數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：6余弦函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1。余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式【例1】有下列命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是(）①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相同②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等③若sinα＞0，則α是第一、二象限的角④若α是第二象限的角,且P（x,y）是其終邊上一點(diǎn),則cosα=A.1B。2C思路分析:運(yùn)用概念判斷,④中的x要具體分析它的正負(fù)。解析：由任意角三角函數(shù)定義知①正確;對(duì)②，我們舉出反例sin=sin;對(duì)③,可指出sin＞0,但不是第一、二象限的角；對(duì)④，應(yīng)是cosα=,綜上選A。答案：A友情提示要準(zhǔn)確地理解任意角的三角函數(shù)定義，可與三角函數(shù)線結(jié)合記憶。各個(gè)擊破類題演練1在［0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的取值范圍是（)A.（，）∪(π，）B。（，π）C.（,）D。（，π）∪（,）解析:作出[0，2π）區(qū)間上的正弦和余弦函數(shù)圖象，易知兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和,由右圖可知C正確.答案：C變式提升1作出函數(shù)y=1+cosx（0≤x≤2π）的圖象。解:列表：x0π2πcosx10—1011+cosx21012描點(diǎn)作圖【例2】已知cos（—α)=，求cos(+α)-sin2(α—)的值。思路分析:注意到—α++α=π可以把+α化成π-(—α），α—=-（-α）利用誘導(dǎo)公式即可.解：cos（+α）=cos［π-（-α)]=-cos(-α）=—,sin2（α-)=sin2［-（—α)]=1—cos2(—α)=1—()2=,∴cos（+α）—sin2（α—)=——=.友情提示此類題目要靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式，在做題時(shí)要注意觀察角與角之間的關(guān)系，例如+α=π-（-α）.從而利用誘導(dǎo)公式把未知三角函數(shù)值用已知三角函數(shù)表示出來。類題演練2把下列三角函數(shù)值從小到大排列起來：sinπ,—cosπ，sinπ,cosπ.解析：sinπ=sin（π—)=sin，—cosπ=-cos（π+)=cos=sin,sinπ=sin（6π+π）=sinπ,cosπ=sin，sin＜sin＜sin＜sinπ,即cos＜sin＜-cos＜sin.變式提升2sin（2nπ+）cos(nπ+)=_________(n∈Z）.解析:（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式=sin（-cos）=sin（π—)［-cos（π+）］=sincos=×=；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式=sincos=sin(π—)cos（π+）=sin(—cos）=×（—)=。答案：±2.余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例3】判斷下列各式的符號(hào)：（1）tan250°·cos(—350°）；（2）sin151°cos230°;(3)sin3cos4sin5;(4)sin(cosθ)·cos（sinθ)（θ是第二象限角）.思路分析：本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào).角度確定了，所在的象限也就確定了.三角函數(shù)的符號(hào)也就確定了。進(jìn)一步再確定各式的符號(hào).對(duì)于（4）,視sinθ，cosθ為弧度數(shù).解：（1）∵tan250°＞0,cos（—350°）＞0,∴tan250°·cos(—350°）＞0。(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0。（3）∵＜3＜π,π＜4＜，＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0,sin5＜0，∴sin3·cos4·sin5＞0。（4）∵θ是第二象限角,∴0＜sinθ＜1＜,∴cos(sinθ）＞0.同理，—＜-1＜cosθ＜0，∴sin(cosθ)＜0，故sin(cosθ)·cos（sinθ)＜0.友情提示(1）判斷各三角函數(shù)值的符號(hào)，須判斷角所在的象限.(2)sinθ既表示角θ的正弦值，同時(shí)也可以表示［—1，1］上的一個(gè)角的弧度數(shù).（4)中解題的關(guān)鍵是將cosθ、sinθ視為角的弧度數(shù)。類題演練3判定下列各式的符號(hào)：（1)sin105°·cos230°；(2）sinπ·cosπ；(3）cos6·sin6;(4）sin4·cos（π).解：（1)∵105°,230°分別為第二、三象限角,∴sin105°＞0,cos230°＜0.∴sin105°·cos230°＜0。（2）∵＜＜π,∴π是第二象限角?！鄐inπ＞0，cosπ＜0。∴sinπ·cosπ＜0.(3）∵π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角.∴cos6＞0，sin6＜0，∴cos6·sin6＜0.（4）∵π＜4＜π,∴sin4＜0。又π=—6π+，∴π與終邊相同。∴cos（π)＞0?！鄐in4·cos（π)＜0.變式提升3已知α是第三象限角,試判斷sin(cosα）·cos(sinα）的符號(hào)。解析：∵α是第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0.又|sinα｜＜1,|cosα|＜1，∴-1＜cosα＜0，—1＜sinα＜0，∴sin（cosα)＜0,cos(sinα)＞0,∴sin(cosα）·cos(sinα)＜0.3。求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例4】函數(shù)y=cos（—2x）的單調(diào)遞減區(qū)間是______________。解析:y=cos（—2x）是y=cosμ,與μ=—2x的復(fù)合函數(shù).∵μ=—2x為減函數(shù).∴原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即為y=cosμ在定義域上單調(diào)遞增區(qū)間.由2kπ-π≤μ≤2kπ(k∈Z)，得—kπ+≤x≤-kπ+π(k∈Z），即y=cos(—2x）的單調(diào)遞減區(qū)間為［kπ+,kπ+π］,k∈Z。答案:［kπ+，kπ+π］，k∈Z友情提示本題容易錯(cuò)解為2kπ≤-2x≤2kπ+π，k∈Z,而忽略f(x）=—2x為單調(diào)減函數(shù)。類題演練4函數(shù)f（x）=Msin(ωx+φ)(M＞0,ω＞0）在區(qū)間［a,b]上是增函數(shù),且f(a)=—M,f（b）=M，則函數(shù)g(x)=Mcos(ωx+φ）在［a，b］上（）A.是增函數(shù)B。是減函數(shù)C.可能取最大值MD.可能取最小值—M解析:可畫圖象求解，答案：C變式提升4求函數(shù)y=lgsin(630°-2x)的最大值。解析:sin(630°-2x）=sin（36