2024高考講義：統(tǒng)計與概率

2024高考講義：統(tǒng)計與概率

目錄

1.考情分析.....................................................................2

2.排列、組合、二項式定理小題組合練...........................................3

2.1.必備知識精要梳理.........................................................3

2.1.1.兩個計數(shù)原，里與排列組合...............3

2.1.2.二項式定理...........................................................3

2.2.考向訓練限時通關(guān)..........................4

2.2.1.考向一兩個計數(shù)原理.................4

2.2.2.考向二排列組合.................5

2.2.3.考向三二項式定理.................6

3.統(tǒng)計圖表小題組合練............................................................6

3.1.必備知識精要梳理.........................................................6

3.1.1.條形統(tǒng)計圖及其特點..................6

3.1.2.折線統(tǒng)計圖及其特點...................6

3.1.3.扇形統(tǒng)計圖及其特點...................7

3.1.4.莖葉圖...............................................................7

3.1.5.散點圖................................7

3.2.考向訓練限時通關(guān).........................................................8

3.2.1.考向一折線疣計圖及其應(yīng)用............8

3.2.2.考向二柱形疣計圖及其應(yīng)用............................................9

3.2.3.考向三頻率（數(shù)）分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖......................11

3.2.4.考向四餅狀圖及其應(yīng)用.................12

3.2.5.考向五其他統(tǒng)計圖表及應(yīng)用............13

3.3.考向訓練限時通關(guān).........................15

3.3.1.考向一抽樣方法................................................15

3.3.2.考向二古典概型..................15

3.3.3.考向三條件概率................................................16

3.3.4.考向四相互獨立事件及二項分布........17

3.3.5.考向五正態(tài)分布................................................17

4.統(tǒng)計與概率大題...............................................................18

4.1.統(tǒng)計與統(tǒng)計案例..........................................................18

4.1.1.必備知識精要梳理.....................18

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4.2.關(guān)鍵能力學案突破........................................................19

4.2.1.熱點一樣本的數(shù)字特征的應(yīng)用........................................19

4.2.2.熱點二線性回歸分析................................................20

4.2.3.熱點三非線性回歸分析..............................................22

4.2.4.熱點四樣本的相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用........................................24

4.2.5.熱點五獨立性檢臉................................................26

5.隨機變量及其分布.............................................................27

5.1.必備知識精要梳理.......................................................28

5.1.1.超幾何分布.........................................................28

5.1.2.二項分布...........................................................28

5.1.3.正態(tài)分布...........................................................28

5.1.4.離散型隨機變量的分布列............................................28

5.2.關(guān)鍵能力學案突破.......................................................28

5.2.1.熱點一依據(jù)頻率求概率的綜合問題.....................................28

5.2.2.熱點二離散型隨機變量的分布列......................................30

6.統(tǒng)計與概率問題綜合應(yīng)用.....................................................37

6.1.必備知識精要梳理：離散型隨機變量的期望與方差.........................37

6.2.關(guān)鍵能力學案突破.......................................................37

6.2.1.熱點一離散型隨機變量的期望與方差.................................37

6.2.2.熱點二統(tǒng)計數(shù)據(jù)及概率在現(xiàn)實決策問題中的應(yīng)用.......................39

6.2.3.熱點三■統(tǒng)計與概率和函數(shù)、導數(shù)的綜合...............................40

6.2.4.熱點四統(tǒng)計與概率和數(shù)列的綜合......................................42

7.統(tǒng)計案例中的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算素養(yǎng)........................................44

1.考情分析

計數(shù)原理和統(tǒng)計與概率是高中階段數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考中非常重要

的內(nèi)容，因其與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切，所以成為高考命制應(yīng)用題的主要來源，高

考出題頻率基本是“兩小一大”，排列組合應(yīng)用題、二項式定理、抽樣方法、樣

本估計總體、相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗、條件概率、數(shù)字特征等，都可能

在小題中考查，難度一般不大。

統(tǒng)計與概率解答題是高考六道解答題必考題之一，一般以現(xiàn)實生活中的真

實情境為背景，考查回歸分析、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列、期

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望、方差等，常與統(tǒng)計圖表結(jié)合，題目閱讀量較大，與實際生活等聯(lián)系密切,

難度中等.偶爾也可能會與函數(shù)、數(shù)列、導數(shù)等知識綜合命題.

2.排列、組合、二項式定理小題組合練

2.1.必備知識精要梳理

2.1.1.兩個計數(shù)原理與排列組合

(1)兩個計數(shù)原理

“分類”與“分步〃的區(qū)別：關(guān)鍵是看事件完成情況，如果每種方法都能將事

件完成則是分類；

如果必須連續(xù)若干步才能將事件完成則是分步.分類要用分類加法計數(shù)原理

將種數(shù)相加；

分步要用分步乘法計數(shù)原理將種數(shù)相乘。

(2)排列數(shù)公式：=n(n-l)(n-2)?...?(n-m+l)=G^(n,m￡N*,m<n)o

說明：規(guī)定0!=1；

乘積形式多用于數(shù)字計算，階乘形式多用于證明恒等式。

⑶組合數(shù)公式C：=第=叱-1)：「"1),叩=就癡(m,n￡N*,

m<n)0

(4)組合數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1:cr=c『m。

性質(zhì)2：CQi=C7+C，T(mWn,m,n￡N*)。

2.1.2.二項式定理

(l)(a+b)n=CRan+Cj,an-lb+...+CAan-rbr+...+C￥bn.通項(展開式的第r+1

項)：Tr+l=Qan-rbr,其中3任=0，1，…，n)叫做二項式系數(shù)。

(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)

①在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即

_r

C?=C|{(r=O,1,2,...?n)o

②二項式系數(shù)的和等于2n,即CR+禺+C介…+C;J=2n。

③二項式展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)和，

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即禺+髭+cg+...=c：+鬣+C^+...=2n-lo

2.2.考向訓練限時通關(guān)

2.2.1.考向一兩個計數(shù)原理

1.（2020山東，3）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去

1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安

排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

2.（2020廣東珠海三模，10）甲、乙、丙3人從1樓乘電梯去商場的3到9

樓，每層樓最多下2人，則下電梯的方法有（）

A.210種B.252種

C.343種D.336種

3。

（2020貴州畢節(jié)二診，13）漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的

“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，“趙爽弦圖”如圖所示，由四個全等的直角

三角形和一個正方形構(gòu)成，現(xiàn)有五種不同的顏色可供涂色，要求相鄰的區(qū)域不

能用同一種顏色，則不同的涂色方案有種（用數(shù)字作答）。

4o

（2020山東濰坊二模，15）植樹造林，綠化祖國.某班級義務(wù)勞動志愿者小

組參加植樹活動，準備在一拋物線形地塊上的ABCDGFE七點處各種植一棵樹

苗，如圖所示，其中A,B,C分別與E,F,G關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，現(xiàn)

有三種樹苗，要求每種樹苗至少種植一棵，且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的兩點

處必須種植同一種樹苗，則共有不同的種植方法數(shù)是（用數(shù)字作答）。

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5.（2020山東泰安三模，15）甲、乙、丙、丁、戊五人去參加數(shù)學、物理、

化學三科競賽，每個同學只能參加一科競賽，若每個同學可以自由選擇，則不

同的選擇種數(shù)是；

若甲和乙不參加同一科，甲和丙必須參加同一科，且這三科都有人參加，

則不同的選擇種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

2.2.2.考向二排列組合

6.（2020山東聊城二模，4）2020年是脫貧攻堅年，為順利完成“兩不愁，三

保障”，即農(nóng)村貧困人口不愁吃、不愁穿，農(nóng)村貧困人口義務(wù)教育、基本醫(yī)

療、住房安全有保障，某市擬派出6人組成三個幫扶隊，每隊兩人，對脫貧任

務(wù)較重的甲、乙、丙三縣進行幫扶，則不同的派出方法種數(shù)共有（）

A.15B.60C.90D.540

7.（2019北京海淀一模，理8）某校實行選科走班制度，張毅同學的選擇是

物理、生物、政治這三科，且物理在A層班級，生物在B層班級.該校周一上

午選科走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一

節(jié)上自習，則他不同的選課方法有（）

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)

地理B層2班化學A層3班地理A層1班化學A層4班

生物A層1班化學B層2班生物B層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物B層1班物埋B層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.8種B.10種C.12種D.14種

8.（2020湖南雅禮中學高三月考，5）中國古代儒家要求學生掌握六種基本

才能：禮、樂、射、御、書、數(shù)，也稱這六種才能為“六藝”,某校國學社團周末

開展“六藝”課程講座活動，每天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“禮”

和“數(shù)”不能相鄰，“射”和“樂”必須相鄰，貝『'六藝”課程講座不同的排課順序共有

（）

A.24種B.72種

C.96種D.144種

9.（2020天津和平區(qū)高三一模，8）在國際高峰論壇上，組委會要從6個國

內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這三個媒體團中

既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團，且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問，則不同的提問

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方式的種數(shù)為（）

A.378B.306C.268D.198

10.（2020山東濟寧三模，15）5人并排站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，

那么不同的排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）；

5人并排站成一行、甲乙兩人之間恰好有一人的概率是.（用數(shù)字作答）

2.2.3.考向三二項式定理

11.（2020海南海南中學模擬，3）已知（2x-a）6（a是常數(shù)）的展開式中含x3項

的系數(shù)為-160,則a=（）

A.1B..嗎叱

12.（2020全國I,理8）（x4-f）（x+y）5的展開式中x3y3的系數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.20

13.（多選）（2020海南三亞模擬，10）對于（2x-妥了的展開式，下列說法正

確的是（______）

A.展開式共有6項

B.展開式中的常數(shù)項是-240

C.展開式中各項系數(shù)之和為1

D.展開式中的二項式系數(shù)之和為64

14.（2020山東德州二模,7）（x2-x-a）5的展開式的各項系數(shù)之和為-32,則

該展開式中含x9項的系數(shù)是（）

A.-15B.-5C.5D.15

3.統(tǒng)計圖表小題組合練

3.1.必備知識精要梳理

3.1.1.條形統(tǒng)計圖及其特點

條形統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫出長短

不同的直條，然后把這些直條按照一定的順序排列起來，條形統(tǒng)計圖也叫柱形

圖，條形統(tǒng)計圖形象、直觀，從圖中很容易看出各種數(shù)量的多少。

3.1.2.折線統(tǒng)計圖及其特點

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折線統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各

點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多

少，而且能夠清楚地表示數(shù)量增減變化的情況。

3.1.3.扇形統(tǒng)計圖及其特點

扇形統(tǒng)計圖中的圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部

分，扇形的大小反映各個部分占總體的百分比的大小，扇形統(tǒng)計圖可以很清楚

地表示各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系，各個扇形所占的百分比之和等于lo

3.1.4.莖葉圖

統(tǒng)計中有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉

就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)。

,組織數(shù)值數(shù)據(jù):莖葉圖

?莖葉圖（stem?and?leafdisplay）將數(shù)據(jù)組織成組（稱為

莖），因此每組中的值（葉）如同長出的枝條在每行的

右邊。

大學生的年齡

所調(diào)查白天調(diào)查的學生夜晚調(diào)查的學生

白天調(diào)查的學生

大學

的

的年

生161717181818莖葉莖葉

齡

19192020212216778889918899

2225273238422001225720138

夜晚調(diào)查的學生

328323

18181919202142

415

232832334145

BusinessStatistics:AFirstCourse.5e⑥2009Prentice-HaM.Inc.Chap2-13

3.1.5.散點圖

表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫作散點圖，它可直觀地

判斷兩變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示，若這些點散布在從左下角到右上

角的區(qū)域，則稱兩個變量正相關(guān)；

若這些點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，則稱兩個變量負相關(guān)。

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3.2.考向訓練限時通關(guān)

3.2.1.考向一折線統(tǒng)計圖及其應(yīng)用

1.（2020山東威海一模，3）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總

額的比重，其數(shù)值越小說明生活富裕程度越高.統(tǒng)計改革開放40年來我國歷年

城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)

論錯誤的是（）

（1978—2018）歷年中國城鄉(xiāng)居民家庭恩格爾系數(shù)

—物XlilK切BL?格爾N

A.城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農(nóng)村居民家庭

B.隨著改革開放的不斷深入，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度越來越高

C.從1996年開始城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)都低于50%

D.隨著城鄉(xiāng)一體化的推進，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度差別越來越

小

2.（多選）（2020山東菊澤一模，9）Keep是一款具有社交屬性的健身APP,

致力于提供健身教學、跑步、騎行、交友及健身飲食指導、裝備購買等一站式

運動解決方案.Keep可以讓你隨時隨地進行鍛煉，記錄你每天的訓練進程.不僅

如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計劃.小吳根據(jù)Keep記錄

的2019年1月至2019年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)整理

并繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.月跑步里程逐月增加

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B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月

C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)

D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小

3.（多選）（2020山東臨沂一模，10）某同學在微信上查詢到2010年到2019

年全國高考報名人數(shù)、錄取人數(shù)和山東夏季高考報名人數(shù)的折線圖，其中

2019年的錄取人數(shù)被遮擋了.他又查詢到2010年到2019年全國高考錄取率的

散點圖，結(jié)合圖表中的信息判定下列說法正確的是（）

2010—2019年全國高考報名人數(shù)、錄取人數(shù)、山東夏季高考報名人數(shù)

1000—夕9?$四W華華之〉

?00⑹.—喲「掣獨華

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300嶺-事"吵6gp儂中?

療產(chǎn)療啟”

?全■育牙艘名人制萬）

一全01育號量取入效（萬）

?山東J（，高考罐名人數(shù)⑸

2010—2019年全國高考錄取率

A.全國高考報名人數(shù)逐年增加

B.2018年全國高考錄取率最高

C.2019年全國高考錄取人數(shù)約820萬

D.2019年山東夏季高考報名人數(shù)在全國的占比最小

3.2.2.考向二柱形統(tǒng)計圖及其應(yīng)用

4.（多選）（2020山東聊城二模，10）居民消費價格指數(shù)，簡稱CPI,是一個

反映居民消費價格水平變動情況的宏觀經(jīng)濟指標.某年的

E當年的居民消費價格

IMI一

一上一年的居民消費價格X100,以下是2009?2018年居民消費價格指數(shù)的柱形

第9頁共46頁

圖。

從圖中可知下列說法正確的是（）

A.2010?2018年居民消費價格總體呈增長趨勢

B.這十年中有些年份居民消費價格增長率超過3%

C.2009年的居民消費價格出現(xiàn)負增長

D.2011年的居民消費價格最高

5.（多選）（2020山東濰坊二模，9）我國是世界第一產(chǎn)糧大國，我國糧食產(chǎn)量

很高，整體很安全.按照14億人口計算，中國人均糧食產(chǎn)量約為950斤，比全

球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤.如圖是中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中2010?2019包，

我國糧食產(chǎn)量（千萬噸）與年末總?cè)丝冢ㄇf人）的條形圖，根據(jù)條形圖可知在

2010~2019年中（）

■食Tt（千萬電

M

646Mly■nnrrmr

6g2

M

Ms^yi口門門口門口門□「

MTtZJLJ□□□□□□OL

s2

50

2010201120122013201430IS2m6201720112019

年年年年年年年年

年末a人口汗萬人）

41mni

40“

M

37

36

3M5

aLH^n_JLJLZJQLJLJQLJL

Tnnnnnnrinni

32JLJUNLJLJMLJNLjL

)l-11II11LIIILi_LIir

20103011201220132014201S2016201720182019

年年年年年年年年年年

A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總?cè)丝诰鹉赀f增

B.20U年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大

C.2015?2019年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定

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D.2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達到了最高峰

3.2.3.考向三頻率（數(shù)）分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖

6.（2020江西南昌三模，3）為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學隨

機抽取30名學生參加環(huán)保知識競賽，得分（10分制）的頻數(shù)分布表如表：

得分345678910

頻數(shù)231063222

設(shè)得分的中位數(shù)為me,眾數(shù)為m0,平均數(shù)為x,則（）

A.me=mO=xB.me=mO<x

C.me<mO<xD.mO<me<x

7.（2020山東德州二模，6）某中學共有1000人，其中男生700人，女生

300人，為了了解該校學生每周平均體育鍛煉時間的情況以及經(jīng)常進行體育鍛

煉的學生是否與性別有關(guān)（經(jīng)常進行體育鍛煉是指：每周平均體育鍛煉時間不

少于4小時），現(xiàn)在用分層抽樣的方法從中收集200位學生每周平均體育鍛煉

時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時），其頻率分布直方圖如圖.已知在樣本數(shù)據(jù)中，有

40位女生的每周平均體育鍛煉時間不少于4小時，根據(jù)獨立性檢驗原理

B.有90%的把握認為“該校學生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”

C.有90%的把握認為“該校學生每周平均體育鍛煉時間與性別無關(guān)”

D.有95%的把握認為“該校學生每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”

8.（2020山東德州一模，6）某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分用

莖葉圖表示，莖葉圖中甲得分的部分數(shù)據(jù)丟失（如圖），但甲得分的折線圖完

好，則下列結(jié)論正確的是（）

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i匕

32I

K60

12945678?次

A.甲得分的極差是11

B.乙得分的中位數(shù)是18.5

C.甲運動員得分有一半在區(qū)間[20,30]±

D.甲運動員得分的平均值比乙運動員得分的平均值高

3.2.4.考向四餅狀圖及其應(yīng)用

9.（多選）（2020山東棗莊二調(diào)，9產(chǎn)019年4月23日，國家統(tǒng)計局統(tǒng)計了

2019年第一季度居民人均消費支出的情況，并繪制了餅圖（如圖），則下列說法

正確的是（______）

2019年第一季度人均消費支出及構(gòu)成

A.第一季度居民人均每月消費支出約為1633元

B.第一季度居民人均收入為4900元

C.第一季度居民在食品煙酒項目的人均消費支出最多

D.第一季度居民在居住項目的人均消費支出為1029元

10.（多選）（2020山東泰安一模，9）某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查

統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位

分布條形圖，則下列結(jié)論正確的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980?1989年之間出生，80

前指1979年及以前出生。

第12頁共46頁

Bonn忖后從事互?同行Q點位分?阿

硝赴技術(shù)i言:w篇

\\/CBI------16M

-----------XWD1M

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)“90后”比“80前”多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)“90后”比“80后”多

3.2.5.考向五其他統(tǒng)計圖表及應(yīng)用

11.（2020全國I,理5）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率

V和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，

由實驗數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=b2,…，20）得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10C至40C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為

發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（〕

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

12.（多選）（2020山東泰安三模，10）某院校教師的情況如下表所示：

類別老年中年青年

年度男女男女男女

20161206024012010040

201721040320200200120

2018300150400270320280

關(guān)于2016年、2017年、2018年這3年該院校的教師情況，下面說法正

確的是（）

A.2017年男教師最多

B.該校教師最多的是2018年

C.2017年中年男教師比2016年多80人

D.2018比2016年的青年男教師人數(shù)增長了220%

第13頁共46頁

13.(2020北京東城區(qū)一模，10)假設(shè)存在兩個物種，前者有充足的食物和

生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者.

現(xiàn)在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學模型.假設(shè)捕食者的數(shù)

量以x(t)表示，被捕食者的數(shù)量以y(t)表示.如圖描述的是這兩個物種隨時間變

化的數(shù)量關(guān)系，其中箭頭方向為時間增加的方向.下列說法正確的是()

A.若在tl、t2時刻滿足：y(tl)=y(t2),則x(tl)=x(t2)

B.如果y(t)數(shù)量是先上升后下降的，那么x(t)的數(shù)量一定也是先上升后下

降

C.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會同時到達最大值或最小值

D.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達到最大值時，捕食者的數(shù)量也會達到

最大值

6.3統(tǒng)計與概率小題專項練

必備知識精要梳理

1.概率的基本性質(zhì)及常見概率的計算

(1)隨機事件的概率：0〈P(A)vl；

必然事件的概率是1:

不可能事件的概率是0o

(2)若事件A,B互斥,則P(AUB)=P(A)+P(B)°

(3)若事件A,B對立，則P(AUB)=P(A)+P(B)=1。

(4)古典概型的概率模型

古典概型的特點：有限性，等可能性；

事件A中所含的基本事件數(shù)

計算公式P(A)=―試驗的基本事件總數(shù)―

2.條件概率：A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率P(B|A)二陪。

P(A)

第14頁共46頁

3.相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B)o

4.線性回歸方程：回歸直線，=經(jīng)過樣本點的中心區(qū)刃。

5.在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生k次的概率為Pn(k)=C^pk(l-p)n-

ko

6.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=R對稱，曲線與x軸之間的面積為1；

隨機變量X滿足P(a<Xwb)二《叩卬a(x)dx,記作X?N(p,o2)。

3.3.考向訓練限時通關(guān)

3.3.1.考向一抽樣方法

1.某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零

件進行編號,編號分別為001,002,599,600,從中抽取60個樣本，如

下提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣木

編號為()

A.522B.324C.535D.578

12.(2020止西長治質(zhì)檢，3)由于疫情期間大多數(shù)學生都進行網(wǎng)上授

課，某校高一、高二、高三共有學生1800名，為了了解同學們對某授課

軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這1800名學生中抽取一個容量

為72的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的

連續(xù)偶數(shù)，則該校高三年級的人數(shù)為()

A.800B.750C.700D.650

3.3.2.考向二古典概型

3.(2020河北衡水中學高三月考，2)不透明的袋子中共有15個除了顏色外

完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取2個球，所取的2個

球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(______)

4。

第15頁共46頁

(2020江西萍鄉(xiāng)高三檢測，8)算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周

為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五

珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位檔撥上

一顆上珠和一顆下珠，個位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65.若在個、十、

百、千位檔中隨機選擇一檔撥一顆上珠，再在這4個檔中隨機選擇兩個檔位各

撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于200的概率為()

312

A*"D。

5.(2020海南海南中學高三月考，15)一個不透明的袋中有標有號碼1,

2,3,4的K片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當四種號碼的

卡片全部取出時即停止，則恰好取6次卡片時停止的概率為.

3.3.3.考向三條件概率

6.(2020河北石家莊二中高三月考，8)據(jù)統(tǒng)計，連續(xù)熬夜48小時誘發(fā)心臟

病的概率為0.055,連續(xù)熬夜72小時誘發(fā)心臟病的概率為0.19.現(xiàn)有一人已連

續(xù)熬夜48小時未誘發(fā)心臟病，則他還能繼續(xù)連續(xù)熬夜24小時不誘發(fā)心臟病的

概率為()

A.-B.-C.-D.0.19

73535

7.(2020湖南長沙一中考前模擬，8)某校組織由5名學生參加演講比賽，

采用抽簽法決定演講順序，在“學生甲和乙都不是第一個出場，甲不是最后一

個出場”的前提下，學生丙第一個出場的概率為()

AiBiC.|Do

345

8.(2020山東濟寧二模，8)己知n是一個三位正整數(shù)，若n的十位數(shù)字大

于個位數(shù)字，百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱n為三位遞增數(shù).已知a,b,ce

{0,1,2,3,4},設(shè)事件A為“由a,b,c組成三位正整數(shù)”，事件B為“由

a,b,c組成三位正整數(shù)為遞增數(shù)"，則P(B|A)=()

312

A.-B.-C.-Do

51025

第16頁共46頁

9.(多選)甲罐中有.5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3

個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出--球放入乙罐，分別以Al,A2和A3

表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；

再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列

結(jié)論中正確的是()

A.P(B)=|

C.事件B與事件A1相互獨立

D.A1,A2,A3是兩兩互斥的事件

3.3.4.考向四相互獨立事件及二項分布

10.(2020天津，13)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為:和小假定兩球

是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；

甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為。

11.(2020湖南株洲一模，15)投到某出版社的稿件，先由兩位初審專家進

行評審，若能通過兩位初審專家的評審，則直接予以錄用，若兩位初審專家都

未予通過，則不予錄用，若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家

進行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用.設(shè)稿件能通

過各初審專家評審的概率均為j復(fù)審的稿件能通過評審的概率為:，各專家獨

立評審，則投到該出版社的1篇稿件被錄用的概率為.

3.3.5.考向五正態(tài)分布

12.(2020山東濰坊高三期末，3)已知隨機變量彳服從正態(tài)分布N(l,a2),

若P(t<4)=0.9,則P(-2vyi]=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

13.(2020山東青島一模，3)已知某市居民在2019年用于手機支付的個人

消費額H單位：元)服從正態(tài)分布N(2000,1002),則該市某居民手機支付的

消費額在(1900,2200)內(nèi)的概率為()

附：隨機變量?服從正態(tài)分布NQ1,。2),則P(urv《vu+o)=0.6826,P"

2a<^<|i+2a)=0.9544,P(|i-3a<^<^+3o)=0.9974o

A.0.9759B.0.84

第17頁共46頁

C.0.8185D.0.4772

（多選）（2020山東濰坊五縣市聯(lián)考.10）甲、乙兩類水果的鹿量（單位：kg）

分別服從正態(tài)分布NQ1,分）,N（n2,分）,其

正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.乙類水果的平均質(zhì)量p2=0.8

B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小

D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)o2=1.99

4.統(tǒng)計與概率大題

4.1.統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

4.1.1.必備知識精要梳理

1.變量間的相關(guān)關(guān)系

（1）如果散點圖中的點從整體上看大致分布在一條直線的附近，那么我們說

變量x和y具有線性相關(guān)關(guān)系。

（2）線性回歸方程：若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個樣本數(shù)據(jù)

,AAAAZ(Xi-x)(yi-y)

(xi,yi)(i=l,2,n),則回歸方程為y=bx+a,其中b=f---------

E3廣幻2

1=1

2xiyj-nxyAA

異——-,a=y-bxo

￡x?-nx

i=i

￡XiYi-nxy

（3）相關(guān)系數(shù):r=-，當00時，表示兩個變量正相關(guān);

'（Zx?-nx2）（Eyf-ny2）

、i=ii=l

當r<0時，表示兩個變量負相關(guān).|r|越接近1,表明兩個變量相關(guān)性越強;

當|r|接近。時，表明兩個變量幾乎不存在相關(guān)性。

第18頁共46頁

2.獨立性檢驗

對于取值分別是｛xl,x2｝和｛yl,y2｝的分類變量X和Y,其樣本頻數(shù)列聯(lián)

表是：

yiy2總計

X1aba+b

x2cdc+d

總計a+cb+dn

隨機變量K2%+或%北短+d),其中舊+b+c+d。

4.2.關(guān)鍵能力學案突破

4.2.1.熱點一樣本的數(shù)字特征的應(yīng)用

[例1](2019全國II,文19)某行業(yè)主管部門

為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查

[-0.20,[0，[0.20,[0.40,[0.60,

了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于

0)0.20)0.40)0.60)0.80)

前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表v

y的分組

企業(yè)數(shù)22453147

(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長

的企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)

附：V74?8.602o

解題心得(1)在預(yù)測總體數(shù)據(jù)的平均值時，常用樣本數(shù)據(jù)的平均值估計，從

而做出合理的判斷。

(2)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞

平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定。

【對點訓練1】(202。遼寧遼南協(xié)作校二模，18)數(shù)據(jù)的收集和整理在當今

社會起到了舉足輕重的作用，它用統(tǒng)計的方法來幫助人們分析以往的經(jīng)驗數(shù)

據(jù)，進而指導人們接下來的行動.某支足球隊的主教練打算從預(yù)備球員甲、乙兩

人中選一人為正式球員，他收集了甲、乙兩名球員近期5場比賽的傳球成功次

數(shù)，如下表：

場次第一場第二場第三場第四場第五場

甲283336384s

第19頁共46頁

|乙3931433933

(1)根據(jù)這兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù)，完成莖葉圖(莖表示十

位,葉表示個位);

分別在平面直角坐標系中畫出兩名球員的傳球成功次數(shù)的散點圖；

(2J求出甲、乙兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù)的平均值和方差；

(3)主教練根據(jù)球員每場比賽的傳球成功次數(shù)分析出球員在場上的積極程度

和技術(shù)水平，同時根據(jù)多場比賽的數(shù)據(jù)也可以分析出球員的狀態(tài)和潛力.你認為

主教練應(yīng)選哪位球員?并說明理由。

4.2.2.熱點二線性回歸分析

【例2】改革開放以來，我國經(jīng)濟持續(xù)高速增長.如圖給出了我國2003年

至2012年第二產(chǎn)業(yè)增加值與第一產(chǎn)業(yè)增加值的差值(以下簡稱為：產(chǎn)業(yè)差值)

的折線圖，記產(chǎn)業(yè)差值為y(單位：萬億元)。

1234S67S910年

注：年份代碼1一10分別對應(yīng)年份2003—2012

(1)求出y關(guān)于年份代碼t的線性回歸方程；

(2)利用(1)中的回歸方程，分析2003年至2012年我國產(chǎn)業(yè)差值的變化情

況，并預(yù)測我國產(chǎn)業(yè)差值在哪一年約為34萬億元；

第20頁共46頁

(3)結(jié)合折線圖，試求出除去2007年產(chǎn)業(yè)差值后剩余的9年產(chǎn)業(yè)差值的平

均值及方差(結(jié)果精確到0.1)o

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b=

.￡(ti-t)(yj-y)A_A_

三%------,a=y-bto

9年

樣本方差公式：s2=-￡(yi-y)2o

ni=l

1ioioio

參考數(shù)據(jù)：9=^Eyi=10.8,X(ti-t)(yi-y)=132,2(孫靖=211.6。

10i=li=li=l

解題心得線性回歸分析問題的類型及解題方法

1.求回歸直線方程：

總局會大計/9日從若：

零出統(tǒng)■國自力*x二

2.對變量值預(yù)測：

(1)若已知回歸直線方程(方程中無參數(shù))，進而預(yù)測時，可以直接將數(shù)值代

入求得特定要求下的預(yù)測值；

(2)若回歸直線方程中有參數(shù)，則根據(jù)回歸直線一定經(jīng)過點區(qū)已，求出參

數(shù)值，得到回歸直線方程，進而完成預(yù)測。

【對點訓練2】(2020河北石家莊模擬，19)下表是我國大陸地區(qū)從2013

年至2019年國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)近似值(單位：萬億元人民幣)的數(shù)據(jù)表格：

年份2013201420152016201720182019

年份

1234567

代號X

中國大陸

地區(qū)GDP：y

(單位：萬億59.364.168.674.082.190.099.1

元

人民幣)

以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，若以y=blx+al為回歸方程，則相關(guān)指

數(shù)R汰0.9808；

第21頁共46頁

若以y=a2+b21nx為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)R為0.8457。

(1)判斷y=blx+al與y=a2+b21nx哪一個更適宜作為國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)近

似值y關(guān)于年份代號x的回歸方程，并說明理由；

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出v關(guān)于年份代號x的回歸方程(系

數(shù)精確到0.01);

(3)黨的十九大報告中指出：從2020年到2035年，在全面建成小康社會

的基礎(chǔ)上，再奮斗15年，基本實現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化.若到2035年底我國人口

增長為14.4億人，假設(shè)到2035年世界主要中等發(fā)達國家的人均國民生產(chǎn)總值

的頻率直方圖如圖所示。

以(2)的結(jié)論為依據(jù)，預(yù)測我國在2035年底人均國民生產(chǎn)總值是否可以超

過假設(shè)的2035年世界主要中等發(fā)達國家的人均國民生產(chǎn)總值平均數(shù)的估計

值。

77

參考數(shù)據(jù)：￡yi=537.2,￡xiyi=2333.5。

i=li=l

參考公式：回歸方程j=最+；中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

nn

A￡(Xi-50(Yi-y)￡XiVj-nxyAA

，=

b=------=n,2=y-bXo

￡(Xi-x)2Zx沁/

1=11=1

4.2.3.熱點三非線性回歸分析

【例3】(2020山東聊城二模，21)個人所得稅是國家對本國公民、居住在

本國境內(nèi)的個人的所得和境外個人來源于本國的所得征收的一種所得稅?我國在

1980年9月10日第五屆全國人民代表大會第三次會議通過并公布了《中華人

民共和國個人所得稅法》.公民依法誠信納稅是義務(wù)，更是責任.現(xiàn)將自2013年

至2017年的個人所得稅收入統(tǒng)計如下：

第22頁共46頁

年份201320142015