26.1 解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路 同步練習(xí)

第二十六章綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題26.1解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路1.某抗美援朝題材電影自上映以來(lái)，贏(yíng)得了觀(guān)眾的贊賞.據(jù)某網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)，截至2022年3月14日，該電影票房收入突破40億元，若平均每張電影票約58元，估計(jì)觀(guān)影人次為（）A.0.69×107 B.6.9×108 C.6.9×107 D.69×1082.(2022湖北宜昌中考)周末，小華和家人到公園游玩.湖邊有大小兩種游船，小華發(fā)現(xiàn)1艘大船與2艘小船一次共可以滿(mǎn)載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿(mǎn)載游客46人，則1艘大船與1艘小船一次共可以滿(mǎn)載游客的人數(shù)為（）A.30 B.26 C.24 D.223.(2021四川自貢中考)已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)解析式為I=13R C.當(dāng)I≤10A時(shí)，R≥3.6Ω D.當(dāng)R=6Ω時(shí)，I=4A4.(2022浙江杭州中考)某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上(如圖).同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)BC=8.72m，EF=2.18m.已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，則AB=m.

5.如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩個(gè)城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在的直線(xiàn)MN的距離AC=2km，BD=4km，已知CD=8km，要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩個(gè)城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為km.

6.把一些蘋(píng)果分給幾個(gè)小朋友，如果每人分5個(gè)，那么還剩2個(gè)蘋(píng)果；如果每人分6個(gè)，那么還缺3個(gè)蘋(píng)果.一共有多少個(gè)蘋(píng)果?[變式]把一些蘋(píng)果分給幾個(gè)小朋友，如果每人分5個(gè)，那么還剩2個(gè)蘋(píng)果；如果每人分6個(gè)，那么最后一個(gè)小朋友分到了蘋(píng)果，但分到的蘋(píng)果不足3個(gè).一共有多少個(gè)小朋友?7.(2022遼寧鐵嶺中考)多功能家庭早餐機(jī)可以制作多種口味的美食，深受消費(fèi)者的喜愛(ài)，在新品上市促銷(xiāo)活動(dòng)中，已知8臺(tái)A型早餐機(jī)和3臺(tái)B型早餐機(jī)需要1000元，6臺(tái)A型早餐機(jī)和1臺(tái)B型早餐機(jī)需要600元.(1)每臺(tái)A型早餐機(jī)和每臺(tái)B型早餐機(jī)的價(jià)格分別是多少元?(2)某商家欲購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的早餐機(jī)共20臺(tái)，但總費(fèi)用不超過(guò)2200元，那么至少要購(gòu)進(jìn)A型早餐機(jī)多少臺(tái)?8.(2022北京門(mén)頭溝期末)“永定樓”是門(mén)頭溝區(qū)的地標(biāo)性建筑，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“永定樓”高度的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).如圖，他們先在點(diǎn)D處用高1.5米的測(cè)角儀AD測(cè)得樓頂M的仰角為30°，然后沿DF方向前行70米到達(dá)點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處測(cè)得樓頂M的仰角為60°.求永定樓的高M(jìn)F.(結(jié)果保留根號(hào))9.(2022北京東城景山學(xué)校期末)某景區(qū)推出銷(xiāo)售紀(jì)念品活動(dòng)，已知每件紀(jì)念品的進(jìn)貨價(jià)為30元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)為40元時(shí)，每天可銷(xiāo)售280件，銷(xiāo)售單價(jià)每增加1元，每天的銷(xiāo)售量將減少10件.(銷(xiāo)售利潤(rùn)=(銷(xiāo)售單價(jià)-進(jìn)貨單價(jià))×銷(xiāo)售量)(1)若該紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)為43元，則每天的銷(xiāo)售量是件，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是元；

(2)求銷(xiāo)售單價(jià)增加多少元時(shí)，該紀(jì)念品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是3450元.10.如圖①是氣勢(shì)如虹的開(kāi)封北門(mén)，也叫安遠(yuǎn)門(mén)，有安定遠(yuǎn)方之寓意.其主門(mén)洞的截面如圖②，上部分可看成是拋物線(xiàn)，下部分可看成是矩形，邊AB為16米，BC為6米，最高處點(diǎn)E到地面AB的距離為8米. 圖① 圖②(1)請(qǐng)?jiān)趫D②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線(xiàn)的解析式；(2)該主門(mén)洞內(nèi)設(shè)雙向行駛車(chē)道，正中間有0.6米寬的雙黃線(xiàn)，車(chē)輛必須在雙黃線(xiàn)兩側(cè)行駛，不能壓雙黃線(xiàn)，并保持車(chē)輛最高點(diǎn)與門(mén)洞有不少于0.6米的空隙(安全距離)，一輛大型貨運(yùn)汽車(chē)裝載某大型設(shè)備后，寬3.7米，高6.6米，這輛貨運(yùn)汽車(chē)能否安全通過(guò)該主門(mén)洞?請(qǐng)說(shuō)明理由.能力提升全練11.(2022北京平谷一模)研究發(fā)現(xiàn)，近視鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(米)成反比例函數(shù)關(guān)系，小明的近視鏡的度數(shù)為400度，焦距為0.25米，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的矯正治療加之注意用眼健康，現(xiàn)在鏡片的焦距為0.4米，則小明現(xiàn)在的近視鏡的度數(shù)為（）A.300度 B.500度 C.250度 D.200度12.(2022北京順義二模)某中學(xué)為積極開(kāi)展校園足球運(yùn)動(dòng)，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A和B兩種品牌的足球，已知一個(gè)A品牌足球的價(jià)格為120元，一個(gè)B品牌足球的價(jià)格為150元.學(xué)校準(zhǔn)備用3000元購(gòu)買(mǎi)這兩種足球(兩種足球都買(mǎi))，并且3000元全部用完，則該校共有種購(gòu)買(mǎi)方案.

13.(2022北京東城一模)我國(guó)古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中提到：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長(zhǎng)損益相同.如圖，從冬至到夏至晷長(zhǎng)逐漸變小，從夏至到冬至晷長(zhǎng)逐漸變大，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量均相同，周而復(fù)始.若冬至的晷長(zhǎng)為13.5尺，夏至的晷長(zhǎng)為1.5尺，則相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為尺，立夏的晷長(zhǎng)為尺.

14.(2022河南中考)教育部印發(fā)的《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái).某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開(kāi)辟了一處耕種園，需要采購(gòu)一批菜苗開(kāi)展種植活動(dòng).據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的54倍，用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)的A種菜苗比在菜苗基地購(gòu)買(mǎi)的少3捆(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格；(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元.學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買(mǎi)A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過(guò)B種菜苗的捆數(shù).菜苗基地為支持該?；顒?dòng)，對(duì)A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠，求本次購(gòu)買(mǎi)菜苗最少花費(fèi)多少錢(qián).15.(2022山東聊城中考)我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱(chēng)為“宋塔唐槐”.數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖所示，當(dāng)無(wú)人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)(點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上)，豎直起飛到正上方45米的E點(diǎn)時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°.已知塔高為39米，塔基B與古槐底D的水平距離為20米，求古槐的高度(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)16.(2022北京中考)單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái).運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線(xiàn)可以看成是拋物線(xiàn)的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0).某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a<0)；(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=-0.04(x-9)2+23.24.記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d2，則d1d2(填“>”“=”或“<”).

素養(yǎng)探究全練17.(2022江西中考)跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分(如圖中實(shí)線(xiàn)部分所示)，落地點(diǎn)在著陸坡(如圖中虛線(xiàn)部分所示)上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過(guò)K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高.2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度OA為66m，基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m，高度為h(單位：m，h為定值).設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c(a≠0).(1)c的值為.

(2)①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)a=-150，b=910，求基準(zhǔn)點(diǎn)K②若a=-150，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過(guò)K點(diǎn)，則b的取值范圍為(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過(guò)K點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

第二十六章綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題26.1解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.C4000000000÷58≈6.9×107.故選C.2.B設(shè)1艘大船一次可以滿(mǎn)載x人，1艘小船一次可以滿(mǎn)載y人，依題意，得x+2y=32①,2x+y=46②,①+②，得3x+33.C設(shè)I=kR(k≠0)，∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，9)，∴k=4×9=36，∴I=36R，∴蓄電池的電壓是36V，∴A，B均錯(cuò)誤；當(dāng)I=10A時(shí)，R=3.6Ω，由題圖知，當(dāng)I≤10A時(shí)，R≥3.6Ω，∴C正確，符合題意；當(dāng)R=6Ω時(shí)，I=6A，∴4.9.88解析∵同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)BC=8.72m，EF=2.18m，∴AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴ABDE=BCEF，即AB2.47=8.722.18，∴AB5.10解析如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，交直線(xiàn)MN于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)AP+PB最小，為A'B的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，易知A'E=6km，BE=8km，在Rt△A'EB中，A'B=62+82=10(km)，則AP6.解析設(shè)一共有x個(gè)小朋友，根據(jù)題意，得5x+2=6x-3，解得x=5，∴5x+2=27.答：一共有27個(gè)蘋(píng)果.[變式]解析設(shè)一共有x個(gè)小朋友，根據(jù)題意，得0<5x+2-6(x-1)<3，解得5<x<8，∵x為整數(shù)，∴x=6或7.答：一共有6個(gè)或7個(gè)小朋友.7.解析(1)解法1：設(shè)A型早餐機(jī)每臺(tái)x元，B型早餐機(jī)每臺(tái)y元，依題意，得8x+3答：每臺(tái)A型早餐機(jī)80元，每臺(tái)B型早餐機(jī)120元.解法2：設(shè)A型早餐機(jī)每臺(tái)x元，則B型早餐機(jī)每臺(tái)(600-6x)元，依題意，得8x+3(600-6x)=1000，解得x=80，600-6x=120.答：每臺(tái)A型早餐機(jī)80元，每臺(tái)B型早餐機(jī)120元.(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A型早餐機(jī)n臺(tái)，依題意，得80n+120(20-n)≤2200，解得n≥5.答：至少要購(gòu)進(jìn)A型早餐機(jī)5臺(tái).8.解析由題意得，AB=70米，CF=1.5米，∠MAC=30°，∠MBC=60°，∴∠AMB=30°，∴∠AMB=∠MAB，∴MB=AB=70米，在Rt△BCM中，∠MCB=90°，∠MBC=60°，∴∠BMC=30°.∴BC=12BM=35米，MC=32BM=353∴MF=CM+CF=(353+1.5)米.答：永定樓的高M(jìn)F為(353+1.5)米.9.解析(1)當(dāng)該紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)為43元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量是280-10×(43-40)=250(件)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是(43-30)×250=3250(元).(2)設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)增加x元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)是(40+x-30)元，每天的銷(xiāo)售量是(280-10x)件，依題意，得(40+x-30)(280-10x)=3450，整理，得x2-18x+65=0，解得x1=5，x2=13.答：銷(xiāo)售單價(jià)增加5元或13元時(shí)，該商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是3450元.10.解析(1)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意可得，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，8)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-8，6)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+8(a≠0)，∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，∴6=(-8)2a+8，解得a=-132∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-132x2+8(2)這輛貨運(yùn)汽車(chē)能安全通過(guò)該主門(mén)洞.理由：3.7+0.62=4，將x=4代入y=-132x2得y=-132×42+8=7.5∵7.5>6.6+0.6，∴這輛貨運(yùn)汽車(chē)能安全通過(guò)該主門(mén)洞.能力提升全練11.C設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=kx(x>0)∵400度的近視鏡的焦距為0.25米，∴k=400×0.25=100，∴反比例函數(shù)的解析式為y=100x當(dāng)x=0.4時(shí)，y=1000.4=250故小明現(xiàn)在的近視鏡度數(shù)為250度，故選C.12.4解析設(shè)購(gòu)買(mǎi)A品牌足球x個(gè)，B品牌足球y個(gè)，依題意，得120x+150y=3000，∴y=20-45x.∵x，y均為正整數(shù)，∴x=5,y=16或x∴該校共有4種購(gòu)買(mǎi)方案.13.1；4.5解析∵相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量均相同，從冬至到夏至晷長(zhǎng)變化12次，∴相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為(13.5-1.5)÷12=1(尺)，立夏的晷長(zhǎng)為13.5-9×1=4.5(尺).14.解析(1)設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是x元，則市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是54x元根據(jù)題意，得300x=30054x+3，經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，且符合題意.答：菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是20元.(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種菜苗m捆，則購(gòu)買(mǎi)B種菜苗(100-m)捆，∵A種菜苗的捆數(shù)不超過(guò)B種菜苗的捆數(shù)，∴m≤100-m，解得m≤50，設(shè)本次購(gòu)買(mǎi)菜苗花費(fèi)w元，∴w=20×0.9m+30×0.9(100-m)=-9m+2700，∵-9<0，∴w隨m的增大而減小，∴m=50時(shí)，w取得最小值，最小值為-9×50+2700=2250.答：本次購(gòu)買(mǎi)菜苗最少花費(fèi)2250元.15.解析如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EH于N，由題意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在Rt△AME中，∠EAM=26.6°，tan∠EAM=EMAM∴AM=EMtan∠EAM=EH?MH∴BH=AM=12米，∵BD=20米，∴DH=BD-BH=8(米)，∴CN=8米，在Rt△ENC中，∠ECN=76°，tan∠ECN=ENCN∴EN=CN·tan∠ECN≈8×4.01=32.08(米)，∴CD=NH=EH-EN=12.92≈13(米)，答：古槐的高度約為13米.16.解析(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8，23.20)，∴h=8，k=23.20，即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m，將(0，20.00)代入y=a(x-8)2+23.20得，20.00=a(0-8)2+23.20，解得a=-0.05，∴函數(shù)關(guān)系式為y=-0.05(x-8)2+23.20.(2)設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)，著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，t=-0.05(x-8)2+23.20，解得x=8+20(23.20?t)