第一章 直角三角形的邊角關(guān)系（壓軸21題專練）

第1章直角三角形的邊角關(guān)系（壓軸題專練）題型1：解直角三角形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題1．如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊所在的直線上時(shí)，線段的長為．

2．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折疊得到，連接.若于點(diǎn)，，則的長為．

3．如圖，將邊長為的等邊折疊，折痕為，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，和分別交于點(diǎn)M、N，，垂足為D，，則重疊部分的面積為．

4．已知等腰，．現(xiàn)將以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45°，得到，延長交直線于點(diǎn)D．則的長度為．5．如圖，在菱形中，，、分別在邊、上，將四邊形沿翻折，使的對應(yīng)線段經(jīng)過頂點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的值為．

題型2：解直角三角形有關(guān)的綜合判斷問題6．如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點(diǎn)，在上截取，連接，分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是，其中所正結(jié)論的序號(hào)是

7．如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②若F是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．

8．將一張正方形紙片對折，使與重合，得到折痕后展開，E為上一點(diǎn)，將沿所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕上的點(diǎn)F處，連接，，，則得下列結(jié)論：①是等邊三角形；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④9．如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)10．如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③；④．上述結(jié)論中正確的序號(hào)是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④題型3：解直角三角形在相似三角形中的應(yīng)用11．如圖，是等邊三角形，射線在右側(cè)，，點(diǎn)B、E關(guān)于直線對稱，連接、，且交射線于點(diǎn)D，連接并延長交射線于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，延長到G，使（如圖2），隨著m的變化，判斷的形狀是否變化，并說明理由；(3)在m變化過程中，若，，求線段的長．12．如圖，在等腰中，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以為底邊作等腰，使得，聯(lián)結(jié)．

(1)求邊的長；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，記線段的長為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；(3)當(dāng)取何值時(shí)，是直角三角形．13．如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)A在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的值．14．在中，已知，作，D是上一點(diǎn)，，連接、，在上截取，連接．(1)如圖1所示，若，，求的周長；(2)如圖2所示，若分別取、的中點(diǎn)N、H，連接、，求證：；(3)如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點(diǎn)P，N為中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請直接寫出的面積．題型4：解直角三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用15．是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，（），，交邊于點(diǎn)，，連接．

(1)如圖，當(dāng)時(shí)，①求的度數(shù)；②若，，請直接寫出的長；如圖，當(dāng)時(shí)，若，，求的面積．16．用四根一樣長的木棍搭成菱形，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合），在射線上取一點(diǎn)，連接，，使．操作探究一

(1)如圖1，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)在菱形外時(shí)，在射線上取一點(diǎn)，使，連接，則，操作探究二(2)如圖2，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)在菱形外時(shí)，在射線上取一點(diǎn)，使，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓展遷移在菱形中，，．若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在射線上，且當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長．17．綜合與實(shí)踐【問題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“折疊矩形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．已知，在矩形中，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．

【操作發(fā)現(xiàn)】操作一：如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，試判定四邊形的形狀，并說明理由；操作二：如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，______；操作三：如圖③，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，延長交于點(diǎn)，連接，則______．18．平移，翻折和旋轉(zhuǎn)是幾種重要的幾何變換方法，它們可以通過改變圖形的位置，使分散的條件集中，從而便于問題解決．

(1)知識(shí)理解：如圖1，中，，，將向右平移，使B與C重合，得，連接，則四邊形是形；(2)問題探究：如圖2，E是正方形的邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是延長線上的點(diǎn)，，若，直接寫出正方形的邊長；（不用書寫解答過程，但需在圖中作出必要的輔助線）(3)拓展應(yīng)用：中，，，，延長至E，使，作，與交于G，當(dāng)時(shí)，求的值．題型5：解直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用19．把兩個(gè)等腰直角三角形紙片和放在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖1所示的位置時(shí)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求旋轉(zhuǎn)角的值；(2)如圖2，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)．①求證：；②求的長；當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的度數(shù)最大時(shí)，直接寫出的面積．20．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)B，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，，記旋轉(zhuǎn)角為α．(1)如圖1，若，連接，求的長度；(2)如圖2，若，求的坐標(biāo)并直接寫出的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，邊上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，請直接寫出的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．如圖，在坐標(biāo)系中的，點(diǎn)、在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，，是的中點(diǎn)．

(1)求直線的表達(dá)式；(2)如圖，若、分別是邊，的中點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)都在的邊上，若，，將矩形沿射線向右平移，設(shè)矩形移動(dòng)的距離為，矩形與重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，請直接寫出平移距離的值；(3)如圖，在（2）的條件下，在矩形平移過程中，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)停止平移，再將矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，此時(shí)矩形記作，由向軸作垂線，垂足為，請計(jì)算的值．

第1章直角三角形的邊角關(guān)系（壓軸題專練）題型1：解直角三角形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題1．如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊所在的直線上時(shí)，線段的長為．

【答案】或或【分析】分四種情況討論．①如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，在中，，，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得；②如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，可得，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，證明，則，設(shè)，可得，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，則，即，解得，得到點(diǎn)與點(diǎn)重合，則；③當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是矩形，可得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，得到，再利用勾股定理可得結(jié)論；④當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，得到，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，解得，則，得到，繼而推出點(diǎn)在線段的延長線上，可得結(jié)論．【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴，在中，，，∴；

②當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，，，∴，，∴，設(shè)，∴，，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴；

③當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，，，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，∴，∴；

④當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)在線段的延長線上，不符合題意；綜上所述，的長為或或．故答案為：或或．

【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，運(yùn)用了分類討論的思想．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折疊得到，連接.若于點(diǎn)，，則的長為．

【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，得到，從而推導(dǎo)出，由三角形中位線定理得到，從而推導(dǎo)出，得到四邊形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．【解析】解：取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．∵，為的中點(diǎn)，∴，，．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，則于點(diǎn)，

設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，∵，∴，，又由折疊得，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，∵是的中位線，∴，，∴，由折疊知，，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，且，∴，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．在中，，∴，解得：，∴，，即，，在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)邊長，根據(jù)勾股定理列方程求解．3．如圖，將邊長為的等邊折疊，折痕為，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，和分別交于點(diǎn)M、N，，垂足為D，，則重疊部分的面積為．

【答案】【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，根據(jù)折疊得出，，求出，，根據(jù)得出答案即可．【解析】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，如圖所示：

∴，∵為等邊三角形，∴，，根據(jù)折疊可知，，，∵，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴∴，在中，∵，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合．4．已知等腰，．現(xiàn)將以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45°，得到，延長交直線于點(diǎn)D．則的長度為．【答案】或【分析】分兩種情況：①當(dāng)繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)B作于D，作的垂直平分線交于H，交于F，連接，先求出，再求出，，進(jìn)而得，，據(jù)此可求得的長；②當(dāng)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到，過點(diǎn)D作于M，作的垂直平分線交于Q，先求出，設(shè)，則，，進(jìn)而可求得，，據(jù)此可求出x，進(jìn)而可求得的長．【解析】解：∵將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到，∴有以下兩種情況：①當(dāng)繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)B作于E，作的垂直平分線交于H，交于F，連接，∵為等腰三角形，，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，又∵，即，∴.在中，，∴，∴，由勾股定理得：，∵為的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，故：，由勾股定理得：，∴；②當(dāng)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到，過點(diǎn)D作于M，作的垂直平分線交于Q，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，在中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，∵為的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∵，∴，∴，

即．綜上所述：的長度為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)變換，理解在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，分類討論是解答此題的難點(diǎn)，漏解是解答此題的易錯(cuò)點(diǎn)之一．5．如圖，在菱形中，，、分別在邊、上，將四邊形沿翻折，使的對應(yīng)線段經(jīng)過頂點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的值為．

【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，由垂直定義及同角的余角相等可得，利用折疊的性質(zhì)，得出，可設(shè)，則，，，，由，設(shè)，則，，求得，進(jìn)而得到，，從而可得答案．【解析】解：菱形，，，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，即，由折疊可知，，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)，正確表示出和的長是解題關(guān)鍵．題型2：解直角三角形有關(guān)的綜合判斷問題6．如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點(diǎn)，在上截取，連接，分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是，其中所正結(jié)論的序號(hào)是

【答案】①②④【分析】先根據(jù)定理證出，從而可得，再根據(jù)角的和差即可判斷結(jié)論①；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差、等量代換即可判斷結(jié)論②；先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)可得，求解，由此即可判斷結(jié)論③；過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，然后解直角三角形即可得判斷結(jié)論④．【解析】解：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，即，結(jié)論①正確；平分，，，，，，，，，結(jié)論②正確；，，∴，∴，即，故結(jié)論③錯(cuò)誤；如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

平分，，，，，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，由垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)在中，，即的最小值是，結(jié)論④正確；綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，較難的是④，利用兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短得出當(dāng)時(shí)，取最小值是解題關(guān)鍵．7．如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②若F是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．

【答案】①③/③①【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，在中，由勾股定理，即可證明①；過A作，交延長線于G，由（1）同理可得，，設(shè)，則可表示出設(shè)，在中，由勾股定理可得，設(shè)，則，即可證明②；根據(jù)條件可證明，進(jìn)而證明，即可證明③．【解析】解：①將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

∵，∴，∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，又∵，∴，∴，而，在中，，∴，故①正確；②過A作，交延長線于G，如圖：

由（1）同理可得，，∴，設(shè)，∵F是的中點(diǎn)，則，在中，，∴，解得，設(shè)，則，∴，在中，，∴，故②不正確；③∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，故③正確，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理和正確作輔助線是解決此類題的關(guān)鍵．8．將一張正方形紙片對折，使與重合，得到折痕后展開，E為上一點(diǎn)，將沿所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕上的點(diǎn)F處，連接，，，則得下列結(jié)論：①是等邊三角形；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】①由折疊的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出是等邊三角形，①正確；②設(shè)，則，求出，再求出即可得出②正確；③分別求出的面積和正方形的面積得出③錯(cuò)誤；④證明得出④正確；即可得出結(jié)論．【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，，，由折疊的性質(zhì)得：垂直平分，，，，，，∴，∴，即是等邊三角形，①正確；設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，，，∴，∴，②正確；∵的面積，正方形的面積，∴，③錯(cuò)誤；∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，④正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，證明是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③當(dāng)時(shí)，A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)題意可得，則，即，又,即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，即可判斷②；過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)②的結(jié)論求得，勾股定理求得，即可判斷③．【解析】∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正確；設(shè)正方形的邊長為，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正確；∵，∴,如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，

又∵，∴四邊形是矩形，∵是的角平分線，∴，∴四邊形是正方形，∴∵∴設(shè)，則在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③；④．上述結(jié)論中正確的序號(hào)是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】②證明得出，，證明得出，，可得四邊形是菱形，即可判斷②；證明是等腰直角三角形，可得，設(shè)，則，進(jìn)而求得，即可判斷③；連接，根據(jù)為的中點(diǎn)，可得，根據(jù)得出，進(jìn)而判斷④,①根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，而＞，求得＞，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，故①錯(cuò)誤．【解析】②在中，，∴，∵平分，∴∴∵∴，∴∴∵∴又∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，又∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故②正確；③∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴設(shè)，則∴∴，故③正確；④連接，∵在中，，，∴，

∵和等底同高，∴，∵∴，∴，∴，故④正確．①∵四邊形是菱形，∴∵，∴，即又∵，即∵是的角平分線，∴，而＞，∴＞，∴，故①錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型3：解直角三角形在相似三角形中的應(yīng)用11．如圖，是等邊三角形，射線在右側(cè)，，點(diǎn)B、E關(guān)于直線對稱，連接、，且交射線于點(diǎn)D，連接并延長交射線于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，延長到G，使（如圖2），隨著m的變化，判斷的形狀是否變化，并說明理由；(3)在m變化過程中，若，，求線段的長．【答案】(1)(2)形狀不變，等邊三角形，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，，從而求得，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可得，再將代入求解即可；（2）由（1）得，，則，從而可得，可證，可得，，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，利用銳角三角函數(shù)求得，，再利用勾股定理求得，再利用銳角三角函數(shù)即可求解．【解析】（1）解：∵點(diǎn)B、E關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，；（2）解：形狀不變，等邊三角形，理由如下：由（1）得，，則，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，在中，，，∴是等邊三角形，形狀不變；

（3）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，由（2）可得，，∵，∴，，又∵，∴，在中，，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在等腰中，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以為底邊作等腰，使得，聯(lián)結(jié)．

(1)求邊的長；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，記線段的長為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；(3)當(dāng)取何值時(shí)，是直角三角形．【答案】(1)12(2)(3)或20【分析】（1）如圖1中，過作于，解直角三角形求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）首先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出（用表示），即可解決問題；（3）分兩種情形和．分別求解即可解決問題；【解析】（1）解：如圖1中，過作于F，則，設(shè)，，；（2）如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)．

∵，，，∴，，，，，，（3）當(dāng)時(shí)，，如圖2中，當(dāng)時(shí)，作于．綜上所述，滿足條件的的值為或20．

【點(diǎn)睛】本題屬于相似三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題13．如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)A在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）求出，延長交于點(diǎn)F，在中，由直角三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而求得的長，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求出案．（3）如圖所示，以為邊在上方作，，連接，，同（1）可得，得到求出的長，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，得到，利用正切的定義即可得出答案．【解析】（1）解：在中，，在中，，，∴，，∴，∴，．∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：在，，，，∴，，延長交于點(diǎn)F，如圖所示，

∵，∴，∴，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，即；（3）如圖所示，以為邊在上方作，使，則：，

同（1）可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．在中，已知，作，D是上一點(diǎn)，，連接、，在上截取，連接．(1)如圖1所示，若，，求的周長；(2)如圖2所示，若分別取、的中點(diǎn)N、H，連接、，求證：；(3)如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點(diǎn)P，N為中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請直接寫出的面積．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）如圖，過作于，證明，求解，可得，，再證明，，證明，，可得，從而可得答案；（2）如圖，連接，，，由（1）同理可得：，證明，是的垂直平分線，在的垂直平分線上，，，共線，再證明，，為等邊三角形，可得；（3）如圖，為定點(diǎn)，當(dāng)且在的左側(cè)時(shí)，最短，證明，，，共線，為等腰直角三角形，可得，求解，可得，設(shè)，同理可得：，，再建立方程，求解x從而可得答案．【解析】（1）解：如圖，過作于，∵，，∴，∵，而，∴，，∴，，∵，，，∴，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴的周長為：；（2）如圖，連接，，，由（1）同理可得：，∵，，∴，是的垂直平分線，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴設(shè)，，∴在的垂直平分線上，∵，為的中點(diǎn)，∴，是的垂直平分線，∴，，共線，∴，同理：，∴，，∴，∵、的中點(diǎn)為N、H，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴；（3）如圖，為定點(diǎn)，當(dāng)且在的左側(cè)時(shí)，最短，由（1）（2）同理可得：，，，，，共線，∵，關(guān)于直線對稱，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，結(jié)合對稱可得：，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，同理可得：，，∴，∴，∴，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，解直角三角形，本題難度較大，考查的知識(shí)點(diǎn)多，靈活應(yīng)用各知識(shí)點(diǎn)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．題型4：解直角三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用15．是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，（），，交邊于點(diǎn)，，連接．

(1)如圖，當(dāng)時(shí)，①求的度數(shù)；②若，，請直接寫出的長；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，若，，求的面積．【答案】(1)；；(2)．【分析】（）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得，即可；延長至，使，連接，，證明，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理，得，再代入計(jì)算即可；（）如圖，連接，先證明，得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，根據(jù)三角形相似對應(yīng)邊成比例即可求得．【解析】（1））如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∵，∴菱形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；由①中結(jié)論：是等腰直角三角形，則，∴，如圖所示，延長至，使，連接，，

∵菱形是正方形，∴，，∴，∴，，∵是等腰三角形，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，在中，∴，解得，即，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故的長為；（2）如圖，連接，

∵四邊形是菱形，∴，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∵，，∴，∵∴，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，解得，同理可得，∴，解得，∴，∴的面積．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．16．用四根一樣長的木棍搭成菱形，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合），在射線上取一點(diǎn)，連接，，使．操作探究一

(1)如圖1，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)在菱形外時(shí)，在射線上取一點(diǎn)，使，連接，則，操作探究二(2)如圖2，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)在菱形外時(shí)，在射線上取一點(diǎn)，使，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓展遷移(3)在菱形中，，．若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在射線上，且當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)的長度為或【分析】（1）證明得到，，從而得到，推出為等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）證明得到，，從而得到，作交于，則，，根據(jù)含角的性質(zhì)及勾股定理得出，從而得到；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)；利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角形函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解析】（1）解：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，故答案為：，；（2）解：，理由如下：四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，，，，，，，如圖，作交于，則，，

在中，，，，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)，，，為等腰直角三角形，，四邊形是菱形，，，，，，由菱形的對稱性及可得，在中，，，，，，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

設(shè)，同①可得：，，，，，綜上所述，的長度為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．17．綜合與實(shí)踐【問題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“折疊矩形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．已知，在矩形中，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．

【操作發(fā)現(xiàn)】操作一：如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，試判定四邊形的形狀，并說明理由；操作二：如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，______；操作三：如圖③，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，延長交于點(diǎn)，連接，則______．【答案】操作一：菱形，理由見詳解操作二：操作三：【分析】操作一：由折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得，易得，即可證明，即可證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”即可證明四邊形為菱形；操作二：由折疊的性質(zhì)可得，，，在中，由勾股定理可解得，易得，設(shè)，則，在中，由勾股定理列式求解即可獲得答案；操作三：結(jié)合矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，在中，由勾股定理可解得，在中，可求得的值．【解析】解：操作一：四邊形的形狀為菱形，理由如下：根據(jù)題意，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形；操作二：∵四邊形為矩形，，，∴，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，∴在中，，∴，設(shè)，則，∴在中，，即，解得，∴．故答案為：；操作三：∵四邊形為矩形，，，∴，，，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，，∴，，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，，∴在中，可有，即，解得，，∴在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．平移，翻折和旋轉(zhuǎn)是幾種重要的幾何變換方法，它們可以通過改變圖形的位置，使分散的條件集中，從而便于問題解決．

(1)知識(shí)理解：如圖1，中，，，將向右平移，使B與C重合，得，連接，則四邊形是形；(2)問題探究：如圖2，E是正方形的邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是延長線上的點(diǎn)，，若，直接寫出正方形的邊長；（不用書寫解答過程，但需在圖中作出必要的輔助線）(3)拓展應(yīng)用：中，，，，延長至E，使，作，與交于G，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)正方(2)6(3)【分析】（1）由題意易得四邊形是矩形，然后根據(jù)正方形的判定定理可進(jìn)行求證；（2）過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，然后由題意易得，則有，設(shè)，則，然后可建立方程進(jìn)行求解；（3）作平分，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)J，則有，然后可得，設(shè)，則有，，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可建立方程進(jìn)行求解．【解析】（1）解：四邊形是正方形，理由如下：由向右平移，使B與C重合，得，可知：，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形；故答案為正方；（2）解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形是正方形，∴，∵E是正方形的邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴在中，，即，∵，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴在中，由勾股定理可得，解得：（負(fù)根舍去），∴，即正方形的邊長為6；（3）解：作平分，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)J，如圖所示：

∵，∴，∵，，平分，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則有，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，即，，∵，∴，整理得：，解得：，由題可知只有符合題意，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)與判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握平移的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)與判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．題型5：解直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用19．把兩個(gè)等腰直角三角形紙片和放在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖1所示的位置時(shí)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求旋轉(zhuǎn)角的值；(2)如圖2，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)．①求證：；②求的長；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的度數(shù)最大時(shí)，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)①見解析；②(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，從而得到，即可得到答案；（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，從而得到，即可得證；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得，，，，從而即可得到答案；（3）當(dāng)時(shí)，的度數(shù)最大，此時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明即可得到答案．【解析】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，由已知得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，，∵，，∴旋轉(zhuǎn)角的值為；（2）①證明：是等腰直角三角形，，，，，；②如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，在中，，，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：6，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)最大，此時(shí)，如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)