.

18/73

2.2021年國慶節(jié)期間，小李報(bào)名參加市電視臺舉辦的“愛我祖國”有獎(jiǎng)競答活動(dòng)，活動(dòng)分兩輪回答問題,

第一輪從5個(gè)題目中隨機(jī)選取2個(gè)題目，這2個(gè)題目都回答正確，本輪得獎(jiǎng)金500元，僅有1個(gè)回答正確，

本輪得獎(jiǎng)金200元，兩個(gè)回答都不正確，沒有獎(jiǎng)金且被淘汰，有資格進(jìn)入第2輪回答問題者，最多回答兩

個(gè)問題，先從5個(gè)題目中隨機(jī)選取1個(gè)題目回答，若回答錯(cuò)誤本輪獎(jiǎng)金為零且被淘汰，若回答正確，本題回

答得獎(jiǎng)金2000元，然后再從剩余4個(gè)題目中隨機(jī)選1個(gè)，回答正確，本題得獎(jiǎng)金3000元，回答錯(cuò)誤，本題

2

回答沒有獎(jiǎng)金.已知小李第一輪5個(gè)題目其中3個(gè)能回答正確，第二輪每個(gè)題目回答正確的概率均為不(每

輪選題相互獨(dú)立)，則小李獲得2500元的概率為()

.54

A.---D

625-卷

【答案】B

【詳解】

小李獲得250。元獎(jiǎng)金，則第一輪2個(gè)題目回答都正確，第二輪第1個(gè)題目回答正確，第2個(gè)題目回答錯(cuò)誤,

p=g2.2=2

所以所求概率以55125,

故選：B.

3.已知隨機(jī)變量X的分布列如下:

X123

Pab2ba

則。(3X-1)的最大值為()

A.—B.3

3

C.6D.5

【答案】C

【分析】

根據(jù)概率和為1得到6="i再計(jì)算E(X)、Q-2a,得至"(X)=-4(a-17+：7,Z)(3X-1)=9Z)(X),計(jì)算最值得

到答案.

【詳解】

19/73

D(3X-1)=9D(X),只需求。(X)的最大值即可，根據(jù)題意：a+b+2b-a=\,6=；,

](2、8

E(X)=tz+2x—+3x1——tzl=——2a,

c21122219

所以D(X)=(--2a)~xa+(y-2a)*Xy+(—+2a)2x(--a)=-4a*+—=-4(a--)*+§,

當(dāng)a1時(shí)，其最大值為g2,故。(3X-1)的最大值為：2x9=6.

故選：C.

4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每

一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總

數(shù)為()

A.180B.240C.420D.480

【答案】C

【分析】

分兩步，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用乘法原理可求解.

【詳解】

分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解，由題設(shè),

四棱錐的頂點(diǎn)SA,6所染的顏色互不相同，它們共有5x4x3=60種染色方法；

當(dāng)S,48染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3,若C染2,則?？扇?或4或5,有3種染法；若。染

4,則。可染3或5,有2種染法；若C染5,則〃可染3或4,有2種染法，即當(dāng)S,A,8染好時(shí)，?。還

有7種染法.

故不同的染色方法有60x7=420種.

20/73

s

5.7個(gè)人站成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（）

A.400種B.720種C.960種D.1200種

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合捆綁法分別計(jì)算甲、乙要求相鄰的排法和甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法，再相減

即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，可知甲、乙要求相鄰的排法有用x2=1440種，

而甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法有N；X2X2=480種，

故甲、乙要求相鄰，丙、丁分開的排法有1440-480=960種.

故選：C.

6.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍(lán)色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不

能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（）

A.484B.472

C.252D.232

【答案】B

【分析】

用間接法分析.先求出“從16張卡片中任取3張的所有取法數(shù)”，再分析“取出的3張為同一種顏色”和

“取出的3張有2張綠色卡片”的取法數(shù)，從而可求出答案.

【詳解】

21/73

根據(jù)題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有a種取法，

如果取出的3張為同一種顏色，則有4C；種情況,

如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，

故所求的取法共有或-4C：-CX=472種.

故選：B.

7.現(xiàn)將8張連號的門票按需求分配給5個(gè)家庭，甲家庭需要3張連號的門票，乙家庭需要2張連號的門票,

剩余的3張隨機(jī)分給剩余的3個(gè)家庭，則這8張門票不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.71B.96C.108D.120

【答案】D

【分析】

對甲家庭所分配的門票號碼進(jìn)行分類討論，確定乙家庭所分配的門票號碼,結(jié)合分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)

原理可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)8張連號的門票號碼分別為1、2、3、4、5、6、7、8,

若甲家庭所分配的門票號碼為123,則乙家庭所分配的門票號碼可以是45、56、67、78,共4種，此時(shí)

共有4H=24種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為234,則乙家庭所分配的門票號碼可以是56、67、78,共3種,此時(shí)共有

3a=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為345，則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、67、78,共3種,此時(shí)共有

3團(tuán)=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為456,則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、23、78,共3種,此時(shí)共有

3/；=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為567,則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、23、34,共3種,此時(shí)共有

3/；=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為678,則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、23、34、45,共4種,此時(shí)

共有4刃=24種分配方法.

22/73

綜上所述，不同的分配方案種數(shù)為24x2+18x4=120種.

故選：D.

24

8.甲、乙兩人對同一目標(biāo)各射擊一次，甲命中目標(biāo)的概率為；，乙命中目標(biāo)的概率為-，設(shè)命中目標(biāo)的

35

人數(shù)為X,則。（X）等于（）

86n259

--------D.--------

225675

「22n15

C.—D.—

1522

【答案】A

【分析】

分析出X的取值，計(jì)算出X在不同取值下的概率，可求得￡（X）的值，進(jìn)而可求得。（X）的值.

【詳解】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2,

則尸（X=0）=；xg=\,尸（X=l）=：xg+；xg=g,P（^=2）=|x|=^,

19Q

所以,E(X)=0x—+lx—+2x—=——

'/1551515

所以,Z)(X)=

故選：A.

9.一個(gè)盒中裝有大小相同的1個(gè)黑球與2個(gè)白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回

盒中，直到把白球全部取出，則在此過程中恰有1次取到黑球的概率為（）

【答案】C

【分析】

由題意得：可分成兩種情況，即當(dāng)三次取球的順序?yàn)楹诎装?白黑白，分別計(jì)算概率再相加，即可得到答

23/73

案；

【詳解】

由題意得：可分成兩種情況：

1211

（1）當(dāng)三次取球的順序?yàn)椋汉诎装?，其概率?/p>

2111

（2）當(dāng)三次取球的順序?yàn)椋喊缀诎?，其概率為鳥=7X7X7=：；

3226

??.在此過程中恰有1次取到黑球的概率為g+2=[,

9618

故選:C

10.某學(xué)校社會實(shí)踐小組共有5名成員，該小組計(jì)劃前往該地區(qū)三個(gè)紅色教育基地進(jìn)行“學(xué)黨史，頌黨恩,

跟黨走”的主題宣講志愿服務(wù).若每名成員只去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少有一名成員前往，且甲，乙兩名

成員前往同一基地，則不同的分配方案共（）有

A.18種B.36種

C.72種D.144種

【答案】B

【分析】

先把5名成員分成3組，三組人數(shù)分別為3,1,1和2,2,1,然后再進(jìn)行全排.

【詳解】

考慮甲乙特殊，若三組人數(shù)為3,1,1,

則甲乙還需一名成員，故不同的分配方案有C；/；=18；

若三組人數(shù)為2,2,1,則甲乙為一組，不同的分配方案有C；/；=18,

所以共計(jì)36種.

故選：B.

11.《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國古代14種算法，其