2.5無(wú)窮小與無(wú)窮大

§2.1數(shù)列的極限§2.2函數(shù)的極限§2.3極限的性質(zhì)與運(yùn)算§2.4兩個(gè)重要極限§2.5無(wú)窮小與無(wú)窮大§2.6連續(xù)函數(shù)第二章極限與連續(xù)第五節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小無(wú)窮大五窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小比較等價(jià)無(wú)窮小替換一、無(wú)窮小1、定義:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.例如,注意（1）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).2、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．注意（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.不是無(wú)窮大．無(wú)界，證三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理4在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.證意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.四、無(wú)窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義:例如，例1解例2常用等價(jià)無(wú)窮小:特別:證明:例3解五、等價(jià)無(wú)窮小代換定理２(等價(jià)無(wú)窮小代換定理)證例4解若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限．不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.切記，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.注意例5解例6解解錯(cuò)小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1）無(wú)窮小（大）是變量,不能與很小(大)的數(shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮??；（3）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.3、無(wú)窮小的比較反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.4、等價(jià)無(wú)窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在且不為無(wú)