江蘇省常州市2024-2025學年高二上學期11月期中考試 數(shù)學（含答案）

1PAGE第11頁2024年秋學期高二期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷2024.11注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.經(jīng)過，兩點的直線傾斜角為（）A. B. C. D.2.如果拋物線y2=ax的準線是直線x=-1，那么它的焦點坐標為A.（1,0） B.（2,0） C.（3,0） D.（－1,0）3.雙曲線實軸長是虛軸長的2倍，則實數(shù)m的值為（）A. B. C. D.4.已知圓關(guān)于直線對稱，則圓C中以為中點的弦長為（）A.1 B.2 C.3 D.45.過拋物線焦點F直線l交拋物線于A，B兩點（點A在第一象限），若直線l的傾斜角為，則的值為（）A3 B.2 C. D.6.如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.7.已知，分別是雙曲線（a，）的左、右焦點，A為雙曲線的右頂點，線段的垂直平分線交雙曲線于點P，其中，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8.設(shè)直線l：，圓C：，若在圓C上存在兩點P，Q，在直線l上存在點M，使，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)a為實數(shù)，直線，，則（）A.當時，不經(jīng)過第一象限 B.的充要條件是C若，則或 D.恒過點10.某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面m千米，遠地點B（離地面最遠的點）距地面n千米，并且F、A、B三點在同一直線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a、2b、2c，則（）A B. C. D.11.已知F、為橢圓C：的左、右焦點，直線l：（）與橢圓C交于A，B兩點，軸，垂足為E，BE與橢圓C的另一個交點為P，則（）A.四邊形周長為8 B.的最小值為C.直線BE的斜率為2k D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點與點關(guān)于直線l：對稱，則的值為________．13.已知點，，點滿足直線的斜率之積為，則的最小值為________．14.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，已知，點滿足，則點的軌跡為圓，設(shè)其圓心為，已知直線：經(jīng)過定點，則的面積的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線方程為，若直線過點，且．（1）求直線和直線的交點坐標；（2）已知直線經(jīng)過直線與直線的交點，且在x軸上截距是在y軸上的截距的，求直線的方程．16.已知圓：，圓：（），直線：，：．（1）若圓與圓相內(nèi)切，求實數(shù)m的值；（2）若，被圓所截得的弦的長度之比為，求實數(shù)的值．17.已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且一個焦點到漸近線的距離為2．（1）求雙曲線方程；（2）過點（的直線與雙曲線左、右兩支分別交于兩點，動點M滿足，求點M的軌跡方程．18.如圖，已知拋物線C：（）的焦點F，且經(jīng)過點，．（1）求A點的坐標；（2）直線l交拋物線C于M，N兩點，過點A作于D，且，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．19.《文心雕龍》有語：“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成雙成對的．已知動點P與定點的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（）．設(shè)點P的軌跡為曲線H，若某條直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“齊備直線”．（1）若，求曲線H的方程；（2）若“齊備直線”：與曲線H相交于A，B兩點，點M為曲線H上不同于A，B的一點，且直線MA，MB的斜率分別為，，試判斷是否存在λ，使得取得最小值？說明理由；（3）若，與曲線H有公共點N的“齊備直線”與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點，且N為線段ST的中點，求證：直線與曲線H有且僅有一個公共點．2024年秋學期高二期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷2024.11一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.【答案】AB10.【答案】ABD11.【答案】ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.【答案】13.【答案】-714.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.【解析】【分析】（1）先求直線的方程，聯(lián)立，的方程，解方程組可得交點坐標.（2）設(shè)直線的點斜式方程，利用直線在兩坐標軸上的截距的數(shù)量關(guān)系列方程，可求斜率，得到直線的方程.【小問1詳解】經(jīng)過點且與垂直的直線為：：，即.由.所以直線和直線的交點坐標為：2,1.【小問2詳解】因為直線與兩坐標軸都相交，故斜率一定存在且不為0.設(shè)：.交軸于點：，交軸于點：.由或.所以的方程為：或.16.【解析】【分析】（1）根據(jù)半徑與圓心距的關(guān)系可求實數(shù)的值.（2）根據(jù)弦長的長度之比可得關(guān)于的方程，從而可求實數(shù)的值.【小問1詳解】由題設(shè)可得，，因為圓與圓相內(nèi)切，故，其中，解得.【小問2詳解】到的距離為，到的距離為，故，解得.17.【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線及焦點到漸近線的距離可求基本量，從而可求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后結(jié)合韋達定理可用表示的坐標，從而可求其軌跡.【小問1詳解】因為雙曲線漸近線的方程為：，則，而焦點到漸近線的距離為2，故（為半焦距），故，故，故雙曲線方程為：.【小問2詳解】由題設(shè)可得的斜率必定存在，設(shè)直線，，由可得，因為直線與雙曲線左、右兩支分別交于兩點，故，故，又，而，因，故，所以，故，故，代入后可得，因為，故，故的軌跡方程為：.18.【解析】【分析】（1）由拋物線定義有求，由在拋物線上求m即可得的坐標.（2）令，，，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應用韋達定理，根據(jù)及向量垂直的坐標表示列方程，求k、n數(shù)量關(guān)系，確定所過定點，再由易知在以為直徑的圓上，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由拋物線定義知：，則，故，又在拋物線上，則，可得，故.【小問2詳解】設(shè)，，由（1）知：，所以，，又，故，所以，因為的斜率不為零，故設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，且，所以，，則，，綜上，，當時，過定點；當時，過定點，即共線，不合題意；所以直線過定點，又，故在以為直徑的圓上，而中點為，即為定值，得證.19.【解析】【分析】（1）把點滿足的條件用坐標表示出來，整理化簡即可；（2）把點滿足的條件用坐標表示出來整理可得的方程，利用兩點表示斜率公式求出，進而，結(jié)合基本不等式計算即可求解；（3）由（2）得曲線：，設(shè)，求出點的坐標，進而可得的坐標，代入雙曲線方程，求出的關(guān)系，聯(lián)立雙曲線方程，整理化簡可得一元二次方程，利用即可證明.【小問1詳解】當時，定直線：，比值：.設(shè)，則點到定點的距離與它到定直線的距離之比為，即，兩邊平方，整理得：，即為曲線的方程.【小問2詳解】因為動點P與定點的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（），所以，整理得，即，即為曲線的方程.設(shè)，則，，得，當且僅當即時，等號成立，所以存在使得