2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法練習(xí)題：空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

基礎(chǔ)扁

考點(diǎn)一用向量法證明空間中的平行和垂直

1.（2021廣東佛山月考,3）直線l//a,且/的方向向量為（2,孫1）,平面?的法向量為

（對(duì),2）,則/片（）

A.-4B.-6C.-8D.8

答案C

2.（2022福州一中質(zhì)檢,4）以下四組向量在同一平面的是（）

A.(l,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)

B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)

C.(l,2,3)s(1,3,2)、(2,3,1)

D.(l,0,0)>(0,0,2)、(0,3,0)

答案B

3.

（多選）（2022廣東中山一中階段測(cè)試，10）如圖，兩個(gè)正方形48co和歷所在平面互

相垂直，設(shè)MN分別是4c和4E的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是（）

A.AD1.MNB.MN〃平面CDE

C.MN〃CED.MMCE異面

答案ABC

4.（多選）（2021新高考I,12,5分）在正三棱柱A8C-A向G中,48=44尸1,點(diǎn)4滿足

前=入配+〃西，其中2￡[0,1],則（）

A.當(dāng)拄1時(shí)，△A8/的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃二1時(shí),三棱錐P-AiBC的體積為定值

C.當(dāng)月時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得MPLBP

D.當(dāng)44時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A18_L平面ABF

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答案BD

5.(2023屆南京、鎮(zhèn)江學(xué)情調(diào)查，19)如圖,在四棱錐S-AI3CD中，底面ABCD是直角梯形,

側(cè)棱^4_1_底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=\,M是棱SB的中點(diǎn).

(1)求證:AM〃平面SCD;

(2)求平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值.

解析因?yàn)镾A_L底面ABCD,A8垂直于AD,所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量而，而，無(wú)

的方向分別為X

軸、)，軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則

4(0,0,0),C(2,2,0),D(l,0,0),S(0,0,2),M(0J1),所以宿二(0,1,1),歷二(1,0,-

2),而=(-1,-2,0).

(1)證明：設(shè)平面SCD的法向量為n=(x,y,z),

令z=l,則x=2,y=-1,則/?=(2,-1,1).

因此福?/T=-1+1=0,從而而J_〃，又AMC平面SCD,所以AM〃平面SCD.

(2)易知平面SAB的一個(gè)法向量為/7i=(l,0,0),

由⑴知平面3C7)的一個(gè)法向量為/7=(2,-1,1),

則cos</7,m>=nrh=高=￡所以平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為培

MIMilv6xl33

6.(2022南京一中期初測(cè)試,20)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形,24_L底面

ABCD,PA=AB,點(diǎn)E在梭PD上,旦2PE=ED,點(diǎn)、尸是極PC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)).

(1)若尸是棱PC的中點(diǎn),求證:P8〃平面AEF;

(2)求PA與平面4E尸所成角的正弦值的最大值.

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p

E

解析因?yàn)樗睦忮F?ABC。的底面為正方形,PA_L底面ABC。,

所以AB,AD,AP兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以而,AD,Q的方向?yàn)閤軸,)，軸,z軸

的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)vvz,如圖所示.

不妨設(shè)PA二AB=6,則8(6,0,0),P(0,0,6),￡(0,2,4),C(6,6,0),0(0,6,0).

(1)證明:荏=(0,2,4),因?yàn)槭抢釶C的中點(diǎn)，所以尸(3,3,3),所以而=(3,3,3).

設(shè)平面AEF的法向量為*(x,y,z),則由空一J

m-AF=0,

得像+3yZi=0,不妨令尸2,則日,z=-l,

所以〃尸(-1,2,-1),又麗=(6,0,-6),所以濟(jì)麗=-6+0+6=0,即/〃_L而,

又P8C平面AEF,所以P8〃平面AEF.

(2)PC=(6,6,-6),設(shè)PA與平面AE尸所成的角為仇

PF=APC=(62,6x,-6/1),0<2<1,則而=AP+PF=AP+APC=(62,6i,66),

設(shè)平面AEF的法向量為n=(a,Ac),

則叱慧熱像法就(6.〃…

不妨令〃=2,則6F=I-3,c=-l,所以/?=Q-3,2,-1),又Q=(0,0,6),

所以sin6=\cos<AP,二6_1

零:"=6J5+(i-3)2J5+(b3)2

所以當(dāng)9=3,即時(shí)，(sine)max=+—

A3V55

故PA與平面AEf所成角的正弦值的最大值為哼.

7.(2017天津，17,13分)如圖，在三棱錐P-48C中，P4_L底面48C,NBAC=90°.點(diǎn)D,E,N

分別為棱/%,〃C,BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，/乂=AC=4,AD=2.

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ICOS麗屈＞!=§§=焉為=%整理得M⑵〃+8=0,解得Y或吟

所以線段A"的長(zhǎng)為g或!.

OL

考點(diǎn)二空間角和空間距離

考向一空間角問(wèn)題的求解方法

1.（2022湖南婁底雙峰一中摸底,8）如圖,在正方體A3CQ-A出GOi中,M為4。的中點(diǎn),

過(guò)AG且與平行的平面交平面GCM于直線/,虹直線/與43所成角的余弦值是

（）

A3B.迎C3D.在

2243

答案D

2.（2022重慶江津質(zhì)檢,5）如圖，二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線4C、8。分別在這個(gè)

二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AI3,已知AB=4,AC=6tBD=8,CD=2y/17,則該二面

角的大小為（）

A.30。B.450C.60°D.900

答案C

3.（多選）（2023屆浙江嘉興基礎(chǔ)測(cè)試，10）如圖,在

正四面體48C。中，E、廣分別為AB、C。的中點(diǎn)，則（）

A.直線EF與AB所成的角為三

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B.直線石尸與AO所成的常為？

4

C.直線EF與平面8c。所成的角的正弦值為當(dāng)

D.直線EF與平面48。所成的角的正弦值為日

答案ABC

4.（多選）（2022重慶涪陵高級(jí)中學(xué)沖刺卷二，12）在四棱銖P-ABCD中,底面A8C。是正

方形，PO_L平面A8CD,點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，PD=A8,則（）

A.AC1PB

B.直線AE與平面PAB所成角的正弦值是?

C.異面直線AD與PB所成的角是：

D.四棱錐P-48CO的體積與其外接球的體積的比值是野

9n

答案ABD

5.（2020天津,17,15分）如圖，在三棱柱ABC-A山?中,CC[_L平面A坎:,AC_L

BC,AC=BC=2,CG=3,點(diǎn)E分別在棱A4,和棱CG上，且AD=\,CE=2,M為棱4⑸的

中點(diǎn).

⑴求證:GM_L5Q;

（2）求二面角的正弦值；

（3）求直線AB與平面。小E所成角的正弦值.

解析

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以c為原點(diǎn)，分別以石5,而，西的方向?yàn)椴惠S,)，軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

(如圖)，可得

C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,2,0),G(0,0,3)Mi(2,0,3),Bx(0,2,3),。(2,0,l),￡(0,0,2)

,M(1,1,3).

(1)證明：C^M=(1,1,0),B^D=(2,-2,-2),從而的?瓦方=2-2+0=0,所以GMJ-辦O.

(2)依題意知,G4=(2,0,0)是平面BBiE的一個(gè)法向量，西=(0,2,1),前=(2,0,-1).設(shè)

n=(x,y,z)為平面DBF的法向量,貝喈崇A"即-z=:'不妨設(shè)日，可得

/?=(1,-1,2).因此有cos<G4,〃>=蒜；=*于是sin<c3,〃>二詈.

所以二面角8小於-。的正弦值為尊.

6

⑶費(fèi)=(-2,2,0).由⑵知/戶(1,-1,2)為平面。5石的一個(gè)法向量,于是

coa<AB,/>=黑：=

iwimi3

所以直線A4與平面E所成角的正弦值為整.

考向二利用等體積法、向量法求空間距離

1.(2022湖北七校聯(lián)合體聯(lián)考,6)在直三棱柱ABC-A^C,中，底面是等腰直角三角形，Z

ACB=90°,側(cè)棱AA=3,E分別是CG與A山的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是

的重心G,則點(diǎn)4到平面48。的距離為()

A.V6B.—C.—D.2V6

23

答案A

2.(多選)(2023屆重慶南開(kāi)中學(xué)月考，11)在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-AIBICID,中，

點(diǎn)P在棱。。上運(yùn)動(dòng)(不與頂點(diǎn)重合)，則點(diǎn)B到平面力。出的距離可以是()

A.V2B.V3C.2D.V5

答案CD

3.(2022湖南株洲質(zhì)檢，13)正方體八8。。//《。1的棱長(zhǎng)為1,七,廠分別為88,。。的中

點(diǎn),則點(diǎn)〃到平面4D歸的距離為.

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4.（2022新高考I,19,12分）如圖，直三棱柱A3GA/Ci的體積為4,的面積為

2夜.

（1）求A到平面4BC的距離；

⑵設(shè)。為AC的中點(diǎn),A4尸48,平面A4CJL平面ABB',求二面角A-BD-C的正弦值.

解析⑴由題意知&梭gTBC=/三棱柱ABCT出QT設(shè)A到平面人質(zhì)的距離為

h，則匕棱錐&-48C=V三楂錐A-&B。=卻M8C.h=苧h=3,解得h=a,故A到平面

AI8C的距離為a.

⑵連接A氏，由直棱柱及AA^AB知四邊形A88A為正方形,故人歷_1_4由,A由二&A4,

又平面A|8C_L平面ABB\Ah平面ABCTl平面ABB\A\=A}B,ABg平面ABB\A\,

1?AB」平面48C,乂BCu平面A|8C,

???AS_L8C,

易知BCA.BB\tABuBBC平面ABB\A{tASABC,??.8CJ_平面ABB\A\y

TAB,二平面AB囪Ai,

：.BClABtBCLA\B,

?"三棱柱ABI出G=1BCTB?"1=”C?四=4,S.BC/BC.A1B=華BC.

AA1=2V2,

解得BC=AAi=2.

解法一（幾何法）：過(guò)A作AE_L8。于￡連接CE易得AC=2&,??.AC=2V5.

???。為AC的中點(diǎn)，z\A3c為直角三角形，ZA|/\C=90<,,：.AD=DC=^3,又

AB=BC=2fBD=BD,

/XABD^/XCBD.

：?CELBD,又AEu平面ABD,CEu平面CBD,

:./4EC為二面角A-BD-C的平面角.

在直角三角形A山。中，有BD=^A1C=V3,

易得?5瓜

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在中，由余弦定理的推論得即二面

"EC2AEEC2sin2

角A-8D-C的正弦值為當(dāng)

解法二（向量法）：以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA,BBi所在直

線分別為x軸,），軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),0(1,1,1),前二(0：2,0),麗=(1,1,1),而二(-1,1,1),

設(shè)平面ABD的法向量為/7i=(xi,v，zi),

貝喘；二泗有:…

取X1=1,則Z1=-1,故/?1=(1,0,-1),

設(shè)平面BDC的法向量為必=(必)*zj,

(JD-n2=0,(x2+y2+z2=0,

則局./2=0*一必+%+22=。，

?。?2=1,則Z2=-1,也=0,故3二(0,1,-1),

.”、11..、6

??COS<??|,Z?2>=^=—=-...Sin<Z?|,^2>=—>

???二面角A-BD-C的正弦值為

5.(2022廣東茂名檢測(cè)，18)如圖，直三棱柱A8C-4囪G的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角

形,E,尸分別是BC,CG的中點(diǎn).

(1)求證:平面AE尸JL平面BiBCCi；

(2)若NE/C=30。,求點(diǎn)C到平面AE廠的距離.

解析⑴證明：在直三棱柱ABCA/iG中，88」平面A8C,又TAEu平面ABC,...AE

_L町

???/\ABC為等邊三角形,E為8c的中點(diǎn)，???AEJ_BC,

第9頁(yè)共40頁(yè)

又?：BBCROB,BB\,AC平面B/CG,

，越3_平面BiBCG,

TAEu平面，平面平面B}BCC\.

⑵在RSE/C中，ZEFC=30°,EC=1,；.EF=2,FC=6.設(shè)點(diǎn)、C到平面AE尸的距離為d,

由（1）知AEL^BiBCG,

則由VA-EFC=VC-AEF,BP；..4F?；-FC?FC=；?d-^AEEF,解得d等.

>54<54乙

6.（2022江蘇漣水一中測(cè)試，18）如圖l,A。,8C是等腰梯形CQM的兩條

高,AD=AE=CD=2fM是線段AE的中點(diǎn),將該等腰梯形沿著兩條高AD,8c折疊成如

圖2所示的四棱錐P-ABCD（E,尸重合，記為點(diǎn)P）.

（1）求證:8M_LOP;

⑵求點(diǎn)M到平面BDP的距離h.

解析（I）證明：因?yàn)锳O_LE尸,所以ADLAP,ADlABy又APC]AB=A,AP,AI3P,

所以AO_L平面A8P.因?yàn)锽Mu平面ABP,所以AD1I3M.

由已知得,AB=AP=BP=2,所以"BP是等邊三角形，

乂因?yàn)辄c(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，所以BMLAP.

因?yàn)锳DGA尸一A,A。，A尸u平面ADP,

所以8必，平面4。戶.

因?yàn)槠矫鍭DP,所以BMLDP.

（2）取8P的中點(diǎn)N,連接。N,

因?yàn)锳O_L平面ABP,AB=AP=AD=2t

所以DP=BD=2y/2,所以DN1BP.

所以在RtADPN中,DN=>JDP2-PN2=V8^1=近，

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所以SADB￡BP-D/V=；X2XV7=V7,

2.x

因?yàn)锳D_L平面ABP,所以VD-B^ADS^MP，

因?yàn)閂MBDP=VD-BMP>所以;九?S△BDP=[ADSABMP,

又SABMP^S△ABP=；x，xAB2=?x22=

224o2

所以h=A?BMP=嚕=浮,即點(diǎn)M到平面BDP的距離為浮

SRBDPV777

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細(xì)口扁

考法一求解直線與平面所成角的方法

考向一用幾何法求直線與平面所成的角

1.（多選）（2022新高考I,9,5分）已知正方體/旬04歷0。，貝1]（）

A.直線BCi與DAt所成的角為90°

B.直線BCx與CA所成的角為90°

C.直線BCx與平面BBiOQ所成的角為45°

D.直線BG與平面ABCD所成的角為45°

答案ABD

2.（2013山東,4,5分）已知三棱柱A8G486的側(cè)棱與底面垂直，體積為:，底面是邊長(zhǎng)

為百的正三角形.若P為底面A由iG的中心，則PA與平面A8c所成角的大小為（）

A.—B.-C.-D.-

12346

答案B

3.（2014四川,8,5分）

如圖,在正方體A4CQ-4防中，點(diǎn)。為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CG上,直線

OP與平面48。所成的角為凡貝ijsina的取值范圍是（）

11

A.停,1]償,1]

C停當(dāng)D.殍,1]

答案B

4.（2022全國(guó)甲，理7,文9,5分）在長(zhǎng)方體ABCDABCQ中,己知B\D與平面ABCD和

平面AA^B所成的角均為30。,則（）

\.AB=2AD

B.A8與平面所成的角為30。

C.AC=CB\

DB。與平面89GC所戌的角為45°

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答案D

5.（2022全國(guó)甲理，18,12分）在四棱錐P-ABCD中，。力_1_底面ABCD,CD//

AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=?

⑴證明：5O_LPA;

⑵求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

解析⑴證明:過(guò)。作DHLAB,垂足為",則AH=^,又A￡>=1,所以DH粵.易知

所以BD=y/3,SAABD中,AC^+BD^AB2,所以A￡>_LBD.因?yàn)镻OJ_平面ABCD,BDu平

面ABCD,所以PDVBD,又因?yàn)镻DQAD=D,所以8O_L平面PAD,又PAu平面PAD,所

以&)_LA4.

(2)連接PH.

設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,

由VD-PAI}=VP-ABDS△PAB-h=^SAABD-PD,

Jo

所以/尸乎空.

S^PAB

由(1)易知5△八X2X-y=^,

由PO_L平面ABCD,ABu平面ABCD,O"u平面ABCD,得PDLAB,PDLDHf又ABL

DH,DHQPD=D,所以AB_L平面PDH,所以AB_L尸”.

在RtAPDH中,P〃=4+3=孚,

\岳..1X63715

:.5AP/1/?=1x2x=/t=

—-^2=7^=—

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設(shè)直線P。與平面PAA所成的角為0,則

n_1_V5

dsnm%而一三x忑一

故直線PO與平面E4B所成的角的正弦值為終.

考向二用向量法求直線與平面所成的角

1.（2022浙江慈溪中學(xué)開(kāi)學(xué)考，13）已知正四棱柱ABCDA閏CQ1中,44尸1,A8=2,則直

線AAi與平面BCQ所成角的正弦值為.

答案號(hào)

2.（2022天津西青月考，13）在正方體ABC。-48c。中，點(diǎn)尸在側(cè)面BCCH（包括邊界）

上運(yùn)動(dòng),滿足APLBDi,記直線CiP與平面ACS所成角為內(nèi)則sina的取值范圍

是.

答案憐當(dāng)］

3.（2020新高考I,20,12分）如圖，四楂錐P-ABCD的底面為正方形,PD_L底面A8CD.設(shè)

平面PAD與平面PBC的交線為I.

⑴證明：/J_平面PDC;

⑵己知PZX4D=1,Q為/上的點(diǎn)，求PA與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

解析⑴證明：因?yàn)镻O_L底面ABCD,所以又底面ABCD為正方形,所以A。

_LQC.因?yàn)镻OnOO。,所以AO_L平面POC.因?yàn)锳D/7BC,4OC平面PBC,所以AD//

平面P8c.由已知得/〃4D.因此/_!_平面PDC.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn),方的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則。(0,0,0),C(0,1,0),5(1,1,0),P(0,0,1),則反=(0,1,0),麗=(1,1,-1).

由(1)可設(shè)。(。,0,1),則麗=(a,0,1).

設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量，則

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］嚏:加的『可取…“)?

所以COS<〃，而>=瑞=百慝.

設(shè)PB與平面QC。所成角為仇則sin中x瞿4J1+磊.因?yàn)閲?guó)1+品工

￡當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)a=\時(shí)等號(hào)成立,所以P8與平面QCO所成角的正弦值的最大值為噂

?3J

4.(2023屆湖北摸底聯(lián)考，20)如圖，在直三極柱ABC-ABC中,AC±

BC,AC=BC=2,CG=3,點(diǎn)DE分別在棱A4i和棱CG上，且AD=l,CE=2.

(1)設(shè)尸為BiCi的中點(diǎn),求證:小尸〃平面BDE;

⑵求直線與平面BDE所成角的正弦值.

R

解析⑴證明：取BE的中點(diǎn)G連接/G、DG,則CG〃CC〃M,且％一遇；叫=

等=2,所以產(chǎn)G〃4。且尸G=4D,所以四邊形AQGr為平行四邊形,所以A尸〃。G又

AFU平面BDE,QGu平面BDE,所以4砂〃平面BDE.

⑵因?yàn)檐谌忤艫BCABG中，AC_L8C所以C4、CB、CG兩兩垂直.

分別以刀、CB.M的方向?yàn)閤軸、)，軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，則8(0,2,0),E(0,0,2),。(2,0,1),A(2,0,0),所以雇=(0,-2,2),BD=(2,-

2,1),再瓦=而=(-2,2,0),

n

設(shè)平面BDE的法向量為n=(xty,z),則1.絲=°，

(n-BD=0,

即「士:上：!n令產(chǎn)1，得到平面8?！甑囊粋€(gè)法向量為1,1).

第15頁(yè)共40頁(yè)

設(shè)直線4辦與平面所成的角為0,

則sin伊|COS<481，!1>\=-==—=12"=彳，

鳳iHIJ；+l+lxV4+4+05

所以直線與平面所成角的正弦值為

6

考法二求解二面角的方法

考向一用幾何法求二面角

1.（2022河北冀州中學(xué)月考,4）在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'^,若AB=AD=2>/3,CC7Z則

二面角C-8O-C的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案A

2.（2022福建廈門(mén)月考，⑻如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面48co是邊長(zhǎng)為2的正方形,

側(cè)面24Z）為正三角形，且平面PAZ）_L平面ABCD,￡F分別為棱。。的中點(diǎn).

⑴求證：所〃平面PAO；

（2）求二面角P-EC-D的正切值.

解析⑴證明：取PO的中點(diǎn)G,連接GF、AG.

由題意知G”為APOC的中位線，

???GF//CD且GF*D,又AE//CD目.AE=^CD,

???G尸〃4E且GF=4￡???四邊形EFGA是平行四邊形,則所〃4G又E尸C平面

PARAGu平面PAD,???"*〃平面PAD.

⑵取AO的中點(diǎn)O,連接PO,則POLAD.

??,平面PAO_L平面ABCD,平面PAOD平面ABCD=AD,PAD,

???POJ_平面ABCD,連接OB交CE于M,連接PM,可證得RMEBC/RSOAB,，N

MEB=/AOB,則NME8+NMB石=90。，即OM1EC.

第16頁(yè)共40頁(yè)

p

乂POLEC,POCIOM=。，EC_L平面POM,則PMLEC,即NPMO是二面角P-EC-D的

平面角，

在RtAEBC中，8M二絲7竺=—,則OM=OB-BM=—,AtanZPMO=—=—,即二面角

CE550M3

P-EC-D的正切值為手.

3.(2022河北邯鄲檢測(cè)，19)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形,A8=2,ADM,PA

_L平面ABCD,E是BC的中點(diǎn).

(1)證明：QEJ_平面PAE

⑵若PD與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-E的正切值.

222

解析⑴證明：由條件可得AE=DE=242,又AD=4t所以AE+DE=AD,所以AEA.DE,

乂因?yàn)镻A_L平面ABCD,DEu平面ABCD,所以PA±DE,乂PAQAE=A,所以。七，三面

PAE.

⑵因?yàn)镹PD4是PO與平面A8CO所成的角，所以NPD4=45。,則PA=AD=4,因?yàn)镻A

_L平面ABCD,A8u平面ABCD,所以ABLAPy又ABlADfADQAP=Af所以A8_L平面

PAD,取AO的中點(diǎn)尸,作FMLPD,垂足為點(diǎn)M,連接ME,因?yàn)镋F//AB,所以EF_L平面

PAD,所以EF1PD,又MFC\EF=F,MF,ERz平面MEF,所以PO_L平面MEF,因?yàn)镸Eu

平面MEF,所以PDLME,即/“ME是二面角人-PQ-E1的平面角，又

第17頁(yè)共40頁(yè)

EF=AB=2,MF*FD=V2,所以tan/FME4=企,所以二面角4-PD-E的正切值為

2MF

V2.

考向二用向量法求二面角

1.(多選)(2022廣東普寧華僑中學(xué)月考,9)三棱錐A-BCD中，平面ABD與平面BCD的法

向量分別為回、3,若/7i=(l,0,O),/72=(-V3,0,1),則二面角A-8D-C的大小可能為()

A.-B.-C.—D.—

6336

答案AD

2.(2022全國(guó)乙理，18,12分)如圖，ABCDADA.CD,AD=CD,ZADB=Z

為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BEDJ_平面ACO:

⑵設(shè)AB二瓦片2,NAC8=60。,點(diǎn)尸在BD上，當(dāng)“廣。的面積最小時(shí)，求b與平面ABD

所成的角的正弦值.

解析⑴證明：因?yàn)锳D=CDfE為4c的中點(diǎn),所以DE1AC.S為/ADB=Z

BDC,AD=CD,BD=BD,所以008空△COB,所以AB=CB,又E為AC的中點(diǎn),所以BE_L

AC.又DE,8Eu平面BED,且DEQBE=E,

所以AC_L平面8EO,乂ACu平面ACO,

所以平面ACOJ_平面BED.

⑵由題意及(1)知AB=BC=2,又N4CB=60。,所以AC=2,.因?yàn)锳/)_LQC,E為AC

的中點(diǎn)，所以。E=l.

所以。爐+8區(qū)=8。2,則DELBE.

連接EF,因?yàn)锳C_L平面BED,平面BED,

所以AC_LEF,所以S”FC=；ACEF=EE

當(dāng)ETLLBO時(shí),EF的值最小，即dA”?的面積最小，此時(shí)E/三拳如圖，以E為坐標(biāo)原

點(diǎn)，瓦5,而，麗的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系七中z,則

C(-l,0,0),A(l,0,0),8((),V3,0),D(0,0,1),「(。,弓3),

所以標(biāo)=(-1,0,1),麗=(0,-V5,1),而=,沙

設(shè)平面ABD的法向量為片(石)，,z),

第18頁(yè)共40頁(yè)

則［亞,"即「黃：

(BD-n=0,"V3y+z=0,

令產(chǎn)1,得/?=(V3,1,V3).

設(shè)。廠與平面ABD所成的角為a

則sin4|cosv〃,CF>\=="，

所以b與平面A3。所成的角的正弦值為手.

3.(2021全國(guó)甲理，19,12分)已知直三棱柱ABC-A/Ci中，側(cè)面AAiHB為正方

形,A8=BC=2,E,/分別為AC和CCi的中點(diǎn)，。為棱A0上的點(diǎn)，BFlAtBi.

(1)證明：

(2)當(dāng)囪。為何值時(shí)，面B8CC與面OFE所成的二面角的正弦值最小?

解析VBFlAiBi,BFCi&B=B,

???48」平面BiGCB,???A8〃AiS,???48J_平面B￡￡B,

又〈8Cu平面ByCxCB,：,ABLBC.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BC,BBi所在直線分別為x軸,)，軸,z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則8(0,0,0),F(0,2,1),E(1,1,0),ARF=(0,2,1),設(shè)5D=a(0&E2),則

。(40,2),則屁=(1/,l：-2).

(1)證明：???麗?DE=(0,2,1)-(1-^l,-2)=0x(l-^)+2xl+lx(-2)=0,ABF±DE.

第19頁(yè)共40頁(yè)

(2)麗二(-1,1,1),而=(?-2,1),設(shè)平面。正E的法向量為m(x,y,z),

嚅：二:以不妨設(shè)E則4卓5號(hào)等)

易知〃尸(1,(),())是平面8BCC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面88cle與平面OEF■所成的銳二面角的大小為0,則cos啟|cos<m,廬|二魯魯=

I2

I32工W當(dāng)a=：時(shí)取等號(hào)),???sin^=V1-cos0>￡

八(誓))(等丫M而居"2/3

故當(dāng)?=1,即5。二3時(shí),平面88CC與平面OFE所成的二面角的正弦值最小,最小值為

叵

3,

4.(2023屆福建漳州質(zhì)檢,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正

方形,APLBP,AP=BP,PD=VS.記平面PAB與平面PCD的交線為/.

(1)證明:A8〃/;

(2)求平面尸A3與平面尸C。所成的角的正弦值.

解析(l)iiE明：因?yàn)?4〃CO,CO仁平面尸。。,44仁平面PCD,所以A4〃平面PCD

又A8u平面PAB,平面PA8CI平面PCD=lf所以AB//1.

222

(2)因?yàn)锳PLBP,所以PA+PB=AB=4t

又PA=PB,所以PA=PB=\[2,

又PD=屜,所以P^+A^PD2,所以AD1PA,

乂ADLAB,PAQAB=A,PAu平面PAB,A8u平面PA8,所以4。_1_平面PAB.取AB,CD的

中點(diǎn)分別為O,M,連接MO,OP,則MO//AD,所以MO_L平面PAB,又OPu平面PAB,

所以MO_LOP.

又因?yàn)镻A=PB,。為A8的中點(diǎn)，所以O(shè)P1AB.

第20頁(yè)共40頁(yè)

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以而，至，麗的方向?yàn)閄軸,)，軸,Z軸的正方向，建立空間直角坐

標(biāo)系，則P(l,o,0),。(0,1,2),。(0,-1,2),所以玩=(-1,1,2),麗=(-1,-1,2).

設(shè)尸a,,，,z)是平面PCD的法向量,則卜.上二°，即廠：+匕普jU取z=1,得

In?P。=0,l-x-y+2z=0,

x=2,>-=0,則n=(2,0,1).

乂〃戶(0,0,1)是平面PAB的一個(gè)法向量，

所以COS</7,/7Z>=-Yp-=+=B，

|n||m|VS5

所以平面PAB與平面尸CO所成的角的正弦值為J1一=等.

5.(2019課標(biāo)I理，18,12分)如圖，直四棱柱ABCDAiBiGd的底面是菱形,A4i=4,AB=2,

ZBAD=600,E,M,N分別是BC,BBy,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CiDE;

⑵求二面角A-MArN的正弦值.

解析⑴證明：連接8cME.因?yàn)榉謩e為8均，8。的中點(diǎn)，所以ME〃囪C,且

MEgeC.又因?yàn)镹為40的中點(diǎn),所以.由題設(shè)知A]B^DC,可得B.CIM.D,故

ME^ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形，則MN〃ED.又MNU平面EDG,所以MV〃

平面GDE.

第21頁(yè)共40頁(yè)

(2)由已知可得以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦5的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系D-xyz,

A(2,0,0),4(2,0,4),M口,V5,2),N(1,0,2),A^A=(0;0,-4),而心(-1,73,-2),初二(-

1,0,-2),而二(0,-百,0).

,......?

設(shè)〃尸Cv,y,Z)為平面4MA的法向量，則F."二°，

,in?A1A=0.

所以卜％+V3y-2z=0,可取nj=(0J,o).

t-4z=0.

設(shè)斤(p,q,/*)為平面4MN的法向量，則｛:箸］:

所以廣島：°\可取n=(2,0,-1).

l-p-2r=0.

-T-Hmn2y/3x/15

寸■是COSVm,/?>=——=—7==—,

|m||n|2xV55

所以二面角A-M4W的正弦值為萼.

6.(2017課標(biāo)H理，19,12分)如圖，四棱錐A48CD中，側(cè)面PAO為等邊三角形且垂直于

底面ABCD,AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,EPD的中點(diǎn).

⑴證明：直線CE〃平面PAB;

(2)點(diǎn)M在棱QC上,且直線8M與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦

值.

解析⑴證明：取PA的中點(diǎn)F,連接EF8F.因?yàn)镋是尸。的中點(diǎn)，所以所〃

AD,EF=^AD.

第22頁(yè)共40頁(yè)

由N8AO=NABC=90。得BC//AD,又BC=：AD,所以Ei^BC,所以四邊形8CE尸是平行四

邊形,所以CE"BF,又Mu平面PAB,CEC平面PAB,故CE〃平面PA及

⑵由已知得BA1AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，標(biāo)的方向?yàn)槿溯S正方向,|四|為單位長(zhǎng)，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,則A(0,0,0),8(1,(),0),C(1,1,0),P(0,1,8)，則

而=(1,0,-V3),A5=(1,0.0).

設(shè)M(x,y,z)(0<r<1),則前=(x-1,切z),PM=Uy-1,z-\f3).因?yàn)锽M與底面ABCD所成

的角為45。，

而n=(0,0,1)是底面A8CO的一個(gè)法向量，

所以Icosv西問(wèn):sin45。,即而號(hào)行=當(dāng)

即（x-DV-z2^.

又M在棱PC上，設(shè)麗=APC,則

x=X,y=1,z=V3—V3A.

由①,②解得y=1,(舍去)，或y=1，

所以M(1-亨M),從而宿=(1一今1片).

設(shè)///=(xo,yo>Zo)是平面ABM的法向量，

m?~AM

=0,xQ+2yo+V6z0=0,

,m-45=0,xo=°，

所以可取斯(0,-VS,2).

易知所求二面角為銳二面角.

因此二面角V-A8-。的余弦值為拶.

7.(2023屆江蘇百校聯(lián)考第一次考試,20)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯

形,AO〃BC,側(cè)面底面ABCD,E4=P8=4O=]8c=2,且EE分別為

PC,C。的中點(diǎn).

第23頁(yè)共40頁(yè)

(1)證明:DE〃平面PAB

(2)若直線Pb與平面PA8所成的角為60。,求平面PAB與平面PCO所成銳二面角的余

弦值.

解析(I)證明：取P8的中點(diǎn)M,連接AM,EM,

E為PC的中點(diǎn)，,ME//BC,ME=^BC,

又TA。"8cAD=^BC,

：.ME//ADfME=4￡),，四邊形ADEM為平行四邊形，

???。石仁平面以8,AMu平面PAR，。七〃平面PAB.

⑵;平面PA8L平面ABCD,平面PA8C平面ABCD=AB,AQu平面ABCD,AD±ABfA

A/)_L平面PAB,取AB的中點(diǎn)G,連接FG,則FG//AD.則尸GJL平面PAB,

???NGP/為直線P尸與平面PAB所成的角，即NGP片60。,???tan60°=^,FG=3,則

PG=C,：.AG=GB=1,則48=2.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則

P(0,0,V3),C(1,4,0),D(-l,2,0),

:.PC=(1,4,-x/3),CD=(-2,-2,0),

設(shè)平面PCD的法向量為/?,=Cv,y,z),

則幾i,PC=0,即(%+4y-V3z=0,

、?麗=0,、1-2%-2y=0,

令)=1,則1,V3),

易知平面PAB的一個(gè)法向量為〃2=(0,1,0),設(shè)平面PAB與平面PCO所成銳二面角為仇

Acos生|廣詈；=%=獸,即平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為半.

1%舊2|V555

第24頁(yè)共40頁(yè)

8.(2023屆河北邢臺(tái)名校聯(lián)盟開(kāi)學(xué)考，19)如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為正方

形，側(cè)面PAD為正三角形,M為的中點(diǎn),N為8C的中點(diǎn).

(1)求證:MN〃平面PAB-

(2)當(dāng)AM_LPC時(shí),求平面MND與平面PCO夾角的余弦值.

解析(1)證明:取AP的中點(diǎn)為E,連接EM,EB,

在△PA。中，???M為尸。的中點(diǎn)，石為AP的中點(diǎn)，

：.EM//ADtEM^AD,

在正方形48C。中，???N為8C的中點(diǎn)，AO08C,

，BN//AD,I3N=^AD,

:,BN〃ME,BN=ME,二四邊形8NME為平行四邊形，

：.MN//BE,PAB,BEu平面PA8,?\MN〃平面PAB.

(2)在正三角形PA。中，M為尸。的中點(diǎn)，???AM_LP。，

又???AM_LPC,PCY1PZ>HPC,PDu平面PDC,

，AM_L平面PDC,???COu平面PCD,：,AM1DC.

ABCDAD1DC,XAMC\AD=A,AM,ADa^PAD,.\DC15FffiPAD,

?「CQu平面A8CO,???平面ABC。J"平面PAD,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,ON,易證

OP,ON,OD兩兩垂直.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=2f則D(0,1,0),N(2,0,0),C(2,1,0),P(0,0,V3),M(0,消),

則麗=(0,_T,外DN=(2,-1,0),DP=(0,-1,\/3),DC=(2,0,0),

第25頁(yè)共40頁(yè)

設(shè)平面MND的法向量為/T=(X,y,z),

…吧=-1+顯=0,令日則《記),

則

n-DN=2x—y=0,

設(shè)平面PCD的法向量為g(￡,)，：z'),

則

{:笈1箸=°'令對(duì)則

1+

A|cos<z?,.ImnI7=詈，???平面MN。與平面PC。夾角的余弦值為

4g

19,

9.(2018課標(biāo)川理，19,12分)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C力所

在平面垂直,M是短)上異于C,D的點(diǎn).

(1)證明：平面AMOJ_平面BMC;

(2)當(dāng)三棱錐M-A8C體積最大時(shí),求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

解析(1)證明:由題設(shè)知,平面CMZ)_L平面ABCD,交線為CD因?yàn)锽CLCD,8Cu平面

ABCD,所以BC_L平面CMD,故BC_L￡>M.因?yàn)镸為廓上異于C,D的點(diǎn),且。。為直徑,

所以DM±CM.y.BCnCM=C,所以DM_L平面BMC.而OMu平面AMD,故平面AMD1.

平面BMC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，萬(wàn)?的方向?yàn)楣ぽS正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則

0(0,0,0).

當(dāng)三棱儺M-ABC體積最大時(shí),M為的的中點(diǎn).由題設(shè)得

4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),則俞二(-2,I,1),而二(0,2,0),D4=(2,0,0).

設(shè)后(%,)，,z)是平面MAB的法向量,則｛:喘［即｛I；；%"z=6可取

/?=(1,0,2).萬(wàn)?是平面MCD的法向量，

因此cos</?,瓦5>=n—=—,sin<〃,注5>=—.

|n||DZ|55

第26頁(yè)共40頁(yè)

所以面MA8與面MCQ所成二面角的正弦值是季,

考法三求解立體幾何中的探索性問(wèn)題

1.(2016北京，17,14分)如圖，在四棱錐P-A8CQ中，平面平面相CD尸4_1_

PD,PA=PD,ABLAD,AB=\fAD=2,AC=CD=>/5.

(1)求證:POJL平面PAB:

⑵求直線總與平面尸8所成角的正弦值;

⑶在棱PA上是否存在點(diǎn)M使得BM〃平面PCO?若存在,求非的值;若不存在,說(shuō)明

理由.

解析(1)證明：因?yàn)槠矫鍱4OL平面ABCD,ABYAD,平面2400平面A8C￡)=4D,所以

A8_L平面PAD,

又PQu平面PAD,所以A8_LPD

又因?yàn)镻ALPD,PAQAB=A,PA,4Bu平面PAB,

所以「。_1_平面PAB.

⑵取AZ)的中點(diǎn)O,連接PO,CO.囚為戶4二P/),所以尸OJ_A￡>.又囚為戶OJ平面PAD,平

面PAD_L平面48CO,平面PAZX1平面A8CQ=A。,

所以PO_L平面A8CD因?yàn)镃Ou平面ABCD,所以PO_LCO.因?yàn)锳C=CQ,所以COLAD.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-x)，z.由題意得,A(0,I,0),8(1,1,0),C(2,0,0),0(0,?

1,0),P(0,0,1).

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),

九?”=0,即［-y—z=o,

則m?近=o,'12%—2=0.

令z=2,則尸I,尸-2.所以/T=(1,-2,2).

第27頁(yè)共40頁(yè)

又麗=(1,1,-1),所以cosv〃，而＞=「黑=一條

所以直線P8與平面PCD所成角的正弦值為日.

(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在AG[0,1]使得宿=筋？.因此M(0,11,2),則麗=(-

1,-2,2).

因?yàn)?MU平面PCD,

所以8M〃平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)前./7=0,

即(-1,J")?(1,22)=0,解得

4

所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得8M〃平面PCD,

此時(shí)*=7

AP4

2.(2022湖北襄陽(yáng)四中月考，19)如圖,在三棱柱ABC-A81G中，