第六章線性空間自測(cè)練習(xí)及答案

第六章線性空間—自測(cè)答案一.判斷題1.兩個(gè)線性子空間的和（交）仍是子空間。2.兩個(gè)線性子空間的并仍是子空間。3.n維線性空間中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量可以作為此空間的一組基。4.線性空間中兩組基之間的過渡陣是可逆的。5.兩個(gè)線性子空間的和的維數(shù)等于兩個(gè)子空間的維數(shù)之和。6.同構(gòu)映射的逆映射仍是同構(gòu)映射。7.兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積仍是同構(gòu)映射。8.同構(gòu)的線性空間有相同的維數(shù)。9.數(shù)域P上任意兩個(gè)n維線性空間都同構(gòu)。10.每個(gè)n維線性空間都可以表示成n個(gè)一維子空間的和。答案：錯(cuò)：2.5.8對(duì)：1.3.4.6.7.9.10二.計(jì)算與證明1.求的子空間的基與維數(shù)。解：設(shè)，，…，，故，因此，中任一多項(xiàng)式可寫成的線性組合，易知線性無關(guān)，故為的一組基，且的維數(shù)為.2.求中由矩陣，，，生成的子空間的基與維數(shù)。解：取的一組基，則有設(shè)，即為在下的坐標(biāo)矩陣，對(duì)其作初等行變換得矩陣，為一組基。3.設(shè)的兩個(gè)子空間，其中，，。求與的基與維數(shù)。解：,設(shè),且它們線性無關(guān).由于,,線性無關(guān),且.由此,的維數(shù)為4.且是一組基.設(shè),,即得所以交空間的維數(shù)為1,基為.4．為數(shù)域，中，1）證明：均為的子空間。2）求和的維數(shù)和一組基。證明：1）任取，設(shè)，則同理，，設(shè)，則所以是的子空間。2）解：中線性無關(guān)，中，線性無關(guān)，在下的坐標(biāo)矩陣構(gòu)成的一組基，維數(shù)為4。設(shè)為中的任一元素，則，所以，解此方程組得，故交空間維數(shù)為2.基為。5.為數(shù)域，的兩個(gè)子空間，證明：=證：顯然成立。對(duì)任意的，有其中，∴，即，∴。又對(duì)任意的，設(shè)，則，即。∴，∴。6.設(shè)V是定義在實(shí)數(shù)域R上的函數(shù)所組成的線性空間。令，證明：均是V的子空間，且。證：均是V的子空間證略，只須驗(yàn)證對(duì)加和數(shù)乘封閉。，，。所以。，，。故，因此。7.設(shè)為級(jí)實(shí)方陣,為冪等陣（），齊次線性方程組的解空間為，的解空間為.證明:=證：，顯然。又，令，，，。故。下證：是直和。又若，有，，故。8.設(shè)是數(shù)域上形如的循環(huán)矩陣的集合，(1)證明:是線性空間的子空間.(2)證明:有.(3)求的維數(shù)和一組基.證：(1)驗(yàn)證即可.(2)令，為循環(huán)陣，，(為階單位陣)，則在上線性無關(guān).且，令有.，必上次多項(xiàng)式，使，反之亦真. (3)由上可知：是的一組基，且.9.設(shè)。證明：(1)是的子空間。（2）與同構(gòu)。證：1）是的子集，，所以是的子空間2），，又所以與同構(gòu)。10.設(shè)，證明：由的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式集合V關(guān)于矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成的R上的線性空間與復(fù)數(shù)域C作為R上的線性空間同構(gòu).證：由，得，，又所以V與C同構(gòu)。11.C為復(fù)數(shù)域，令證明：（1）關(guān)于矩陣加法和數(shù)與矩陣乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。（2）求的一組基和維數(shù)。（3）與同構(gòu)，并寫出一個(gè)同構(gòu)映射。證明：（1）略。只需驗(yàn)證對(duì)于加法和數(shù)乘封閉即可。（2），，而線性無關(guān)，所以它們是的一組基，dim=4.（3）dim=4，所以與同構(gòu)。令，易驗(yàn)證為到的同構(gòu)映射。12.R為實(shí)數(shù)域，證明：（1）是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。（2）求的一組基和維數(shù)。（3）與復(fù)數(shù)域C作為R上的線性空間同構(gòu)，并寫出同構(gòu)映射。證明：（1）略。只需驗(yàn)證對(duì)于加法和數(shù)乘封閉即可。（2），，而線性無關(guān)，所以它們是的一組基，dim=2.（3）復(fù)數(shù)域C作為R上的線性空