數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.公式sin2α+cos2α=1與=tanα的推導(dǎo)及應(yīng)用【例1】已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0的兩根。(1)求sin3θ+cos3θ的值；（2)求tanθ+的值.思路分析：（1)利用韋達(dá)定理,用a的代數(shù)式表示sinθ+cosθ與sinθcosθ。（2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2α+cos2α=1，結(jié)合（1)構(gòu)造關(guān)于a的方程.(3)求a值,注意檢驗(yàn)a是否滿足題意。（4)利用前面推導(dǎo)的結(jié)果及同角三角函數(shù)關(guān)系式求值.解：由韋達(dá)定理得所以a2=（sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2a,即a2—2a—1=0。所以a=1±。又方程有兩根，則Δ=(—a)2-4a≥0，即a≤0或a≥4，所以a=1—,即sinθ+cosθ=sinθcosθ=1—.（1）sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ）(sin2θ—sinθcosθ+cos2θ）=—2.（2）tanθ+=-—1。各個擊破類題演練1已知sinθ-cosθ=，則sin3θ—cos3θ=__________.解析:∵sinθ-cosθ=,∴（sinθ—cosθ）2=.∴1—2sinθcosθ=?！鄐inθcosθ=.∴sin3θ—cos3θ=（sinθ—cosθ）（sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)=×（1+)=。答案:變式提升1已知:求sinθ·cosθ的值.解析:由,得,∴tanθ=2.∴sinθcosθ=.2.公式的變式應(yīng)用【例2】已知sinα=t且|t｜＜1，求角α的余弦值和正切值.思路分析:由于已知sinα=t中含有參數(shù),因而無法確定α所在的象限,這時應(yīng)對參數(shù)角α進(jìn)行分類討論.解:∵sinα=t且|t|＜1,∴角α可能為四個象限和x軸上的軸線角.（1）當(dāng)α為第一、四象限和x軸非負(fù)半軸上的角時,有cosα=，tanα==。（2)當(dāng)α為第二、三象限和x軸非正半軸上的角時,有cosα=，tanα==。友情提示若已知正弦、余弦、正切中的某一個三角函數(shù)值是用字母表示的，且角所在象限也沒有指定時，這個角α可能在四個象限(也可能是軸線角)，此時，不必按四個象限討論,只需將四個象限角（可能含軸線角）的三角函數(shù)值分成兩組討論?！纠?】化簡下列各式：(1）；（2）.解析:(1）=cos2400°=|cos400°|=|cos（40°+360°）｜=|cos40°|=cos40°.（2)==—1。友情提示化簡題目的目的：使項(xiàng)數(shù)盡可能地少，次數(shù)盡可能地低，函數(shù)的種類盡可能地少,分母中盡量不含三角函數(shù)符號，能求值的一定求值,盡可能地將根號中的因式移到根號外面。類題演練2若sinα=且α是第二象限角，則tanα的值等于（）A.B。C.±D?！澜馕觯骸擀潦堑诙笙藿?∴cosα=.∴tanα=.答案：A變式提升2已知tanα為非零實(shí)數(shù)，用tanα表示sinα,cosα.解析：∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=1—cos2α。∴tan2α=-1.于是cos2α=.由于tanα為非零實(shí)數(shù),可知角α的終邊不在坐標(biāo)軸上.從而cosα=sinα=cosαtanα=類題演練3已知—1=—1，求的值.解析：由已知,得tanα=,所以。變式提升3證明恒等式:.證明：左邊==右邊所以原等式成立。3。公式應(yīng)用中“１”的變換【例4】已知tanα=3，求sin2α+2sinαcosα+1的值。思路分析：對形如asin2α+bcosαsinα+ccos2α的值，可將分母1化為sin2α+cos2α,再分子分母同除以cos2α。解:sin2α+2sinαcosα+1=。友情提示若考慮不到將1變換，則式子不是同次的三角函數(shù)式，無法把弦全部化為切。類題演練4的值為（）A。sinα+cosαB。sinα—cosαC.cosα-sinαD.|sinα+cosα｜解析：∵1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=?！嘣?（sinα+cosα）2=｜sinα+cosα｜.答案：D變式提升4如果θ是第三象限角，且滿足=cos+sin,那么是（）A.第四象限角B.第三象限角C。第二象限角