高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：排列組合與概率必刷小題100題

專題21排列組合與概率必刷小題100題

任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）「30題

一、單選題

1.要安排4名學(xué)生到3個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不

同的安排方法共有（）

A.7種B.12種C.36種D.72種

【答案】C

【分析】

先將4名學(xué)生分為3組，再將3組學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)村，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】

先把4名學(xué)生分成三組，三組人數(shù)分別為2、1、1,再分配給3個鄉(xiāng)村，故方法數(shù)為盤耳=36.

故選：C.

2.在邊長為2的正六邊形內(nèi)任取一點，則這個點到該正六邊形中心的距離不超過1的概率為（）

.6/NA/3?也兀n百

A.------D.------L.---------D.-----

18182424

【答案】A

【分析】

先求出正六邊形的面積，再求出到正六邊形中心距離不超過1的點構(gòu)成的圓的面積，利用面積比即可求出

結(jié)果.

【詳解】

正六邊形的邊長為2,所以其面積為E=6X；X22=6G

當(dāng)正六邊形內(nèi)的點落在以正六邊形的中心為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)時，該點到正六邊形的中心的距

離不大于1,其面積為S2=;rxl2=%

所以正六邊形內(nèi)的點到該正六達形中心的距離不起過1的概率2="=二=冬.

01/73

故選：A

3.若某群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為0.4,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則只用

現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55

【答案】C

【分析】

利用對立事件的概率公式求解.

【詳解】

設(shè)事件4只用現(xiàn)金支付；事件用既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付；事件C：只用非現(xiàn)金支付，

則尸（4）+尸（8）+尸（。）=1,又由條件有尸（C）=0.4,尸⑻=0.15,所以

P（^）=1-P（C）-P（S）=1-0.4-0.15=0.45.

故選：C.

4.現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四

色問題”：要求相鄰兩個面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（）

A.18種B.36種C.48種D.72種

【答案】D

【分析】

分別求解選用4種顏色和3種顏色，不同的染色方案，綜合即可得答案.

【詳解】

若選擇4種顏色，則前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色，其他3個面，用3種顏色，

所以有2/：=48種；

若選擇3種顏色，則前后側(cè)面用1種顏色，左右側(cè)面用1種顏色，底面不同色，

所以有用=24種，

綜上，不同的染色方案有24+48=72種.

02/73

故選：D

5.奧林匹克標(biāo)志由五個互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團結(jié).五個奧林匹克環(huán)總共有8個交點，從中

任取3個點，則這3個點恰好位于同一個奧林匹克環(huán)上的概率為（）

Q29

B.91

c.3D.

1477

【答案】A

【分析】

求出從8個點中任取3個點的所有情況，求出滿足條件的情況即可求出.

【詳解】

從8個點中任取3個點，共有C；=56種情況，這3個點恰好位于同一個奧林匹克環(huán)上有3xC：=12種情況,

則所求的概率尸=首=土

5614

故選：A.

6.2021年7月20日，極端強降雨席卷河南，部分地區(qū)發(fā)生嚴重洪澇災(zāi)害，河北在第一時間調(diào)集4支抗洪

搶險專業(yè)隊？96輛執(zhí)勤車？31艘舟艇及4000余件救災(zāi)器材，于7月21日4時23分出發(fā)支援河南抗洪搶險.

若這4支抗洪搶險專業(yè)隊分別記為A,B,C,D,從這4支專業(yè)隊中隨機選取2支專業(yè)隊分別到離出發(fā)

地比較近的甲？乙2個發(fā)生洪澇的災(zāi)區(qū)，則A去甲災(zāi)區(qū)B不去乙災(zāi)區(qū)的概率為（）

A.-B.-C.?D.-

6323

【答案】A

【分析】

先求出從這4支專業(yè)隊種隨機選取2支專業(yè)隊，分別去甲乙災(zāi)區(qū)的結(jié)果總數(shù)，再求出A去甲災(zāi)區(qū)3不去乙

災(zāi)區(qū)的結(jié)果數(shù)，再求概率.

【詳解】

03/73

從這4支專業(yè)隊種隨機選取2支專業(yè)隊，分別去甲乙災(zāi)區(qū)結(jié)果有12種，

21

A去甲災(zāi)區(qū)3不去乙災(zāi)區(qū)的結(jié)果有2種，所以所求概率尸===：,

126

故選：A.

7.甲、乙兩名運動員各自等可能地從編號為1、2、3的3張卡片中選擇1張，則他們選擇的卡片上的數(shù)字

之和能被3整除的概率為()

A.-B.-C.-D.-

3993

【答案】A

【分析】

利用古典概型的概率公式即求.

【詳解】

由題知甲、乙兩名運動員選擇的卡片結(jié)果有：

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9種；

其中他們選擇的卡片上的數(shù)字之和能被3整除的有：(1,2),(2,1),(3,3),共3種.

故他們選擇的卡片上的數(shù)字之和能被3整除的概率為;.

故選：A

8.某團支部隨機抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9期“青年大學(xué)習(xí)”的成績(單位：分)，得到如圖所示的成績莖

葉圖，關(guān)于這9期的成績，則下列說法正確的是()

甲乙

10

4322

322125

122

202

04/73

A.甲成績的中位數(shù)為32

B.乙成績的極差為40

C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等

D.甲成績的平均數(shù)高于乙成績的平均數(shù)

【答案】A

【分析】

根據(jù)莖葉圖求出甲成績的中位數(shù)，乙成績的極差，眾數(shù)，平均數(shù)即可判斷.

【詳解】

對A,根據(jù)莖葉圖可得甲成績的中位數(shù)為32,故A正確；

對B,乙同學(xué)的成績最高為52,最低為10,所以極差為52-10=42,故B錯誤；

對C,由莖葉圖可知甲同學(xué)成績的眾數(shù)為32,乙同學(xué)的成績的眾數(shù)為42,不相等，故C錯誤;

11+22+23+24+32+32+33+41+52

對D,因為甲成績的平均數(shù)為焉==30,乙成績的平均數(shù)為

9

10+22+31+32+35+42+42+50+52「

--------------------------------------------------?35,x甲<x乙，故D錯誤.

故選：A.

9.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到/、B、C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到/

班級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6334

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，先將四人分成三組，再分別分給三個班級即可求得總安排方法；若甲被安排到A班，則分甲單

獨一人安排到A班和甲與另外一人一起安排到A班兩種情況討論，即可確定甲被安排到A班的所有情況，

即可求解.

【詳解】

將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到4優(yōu)C三個班級中，要求每個班級至少分到一人,

05/73

則將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分成三組，人數(shù)分別為1,1,2；則共有美1種方法，分配給4叢C三個班

級的所有方法有4J,居=，x3x2=36種；

超2

甲被分到A班，有兩種情況：

甲單獨一人分到A班，則剩余兩個班級分別為1人和2人，共有C；石=6種；

二，甲和另外一人分到A班，則剩余兩個班級各1人，共有C；/；=6種；

綜上可知，甲被分到A班的概率為等=上

363

故選：B.

10.奧運會跳水比賽中共有7名評委給出某選手原始評分，在評定該選手的成績時，去掉其中一個最高分

和一個最低分，得到5個有效評分，則與7個原始評分（不全相同）相比，一定會變小的數(shù)字特征是（）

A.眾數(shù)B.方差C.中位數(shù)D.平均數(shù)

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、眾數(shù)的定義，分析可得答案.

【詳解】

對于A：眾數(shù)可能不變，如8,7,7,7,4,4,1,故A錯誤;

對于B：方差體現(xiàn)數(shù)據(jù)的偏離程度，因為數(shù)據(jù)不完全相同，當(dāng)去掉一個最高分、一個最低分，一定使得數(shù)

據(jù)偏離程度變小，即方差變小，故B正確；

對于C：7個數(shù)據(jù)從小到大排列，第4個數(shù)為中位數(shù)，當(dāng)首、末兩端的數(shù)字去掉，中間的數(shù)字依然不變，

故5個有效評分與7個原始評分相比，不變的中位數(shù)，故C錯誤；

對于C：平均數(shù)可能變大、變小或不變，故D錯誤；

故選：B

11.有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有（）

A.66種B.60種C.36種D.24種

06/73

【答案】B

【分析】

首先利用全排列并結(jié)合已知條件即可求解.

【詳解】

首先對五名學(xué)生全排列，則共有/；=120種情況，

又因為只有甲在乙的左邊或右邊兩種情況，

所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有冬=60種情況.

2

故選：B

12.隨機變量J滿足分布列如下：

專012

P2a-baa+b

則隨著b的增大（）

A.EC）增大，越來越大

B.磯9增大，先增大后減小

C.￡4）減小，先減小后增大

D.￡4）增大，先減小后增大

【答案】B

【分析】

結(jié)合分布列的性質(zhì)求出。的值以及6的范圍，然后根據(jù)期望與方差的概念表示出期望與方差，結(jié)合函數(shù)的

性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】

因為2a—b+。+。+6=1,所以。=—,

07/73

O<--Z><1

2

又因為解得-”<g，

O<-+Z?<1

4

3

所以E4)=a+2a+2b=；+26,隨著。的增大，E(4)增大;

3,11,15,1,11

D^)=(-+2b)2(--b)+(2b--)2x-+(--2b)2(-+b)=-4b2+b+-,

因為所以。化)先增大后減小.

故選：B.

13.永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門

安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個節(jié)目，其

中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為()

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】

利用插空法求解即可.

【詳解】

第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個節(jié)目排列，有/：=24種排法；

第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個節(jié)目的間隙或者兩端，有4；=20種插法；

所以共有24x20=480種不同的安排方法.

故選：A

14.五行學(xué)說是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金?木?水?

火?土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種，則這兩種元素

恰是相生關(guān)系的概率是()

08/73

【答案】C

【分析】

先計算從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基

本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解

【詳解】

由題意，從金?木?水?火?土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木,

水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)

系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個基本事件，所以所求概率尸=得=；.

故選：C

15.山竹，原產(chǎn)地在印度尼西亞東北部島嶼的一組群島馬魯古，具有清熱瀉火?生津止渴的功效，被譽為

夏季的“水果之王”，受到廣大市民的喜愛.現(xiàn)統(tǒng)計出某水果經(jīng)銷商近5年的山竹銷售情況，如下表所示.

年份20162017201820192020

年份代碼X01234

年銷量了/萬斤2.23.85.56.57.0

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得了關(guān)于x的線性回歸方程為9=L2x+f,若2021年的年份代碼為5,則

可以預(yù)測2021年該經(jīng)銷商的山竹銷量大約為（）

A.8.6萬斤B.9.2萬斤C.10萬斤D.15.5萬斤

【答案】A

【分析】

09/73

求出樣本中心點為G，3）,代入回歸直線可得「的值，再將x=5代入即可求解.

【詳解】

—0+1+2+3+4—2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

x=-----------=2,y=---------------------=5,

55

所以樣本中心點為（2,5）,

將（2,5）代入j）=1.2x+/可得：5=1.2x2+f,可得f=2.6,

所以了關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.2x+2.6,

當(dāng)x=5時，?=1.2x5+2.6=8.6萬元，

故選：A.

16.《醫(yī)院分級管理辦法》將醫(yī)院按其功能?任務(wù)不同劃分為三個等級：一級醫(yī)院?二級醫(yī)院?三級醫(yī)院.某

地有9個醫(yī)院，其中3個一級醫(yī)院，4個二級醫(yī)院，2個三級醫(yī)院，現(xiàn)在要從中抽出4個醫(yī)院進行藥品抽

檢，則抽出的醫(yī)院中至少有2個一級醫(yī)院的抽法有（）

A.81種B.80種C.51種D.41種

【答案】C

【分析】

分恰有2個一級醫(yī)院與恰有3個一級醫(yī)院兩種情況討論，按照分類加法計數(shù)原理計算可得；

【詳解】

解：恰有2個一級醫(yī)院，有C；C；=45種抽法；恰有3個一級醫(yī)院，有C；C：=6種抽法.所以抽出的醫(yī)院中

至少有2個一級醫(yī)院的抽法有45+6=51（種）.

故選：C

17.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個學(xué)校進行支教活動，每個學(xué)校至少安排1人，其中甲校

至少要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法共有（）種

A.50B.60C.80D.100

【答案】C

【分析】

10/73

對甲校分配的大學(xué)生人數(shù)進行分類討論，利用排列、組合計數(shù)原理結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】

若甲校分2名大學(xué)生，此時有=60種分配方法；

若甲校分3名大學(xué)生，此時有C；用=20種分配方法.

綜上所述，共有80種分配方法.

故選：C.

18.接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法.我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗工作,

截止到2021年5月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗?新冠病毒滅活疫苗?重組新型冠病毒

疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種.若甲？乙?丙?丁4人去接種新冠疫苗，則恰有兩人接種同

一種疫苗的概率為（）

4928

A.-B.—C.-D.—

91639

【答案】A

【分析】

首先利用分步乘法計數(shù)原理求出基本事件總數(shù)，再由排列、組合求出恰有兩人接種同一種疫苗的哇基本事

件個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】

由題意，每位接種者可等可能地從3種任選一種接種，

由分步乘法計算原理知，共有34=81不同的結(jié)果，

恰有兩人接種同一種疫苗，可先從4人中任選兩人并成一組，有種結(jié)果，

再與另兩人一起按三種疫苗的順序排成一排，

有可種排法，一種排法對應(yīng)一種接種方法，

故恰有兩人接種同一種疫苗共有C；4=36種不同結(jié)果，

由古典概型概率計算公式得：尸=3三6=?4.

o19

故選：A

11/73

19.袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用/表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到

白球”記為反否則記為C,那么事件/與8,/與C間的關(guān)系是（）

A.A與8,/與C均相互獨立

B.4與8相互獨立，/與C互斥

C.A與3,/與C均互斥

D./與8互斥，/與。相互獨立

【答案】A

【分析】

根據(jù)相互獨立事件的定義進行判斷即可.

【詳解】

有放回地摸球，第一次摸球與第二次摸球之間沒有影響，即/與昆/與C均相互獨立

故選：A

20.從三個小區(qū)中選取6人做志愿者，每個小區(qū)至少選取1人，則不同的選取方案數(shù)為（）

A.10B.20C.540D.1080

【答案】A

【分析】

問題等價于6個相同的小球分成3組，每組至少1個，利用“隔板法”可得答案.

【詳解】

從三個小區(qū)中選取6人做志愿者，每個小區(qū)至少選取1人，

即6個志愿者名額分到3個小區(qū)，每個小區(qū)至少1個，

等價于6個相同的小球分成3組，每組至少1個，

將6個小球排成一排，除去兩端共有5個空，

從中任取2個插入擋板，共有C；=10（種）方法，

即從三個小區(qū)中選取6人做志愿者，每個小區(qū)至少選取1人，不同的選取方案數(shù)為10.

12/73

故選：A

第口卷（非選擇題）

二、填空題

21.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分

為隨機變量f，貝I?（￡W6）=.

【答案】蔡13

【分析】

先求出隨機變量的可能取值，再分別求出概率即可.

【詳解】

解：取出的4只紅球個數(shù)可能為：4、3、2、1個，黑球相應(yīng)個數(shù)為：0、1、2、3個

所以《46時，/4,6

C4coc3cl13

所以P（"6）=尸（片4）+P（片6）=興+舍矣

13

故答案為：—.

22.一個袋子中裝有六個大小形狀完全相同的小球，其中一個編號為1,兩個編號為2,三個編號為3.現(xiàn)

從中任取一球，記下編號后放回，再任取一球，則兩次取出的球的編號之和等于4的概率是.

【答案】得

【分析】

根據(jù)題意列出基本事件，然后根據(jù)古典概型的概率公式即可求出結(jié)果.

【詳解】

記編號為1的球為。，編號為2的球為仇c,編號為3的球為則基本事件：（a,a）,

（e⑷,（e,e）,（ej）,（九a）,（7,6）,（九c）,（/,d）,（九e）,（/J）共36種,編號之和為4的有:

13/73

共10種,所求概率為整.

3618

故答案為：—.

18

23.某醫(yī)療隊有6名醫(yī)生，其中只會外科的醫(yī)生1名，只會內(nèi)科的醫(yī)生3名，既會外科又會內(nèi)科的醫(yī)生2

名.現(xiàn)在要從醫(yī)療隊中抽取3名醫(yī)生支援3個不同的村莊，每個村莊1人，要求3名醫(yī)生中至少有一名會

內(nèi)科，至少有一名會外科，則共有種派遣方法.

【答案】114

【分析】

根據(jù)醫(yī)生的情況，分從只會外科的人中選1人和從只會外科的人中選0人兩類求解.

【詳解】

由題知，有2名醫(yī)生既會外科，也會內(nèi)科，只會外科的1名，5名會內(nèi)科，

以選出只會外科的人數(shù)進行分類：

從只會外科的人中選1人：CjAl=60,

從只會外科的人中選。人：（C；-C；）N；=54,

所以共114種.

故答案為：114

24.某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品.從這些產(chǎn)品中隨機抽

取一件產(chǎn)品測試，已知抽到一等品或二等品的概率為0.86,抽到二等品或三等品的概率為0.35,則抽到

二等品的概率為.

【答案】621/益21

【分析】

設(shè)抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為48,C,利用互斥事件加法列出方程組即可求解.

【詳解】

設(shè)抽到一等品，二等品，三等品分別為事件4B,C

14/73

尸(N)+P(3)=0.86

則《尸(8)+尸(C)=0.35,則P(8)=0.21

尸(4)+尸(8)+尸(C)=l

故答案為：0.21

25.兩名學(xué)生一起去一家單位應(yīng)聘，面試前單位負責(zé)人對他們說：“我們要從面試的人中招聘3人，你們

倆同時被招聘進來的概率是若每個參加面試的人被招聘的可能性相同，則根據(jù)這位負責(zé)人的話，可

以推斷出參加面試的人數(shù)為.

【答案】21

【分析】

利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

設(shè)參加面試的人數(shù)為〃，依題意有送產(chǎn)=()八=一(一^=—,

即rr-M-420=(/?+20)(M-21)=0,

解得〃=21或〃-20(舍去).

故答案為：21.

26?一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：＜(尤)=x,力=工(x)=/,

￡(x)=siiu,力(x)=cosx,九卜)=2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一張

寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，設(shè)抽取次數(shù)為九則JV3的概率為.

19

【答案】—/0.95

20

【分析】

由題可知J的取值范圍是{1,2,3,4},分別求概率，即求.

【詳解】

易判斷力(x)=Y,%(x)=cosx,_4(x)=2為偶函數(shù)，所以寫有偶函數(shù)的卡片有3張，J的取值范圍是

{1,2,3,4}.

15/73

C1iclCl3c；c；c；3

方法一^=l)=-=p尸("2)=忘=而，尸(1)=

CCc；20

i33ig

所以尸(jV3)=Pq=l)+P(J=2)+尸(4=3)=萬+歷+砧

c；c；c；c；19

方法二產(chǎn)(JV3)=l-尸0=4)=1-

Cc?c；20

19

故答案為：

27.為了強化勞動觀念，弘揚勞動精神，某班級決定利用班會課時間進行勞動教育.現(xiàn)要購買鐵鍬、鋤頭、

鐮刀三種勞動工具共9把，每種工具至少購買1把，則不同的選購方法共有種.（用數(shù)字作答）.

【答案】28

【分析】

用插隔板方法求解.

【詳解】

問題相當(dāng)于9個木棍排成一排，在中間8個空位中選2個插入隔板，方法數(shù)為C；=28.

故答案為：28.

28.中國體育彩票堅持“公益體彩樂善人生”公益理念，為支持中國體育事業(yè)發(fā)展做出了貢獻，其中“大

樂透”是群眾特別喜歡購買的一種體育彩票，其規(guī)則是從前區(qū)1到35的號碼中選5個，后區(qū)1到12的號

碼中選2個組成一注彩票.其中復(fù)式玩法允許從前區(qū)選5個以上，后區(qū)選2個以上號碼，那么從前區(qū)1到

35的號碼中選7個號碼，從后區(qū)1到12的號碼中選3個，組成的彩票注數(shù)為.

【答案】63

【分析】

由題意分兩步，第一步從前區(qū)所選7個號碼中任選5個號碼，第二步從后區(qū)所選3個號碼中任選2個號碼,

再由由分步計數(shù)乘法原理求解.

【詳解】

第一步從前區(qū)所選7個號碼中任選5個號碼有C；=21（種）情況，

第二步從后區(qū)所選3個號碼中任選2個號碼有C；=3（種）情況，

16/73

由分步計數(shù)乘法原理，組成的彩票注數(shù)為21x3=63（注）.

故答案為：63

29.如圖，用五種不同的顏色涂在圖中不同的區(qū)域內(nèi)，要求每個區(qū)域只能涂一種顏色，且相鄰（有公共邊）

區(qū)域涂的顏色不同，則不同的涂色方案一共有種.用數(shù)字作答

【答案】180

【分析】

將圖形中四個板塊分別記為按照8、。不同色和3、。同色，分兩類計數(shù)再相加，可得結(jié)果.

【詳解】

將圖形中四個板塊分別記為4瓦C,D,如圖：

當(dāng)8、。不同色時，有5x4x3x2=120種涂色方案；

當(dāng)B、。同色時，有5x4x3=60種涂色方案，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有120+60=180種涂色方案.

故答案為：180.

30.某科研項目包括45C,。四個課題，需要分配給甲、乙、丙三個科研小組進行研究，每個課題分配給

一個小組，每個小組至少分配一個課題，且甲、乙小組能研究全部四個課題，丙小組只能研究兩個課

題，則不同的分配方法的種數(shù)為.

【答案】14

17/73

【分析】

根據(jù)“丙小組只能研究C,。兩個課題”可知從丙小組的情況開始分類討論并計算即可.

【詳解】

因為甲、乙、丙三個科研小組中丙小組只能研究C,。兩個課題，所以不妨從丙開始討論.

若丙小組研究C課題，①甲研究兩個，乙研究一個，共C；xC；=3種；②甲研究一個，乙研究兩個，共

C；xC；=3種；

若丙小組研究。課題，①甲研究兩個，乙研究一個，共C；xC：=3種；②甲研究一個，乙研究兩個，共

C：xC；=3種；

若丙小組研究C,。課題，則甲和乙分別研究一個，共2種.

綜上，不同的分配方法的種數(shù)為3+3+3+3+2=14種.

故答案為：14

任務(wù)二：中立模式（中檔）1-40題

一、單選題

1.某學(xué)校對音樂、體育、美術(shù)、書法特長生進行專項測試.現(xiàn)安排5名學(xué)生志愿者到現(xiàn)場協(xié)助，若每名志

愿者參與一個組的管理工作，每組至少有1人協(xié)助工作，則不同的安排方式共有（）

A.20種B.24種C.120種D.240種

【答案】D

【分析】

把5名志愿者分成4組，然后全排即可.

【詳解】

把5名志愿者分成4組，共有德=10種分組方法，

把分好的四組進行全排，共有團=24種排列方法，

所以不同的安排方式共有=24x10=240種.

故選：D.

18/73

2.2021年國慶節(jié)期間，小李報名參加市電視臺舉辦的“愛我祖國”有獎競答活動，活動分兩輪回答問題,

第一輪從5個題目中隨機選取2個題目，這2個題目都回答正確，本輪得獎金500元，僅有1個回答正確，

本輪得獎金200元，兩個回答都不正確，沒有獎金且被淘汰，有資格進入第2輪回答問題者，最多回答兩

個問題，先從5個題目中隨機選取1個題目回答，若回答錯誤本輪獎金為零且被淘汰，若回答正確，本題回

答得獎金2000元，然后再從剩余4個題目中隨機選1個，回答正確，本題得獎金3000元，回答錯誤，本題

2

回答沒有獎金.已知小李第一輪5個題目其中3個能回答正確，第二輪每個題目回答正確的概率均為不(每

輪選題相互獨立)，則小李獲得2500元的概率為()

.54

A.---D

625-卷

【答案】B

【詳解】

小李獲得250。元獎金，則第一輪2個題目回答都正確，第二輪第1個題目回答正確，第2個題目回答錯誤,

p=g2.2=2

所以所求概率以55125,

故選：B.

3.已知隨機變量X的分布列如下:

X123

Pab2ba

則。(3X-1)的最大值為()

A.—B.3

3

C.6D.5

【答案】C

【分析】

根據(jù)概率和為1得到6="i再計算E(X)、Q-2a,得至"(X)=-4(a-17+：7,Z)(3X-1)=9Z)(X),計算最值得

到答案.

【詳解】

19/73

D(3X-1)=9D(X),只需求。(X)的最大值即可，根據(jù)題意：a+b+2b-a=\,6=；,

](2、8

E(X)=tz+2x—+3x1——tzl=——2a,

c21122219

所以D(X)=(--2a)~xa+(y-2a)*Xy+(—+2a)2x(--a)=-4a*+—=-4(a--)*+§,

當(dāng)a1時，其最大值為g2,故。(3X-1)的最大值為：2x9=6.

故選：C.

4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每

一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總

數(shù)為()

A.180B.240C.420D.480

【答案】C

【分析】

分兩步，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用乘法原理可求解.

【詳解】

分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù),用乘法原理可求解，由題設(shè),

四棱錐的頂點SA,6所染的顏色互不相同，它們共有5x4x3=60種染色方法；

當(dāng)S,48染好時，不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3,若C染2,則?？扇?或4或5,有3種染法；若。染

4,則。可染3或5,有2種染法；若C染5,則〃可染3或4,有2種染法，即當(dāng)S,A,8染好時，?。還

有7種染法.

故不同的染色方法有60x7=420種.

20/73

s

5.7個人站成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（）

A.400種B.720種C.960種D.1200種

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合捆綁法分別計算甲、乙要求相鄰的排法和甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法，再相減

即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，可知甲、乙要求相鄰的排法有用x2=1440種，

而甲、乙要求相鄰且丙、丁也相鄰的排法有N；X2X2=480種，

故甲、乙要求相鄰，丙、丁分開的排法有1440-480=960種.

故選：C.

6.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不

能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（）

A.484B.472

C.252D.232

【答案】B

【分析】

用間接法分析.先求出“從16張卡片中任取3張的所有取法數(shù)”，再分析“取出的3張為同一種顏色”和

“取出的3張有2張綠色卡片”的取法數(shù)，從而可求出答案.

【詳解】

21/73

根據(jù)題意，不考慮限制，從16張卡片中任取3張，共有a種取法，

如果取出的3張為同一種顏色，則有4C；種情況,

如果取出的3張有2張綠色卡片，則有種情況，

故所求的取法共有或-4C：-CX=472種.

故選：B.

7.現(xiàn)將8張連號的門票按需求分配給5個家庭，甲家庭需要3張連號的門票，乙家庭需要2張連號的門票,

剩余的3張隨機分給剩余的3個家庭，則這8張門票不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.71B.96C.108D.120

【答案】D

【分析】

對甲家庭所分配的門票號碼進行分類討論，確定乙家庭所分配的門票號碼,結(jié)合分類加法與分步乘法計數(shù)

原理可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)8張連號的門票號碼分別為1、2、3、4、5、6、7、8,

若甲家庭所分配的門票號碼為123,則乙家庭所分配的門票號碼可以是45、56、67、78,共4種，此時

共有4H=24種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為234,則乙家庭所分配的門票號碼可以是56、67、78,共3種,此時共有

3a=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為345，則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、67、78,共3種,此時共有

3團=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為456,則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、23、78,共3種,此時共有

3/；=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為567,則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、23、34,共3種,此時共有

3/；=18種分配方法;

若甲家庭所分配的門票號碼為678,則乙家庭所分配的門票號碼可以是12、23、34、45,共4種,此時

共有4刃=24種分配方法.

22/73

綜上所述，不同的分配方案種數(shù)為24x2+18x4=120種.

故選：D.

24

8.甲、乙兩人對同一目標(biāo)各射擊一次，甲命中目標(biāo)的概率為；，乙命中目標(biāo)的概率為-，設(shè)命中目標(biāo)的

35

人數(shù)為X,則。（X）等于（）

86n259

--------D.--------

225675

「22n15

C.—D.—

1522

【答案】A

【分析】

分析出X的取值，計算出X在不同取值下的概率，可求得￡（X）的值，進而可求得。（X）的值.

【詳解】

由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2,

則尸（X=0）=；xg=\,尸（X=l）=：xg+；xg=g,P（^=2）=|x|=^,

19Q

所以,E(X)=0x—+lx—+2x—=——

'/1551515

所以,Z)(X)=

故選：A.

9.一個盒中裝有大小相同的1個黑球與2個白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回

盒中，直到把白球全部取出，則在此過程中恰有1次取到黑球的概率為（）

【答案】C

【分析】

由題意得：可分成兩種情況，即當(dāng)三次取球的順序為黑白白,白黑白，分別計算概率再相加，即可得到答

23/73

案；

【詳解】

由題意得：可分成兩種情況：

1211

（1）當(dāng)三次取球的順序為：黑白白，其概率為

2111

（2）當(dāng)三次取球的順序為：白黑白，其概率為鳥=7X7X7=：；

3226

??.在此過程中恰有1次取到黑球的概率為g+2=[,

9618

故選:C

10.某學(xué)校社會實踐小組共有5名成員，該小組計劃前往該地區(qū)三個紅色教育基地進行“學(xué)黨史，頌黨恩,

跟黨走”的主題宣講志愿服務(wù).若每名成員只去一個基地，每個基地至少有一名成員前往，且甲，乙兩名

成員前往同一基地，則不同的分配方案共（）有

A.18種B.36種

C.72種D.144種

【答案】B

【分析】

先把5名成員分成3組，三組人數(shù)分別為3,1,1和2,2,1,然后再進行全排.

【詳解】

考慮甲乙特殊，若三組人數(shù)為3,1,1,

則甲乙還需一名成員，故不同的分配方案有C；/；=18；

若三組人數(shù)為2,2,1,則甲乙為一組，不同的分配方案有C；/；=18,

所以共計36種.

故選：B.

11.《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國古代14種算法，其