2024-2025學(xué)年福建省莆田市莆田二中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省莆田二中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過點(diǎn)(2,?1)，且一個(gè)方向向量為(?1,2)的直線方程為(

)A.x+2y=0 B.2x+y?3=0 C.x?2y?4=0 D.2x?y?5=02.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+aA.60 B.72 C.120 D.1443.已知直線過點(diǎn)(1,2)，且在縱坐標(biāo)上的截距為橫坐標(biāo)上的截距的兩倍，則直線l的方程為(

)A.2x?y=0 B.2x+y?4=0

C.2x?y=0或x+2y?2=0 D.2x?y=0或2x+y?4=04.已知兩點(diǎn)F1(?2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是A.x24+y23=1 B.5.已知曲線y=1+4?x2與直線y=k(x?2)+4有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)kA.(512,43] B.(6.在等比數(shù)列{an}中，a2=2，a4a6?16a5=0，若bn=A.5 B.6 C.7 D.87.德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題：已知點(diǎn)A，B是∠MON的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是OM邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？結(jié)論是：當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大.人們稱這一命題為米勒定理.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知M(1,0)，N(3,0)，點(diǎn)P是直線l：x?y+1=0上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.(12,32) B.(8.設(shè)m∈R，圓M：x2+y2?2x?6y=0.若動(dòng)直線l1：x+my?2?m=0與圓M交于點(diǎn)A，C，動(dòng)直線l2：mx?y?2m+1=0與圓M交于點(diǎn)B，A.303 B.230 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線l1：x+(a?1)y+1=0，直線l2：ax+2y+2=0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.l1在x軸上的截距為?1 B.l2過點(diǎn)(0,?1)且不垂直x軸

C.若l1//l2，則a=?1或a=210.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an=A.Sn=n2 B.1a12+1a22+?+11.若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(a,b)，圓M：x2+y2+2x?4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對(duì)稱，Q(m,n)是圓A.點(diǎn)P在直線x?y?3=0上

B.2m+n的取值范圍是[?5,5]

C.以PM為直徑的圓過定點(diǎn)R(2,?1)

D.若直線PA三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列.若13.一動(dòng)圓M與圓C1：(x+1)2+y214.已知二次函數(shù)y=x2+(2m?3)x?4?11m(m∈R)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(1,3)，圓G過A，B，C三點(diǎn)，存在一條定直線l被圓G四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足：a1=1且a1，a3，2a7?1成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列16.(本小題15分)

已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，邊AC上的高BH所在直線的方程為x?y+8=0，邊AB上的中線CM所在直線的方程為5x?3y?10=0．

(1)求直線AC的方程及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求△ABC的面積．17.(本小題15分)

圓C與直線l：4x?3y+6=0相切于點(diǎn)A(3,6)，且經(jīng)過點(diǎn)B(5,2)．

(1)求圓C的方程；

(2)已知直線l1：mx+y?4m?4=0，

①證明：直線l1與圓C相交；

②求直線l1被圓C18.(本小題17分)

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+2n，數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn=3bn?1+2(n≥2,n∈N?)．

(1)求數(shù)列{an19.(本小題17分)

定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記|MN|的最大值為m，|MN|的最小值為n，若m=2n，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“E?F”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：(x+1)2+(y+1)2=13，P為圓A的“黃金點(diǎn)”

(1)求點(diǎn)P所在曲線的方程．

(2)已知圓B：(x?2)2+(y?2)2=1，P，Q均為圓“A?B”的“鉆石點(diǎn)”．

(ⅰ)求直線PQ的方程．

(ⅱ)若圓H是以線段PQ為直徑的圓，直線l：y=kx+13與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k，在參考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.B

6.B

7.C

8.B

9.ABD

10.AB

11.AC

12.57

13.x214.1315.解：(1)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足a1=1，且a1，a3，2a7?1成等比數(shù)列，

設(shè)公差為d，可得a32=a1(2a7?1)，即(1+2d)2=2(1+6d)?1，

解得d=0或2，則16.解：(1)因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線的方程為x?y+8=0，

所以邊AC所在直線的斜率為?1，

又頂點(diǎn)A(1,1)，

所以邊AC所在的直線方程為y?1=?(x?1)，

聯(lián)立5x?3y?10=0y?1=?(x?1)，解得x=2，y=0，即C(2,0)，

綜上所述，直線AC的方程為x+y?2=0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0)．

(2)設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b)，則M(1+a2,1+b2)，

代入中線CM所在直線的方程5x?3y?10=0，有5×1+a2?3×1+b2?10=0，即5a?3b?18=0，

又B點(diǎn)在直線BH上，所以a?b+8=0，

聯(lián)立5a?3b?18=0a?b+8=0，解得a=21，b=29，即B(21,29)，

所以B到直線AC的距離為BH=|21+29?2|17.(1)解：設(shè)與直線l：4x?3y+6=0垂直的直線方程為3x+4y+c=0，

代入A(3,6)可得：9+24+c=0，解得c=?33，

所以圓C的圓心C所在的直線方程為：3x+4y?33=0上，

設(shè)C(4a+7,3?3a)，因?yàn)閨CA|=|CB|，

即(4a+4)2+(?3?3a)2=(4a+2)2+(1?3a)2，解得a=?12，

則C(5,92)，且圓C的半徑|CB|=52，

所以圓C的方程為(x?5)2+(y?92)2=254；

(2)證明：①對(duì)于直線l1：mx+y?4m?4=0，即m(x?4)+y?4=0，

令x?4=0y?4=0，解得x=4y=4，即直線l1過定點(diǎn)M(4,4)，

且|CM|=(5?418.解：(1)因?yàn)镾n=n2+2n(n∈N?)，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=n2+2n?(n?1)2?2(n?1)=2n+1，

且n=1時(shí)，a1=3也符合上式，

所以an=2n+1；

(2)證明：b1=2，bn=3bn?1+2(n≥2,n∈N?)，

當(dāng)n≥2時(shí)，

因?yàn)閎n=3bn?1+2，

所以bn+1=3bn?1+2+1=3(bn?1+1)，

又因?yàn)閎n+1≠0，

而b1+1=3，

所以數(shù)列{bn+1}是首相為3，公比為3的等比數(shù)列；

(3)因?yàn)閧bn+1}是首相為3，公比為3的等比數(shù)列，

所以bn+1=3?3n?1=3n，

所以cn=an?2bn+1=2n?13n19.解：(1)由題，點(diǎn)P為圓A的“黃金點(diǎn)”，

所以|PA|+33=2(|PA|?33)，

解得|PA|=3，

故點(diǎn)P的軌跡是以A(?1,?1)為圓心，3為半徑的圓，

所以點(diǎn)P所在曲線的方程為(x+1)2+(y+1)2=3；

(2)(ⅰ)由題有，|PB|+1=2(|PB|?1)，

則|PB|=3，即點(diǎn)P在圓(x?2)2+(y?2)2=9上，

所以P是圓(x+1)2+(y+1)2=3和(x?2)2+(y?2)2=9的交點(diǎn)，

因?yàn)镻，Q均為圓“A?B”的“鉆石點(diǎn)”，

所以直線PQ即為圓(x+1)2+(y+1)2=3和(x?2)2+(y?2)2=