專題28 開普勒行星運(yùn)動定律、天體質(zhì)量密度估算和不同位置重力加速度-2025版高三物理一輪復(fù)習(xí)多維度導(dǎo)學(xué)與分層專練

2025屆高三物理一輪復(fù)習(xí)多維度導(dǎo)學(xué)與分層專練專題28開普勒行星運(yùn)動定律、天體質(zhì)量密度估算和不同位置重力加速度導(dǎo)練目標(biāo)導(dǎo)練內(nèi)容目標(biāo)1開普勒行星運(yùn)動定律目標(biāo)2天體質(zhì)量密度估算目標(biāo)3不同位置重力加速度【知識導(dǎo)學(xué)與典例導(dǎo)練】開普勒行星運(yùn)動定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓,太陽處在的一個焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等

a3T注意：①行星繞太陽的運(yùn)動通常按圓軌道處理；②面積定律是對同一個行星而言的,不同的行星相等時間內(nèi)掃過的面積不等；③該比值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體值不同?！纠?】2021年6月17日，神舟十二號載人飛船與天和核心艙完成對接，航天員聶海勝、劉伯明、湯洪波進(jìn)入天和核心艙，標(biāo)志著中國人首次進(jìn)入了自己的空間站。對接過程如圖所示，天和核心艙處于半徑為的圓軌道Ⅲ，神舟十二號飛船沿著半徑為的圓軌道I運(yùn)動到Q點(diǎn)時，通過變軌操作，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動到P點(diǎn)與天和核心艙對接，從Q到P經(jīng)歷的時間為T，則（）A．神舟十二號在軌道I上的周期為B．天和核心艙在軌道Ⅲ上的周期為C．神舟十二號飛船在軌道上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度小于軌道Ⅱ上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度D．在相同的時間內(nèi)，軌道Ⅰ上神舟十二號與O點(diǎn)的連線和軌道Ⅲ上天和核心艙與O點(diǎn)的連線掃過的面積相等【答案】B【詳解】A．軌道Ⅱ的運(yùn)動周期為根據(jù)開普勒第三定律神舟十二號在軌道I上的周期為故A錯誤；B．根據(jù)開普勒第三定律天和核心艙在軌道Ⅲ上的周期為故B正確；C．由，Q點(diǎn)加速度為兩軌道在Q點(diǎn)時到地球的距離相同，則加速度相等，故C錯誤；D．根據(jù)開普勒第二定律，同一軌道上，在相同的時間內(nèi)，天體與O點(diǎn)的連線掃過的面積相等，軌道Ⅰ和軌道Ⅲ是不同軌道，故D錯誤。故選B。天體質(zhì)量密度估算1.“自力更生”法(g－R)：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式。2.“借助外援”法(T－r)：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的周期T和半徑r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T，就可估算出中心天體的密度?！纠?】“玉兔號”月球車在月球表面做了一個自由下落試驗，測得物體從靜止自由下落h高度的時間為t，已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。下列正確的是（）A．月球表面重力加速度B．月球的質(zhì)量為C．月球的第一宇宙速度D．月球同步衛(wèi)星離月球表面高度為【答案】A【詳解】A．由自由落體運(yùn)動規(guī)律有所以有故A正確；B．在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力則故B錯誤；C．月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)重力提供向心力則故C錯誤；D．月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力解得故D錯誤。故選A?！纠?】2020年6月23日9時43分，長征三號乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，并順利進(jìn)入地球靜止軌道，實現(xiàn)了全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)組網(wǎng)成功。已知該衛(wèi)星在地球靜止軌道距離地面的高度為地球半徑的N倍，其運(yùn)行周期約為T，地球的半徑為R，萬有引力常量為G。則下列說法正確的是（）A．該衛(wèi)星的發(fā)射速度可以小于7.9km/sB．該衛(wèi)星的質(zhì)量為C．地球的質(zhì)量為D．地球表面的重力加速度為【答案】C【詳解】A．第一宇宙速度7.9km/s是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，故A錯誤；C．假設(shè)地球的質(zhì)量為M、衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動時萬有引力提供心力，則由又r=(N+1）R解得故C正確；B．顯然由C選項解析可知，衛(wèi)星質(zhì)量不可求，故B錯誤；D．對于位于地球表面的物體，萬有引力近似等于重力，則有則由以上整理得故D錯誤；故選擇C。不同位置重力加速度1．萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。2．星體表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由，得所以。3．萬有引力的“兩個推論”推論1:在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零,即F引=0。推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對其的萬有引力,即F=GM'【例4】在北極重力為的物體，在赤道上重力變?yōu)?。若將地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，北極的重力加速度為，則地球半徑與自轉(zhuǎn)周期的平方之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在北極G1=mg在赤道上解得故選C?！纠?】假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（）A．1－ B．1＋C． D．【答案】A【詳解】如圖所示根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對處于礦井底部的物體引力為零．設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故又聯(lián)立解得設(shè)礦井底部的重力加速度為g′，圖中陰影部分所示球體的半徑r＝R－d，則聯(lián)立解得故選A?！径嗑S度分層專練】1．2020年7月，我國用長征運(yùn)載火箭將“天問一號”探測器發(fā)射升空，探測器在星箭分離后，依次進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道、捕獲軌道、停泊軌道、探測軌道，如圖所示。2021年5月在火星烏托邦平原著陸。則探測器（）A．每次經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度相等B．每次經(jīng)過P點(diǎn)時的機(jī)械能相等C．繞火星運(yùn)行時在探測軌道上的周期最大D．繞火星運(yùn)行時在不同軌道上與火星的連線每秒掃過的面積相等【答案】A【詳解】A．根據(jù)牛頓第二定律可得解得由于、都相同，可知探測器每次經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度相等，A正確；B．探測器依次進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道、捕獲軌道、停泊軌道、探測軌道，每次在P點(diǎn)變軌都要進(jìn)行點(diǎn)火減速，在點(diǎn)火減速過程，探測器的機(jī)械能減少，B錯誤；C．根據(jù)開普勒第三定律可知繞火星運(yùn)行時在探測軌道上的周期最小，C錯誤；D．根據(jù)開普勒第二定律可知探測器繞火星運(yùn)行時在同一軌道上與火星的連線每秒掃過的面積相等，但在不同軌道上與火星的連線每秒掃過的面積不相等，D錯誤；故選A。2．2021年10月16日，長征二號F運(yùn)載火箭遙十三搭載著翟志剛、王亞平與葉光富三位航天員的神舟十三號載人飛船發(fā)射升空，神舟十三號采用自主快速交會對接模式成功對接于天和核心艙徑向端口，與此前已對接的天舟二號、天舟三號一起構(gòu)成四艙（船）組合體，如圖甲所示。如圖乙所示，軌道Ⅰ為空間站運(yùn)行圓軌道，軌道Ⅱ為載人飛船運(yùn)行橢圓軌道，兩軌道相切于A點(diǎn)，載人飛船在A點(diǎn)與空間站組合體完成對接，若空間站組合體距地球表面的高度為h，地球半徑為R，航天員與載人飛船始終相對靜止，則下列說法正確的是（）A．翟志剛、王亞平與葉光富三位航天員隨空間站組合體做圓周運(yùn)動過程中，所受向心力大小相等B．對接前，載人飛船與地心的連線和空間站組合體與地心的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相同C．若載人飛船在軌道Ⅰ、Ⅱ的運(yùn)行周期之比為，則軌道Ⅱ近地點(diǎn)距地球表面的距離為D．載人飛船上在軌道Ⅰ、Ⅱ上運(yùn)行經(jīng)過A點(diǎn)時向心加速度不相等【答案】C【詳解】A．航天員隨空間站做圓周運(yùn)動過程中，所受向心力由萬有引力提供因為三人質(zhì)量可能不同，因此所受向心力大小可能不相等，故A錯誤；B．根據(jù)開普勒第二定律可知在不同軌道上，載人飛船與地心的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積不相等，故B錯誤；C．根據(jù)開普勒第三定律可知，載人飛船在軌道Ⅰ、Ⅱ上運(yùn)行時滿足（a為軌道Ⅱ的半長軸）且有（x為軌道Ⅱ近地點(diǎn)距地球表面的距離）聯(lián)立解得故C正確；D．載人飛船在軌道Ⅰ、Ⅱ上運(yùn)行經(jīng)過A點(diǎn)時所受萬有引力相等，因此在軌道Ⅰ、Ⅱ上運(yùn)行經(jīng)過A點(diǎn)時向心加速度相等，故D錯誤。故選C。3．隨著科技的發(fā)展，人們期待將來有一天能在地球與其他星球之間自由往返。若航天愛好者在登陸某星球（可視為質(zhì)量分布均勻的球體）的過程中，測得航天器在該星球表面附近飛行的周期為T，著陸后用測力計測得質(zhì)量為m0的砝碼重力為P，引力常量為G，由此可算出（）A．該星球同步衛(wèi)星的質(zhì)量m′和半徑RB．該星球的質(zhì)量M和航天器的質(zhì)量mC．該星球的半徑R和密度ρD．該星球的公轉(zhuǎn)周期T0和第一宇宙速度v【答案】C【詳解】ABC．由題意可得該星球表面的重力加速度又因；可得該星球半徑、質(zhì)量；結(jié)合；可求出該星球的密度同步衛(wèi)星和航天器是繞行天體，不能通過題給條件求出質(zhì)量，選項A、B錯誤，C正確；D．該星球的第一宇宙速度但該星球的公轉(zhuǎn)周期不可求，選項D錯誤。故選C。4．在浩瀚的天空，有成千上萬顆的人造天體一直在運(yùn)行。為研究某未知天體，人類發(fā)射了一顆探測器圍繞該天體做圓周運(yùn)動，如圖所示。若測得該天體相對探測器的張角為θ，探測器繞該天體運(yùn)動的周期為T，引力常量為G，則該天體的密度為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)該天體的質(zhì)量為M，半徑為R，探測器的質(zhì)量為m，探測器繞該天體運(yùn)動的軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供探測器勻速圓周運(yùn)動的向心力解得天體的質(zhì)量為根據(jù)球密度公式得故A正確，BCD錯誤。故選A。5．?dāng)?shù)千年以來，人類不斷探索著未知而又神秘的宇宙。我們期待著能認(rèn)識宇宙中每一個星球，期待著將來某一天能在宇宙空間任意穿梭。如果航天器登陸某星球（可視為質(zhì)量分布均勻的球體）的過程中，測得航天器在該星球表面附近做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，著陸后用測力計測得質(zhì)量為mo的砝碼重力為Fo，已知引力常量為G。忽略星球自轉(zhuǎn)影響，由此推算的結(jié)果正確的是（）A．該星球表面重力加速度為 B．該星球的半徑C．該星球的密度 D．該星球的第一宇宙速度【答案】BC【詳解】由牛頓第二定律由萬有引力公式由球體體積公式由質(zhì)量和密度的關(guān)系聯(lián)立解得；；故選BC。6．若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體?！膀札?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度大小之比為（質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體的萬有引力為零）（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)地球的密度為ρ，則在地球表面，物體受到的重力和地球的萬有引力大小相等，有由于地球的質(zhì)量為所以重力加速度的表達(dá)式可寫成質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R－d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴钡闹亓铀俣人杂懈鶕?jù)萬有引力提供向心力有G＝ma“天宮一號”所在處的重力加速度為a＝所以，故選C。7．假設(shè)地球是一半徑為R，質(zhì)量分布均勻的球體．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體引力為零，地球表面處引力加速度為g．則關(guān)于地球引力加速度a隨地球球心到某點(diǎn)距離r的變化圖像正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】若距離大于地球半徑，則根據(jù)萬有引力提供重力可得，得到加速度，隨距離增大，加速度變?。?dāng)在地球球殼內(nèi)即距離小于地球半徑，此時距離地心范圍內(nèi)的球殼對物體沒有引力，那么對其產(chǎn)生引力的就是半徑為的中心球體的引力，因此，即加速度與距離成正比，對照答案B對．8．2021年2月24日，“天問一號”探測器成功進(jìn)入火星停泊軌道，標(biāo)志著中國正式開始了對火星表面的探測活動。若探測器繞火星做半徑為R、周期為T的勻速圓周運(yùn)動，已知火星的半徑為R0、自轉(zhuǎn)周期為T0，且火星可視為質(zhì)量均勻的球體，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（）A．火星的質(zhì)量為B．火星的質(zhì)量為C．火星赤道處的重力加速度為D．火星赤道處的重力加速度為【答案】BD【詳解】AB.設(shè)火星的質(zhì)量為M，“天問一號”的質(zhì)量為m，則由題意根據(jù)牛頓第二定律有解得故A錯誤，B正確；CD.火星赤道處質(zhì)量為m0的物體所受重力是萬有引力的一個分力，萬有引力的另一個分力提供此物體隨火星自轉(zhuǎn)的向心力。設(shè)赤道處的重力加速度為g，則根據(jù)牛頓第二定律可得解得故C錯誤，D正確。故選BD。9．已知地球半徑為R，質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，在赤道處用彈簧秤懸掛某物體（質(zhì)量為m），靜止時示數(shù)為F，萬有引力常量為G。下列說法正確的是（）A．在北極進(jìn)行同樣的操作，彈簧秤示數(shù)依然是FB．在赤道處重力的大小等于F，且C．假如地球自轉(zhuǎn)周期減小，那么赤道上物體的重力也減小D．地球的第一宇宙速度v1＝【答案】BC【詳解】A．北極處的重力加速度與赤道處的重力加速度不等，則重力不等，所以彈簧秤的示數(shù)不等于F，故A錯誤；B．赤道處彈簧秤的拉力等于物體的重力，赤道處物體的萬有引力一個分力等于重力，一個分力提供向心力，即故B正確；C．根據(jù)可知，地球的自轉(zhuǎn)周期減小，則向心力增大，赤道上物體的