福建省廈門市英才學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁廈門英才學(xué)校中學(xué)部2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷（考試時間120分鐘；滿分150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集和補(bǔ)集運算求解.【詳解】由題意得，，所以.故選：A.2.下列函數(shù)中哪個與函數(shù)相等（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系是否一致判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為；對于A：函數(shù)的定義域為，定義域不相同，故A錯誤；對于B：函數(shù)的定義域為，定義域不相同，故B錯誤；對于C：函數(shù)的定義域為，且，定義域相同且對應(yīng)關(guān)系一致，故兩函數(shù)是相等函數(shù)，故C正確；對于D：函數(shù)的定義域為，但是，兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相等函數(shù)，故D錯誤.故選：C3.已知函數(shù)，則值為（）A. B.0 C.1 D.0或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.【詳解】因為，所以.

故選：B4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.【詳解】對于A：函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D：函數(shù)的定義域為，令，則，即為奇函數(shù)，又，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，所以在定義域上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D5.若“”是“”的充分條件，則的一個值可以是（）A.0 B.2 C.4 D.16【答案】B【解析】【分析】首先解方程，再根據(jù)充分條件的定義判斷即可.【詳解】由，解得，，又“”是“”的充分條件，所以或，結(jié)合選項可知只有B符合題意.故選：B6.已知命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題，為全稱量詞命題，其否定為：，.故選：C7.若，，且，恒成立，則實數(shù)m取值范圍是（）A. B.或C.或 D.【答案】A【解析】【分析】先由基本不等式求出的最小值，進(jìn)而列出關(guān)于的一元二次不等式，可求解.【詳解】因為，由基本不等得當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為8由題可知，即，解得，故選：A8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因為，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，不等式，即，等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列各式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算可得.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確.故選：CD10.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、D，利用特殊值判斷C.【詳解】對于A：因為，所以，故A錯誤；對于B：因為，所以，則，又，所以，故B正確；對于C：當(dāng)時，，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以，故D正確.故選：BD11.某同學(xué)在研究函數(shù)時，得出下面四個結(jié)論，基中正確的結(jié)論是（）A.等式在時恒成立B.方程有三個實數(shù)根C.若，則一定有D.函數(shù)的值域為【答案】AC【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，計算出，即可判斷A，令，求出方程的解，即可判斷B，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C，D.【詳解】對于A：函數(shù)的定義域為，且，所以等式在時恒成立，故A正確；對于B：令，即，解得，所以方程有且僅有一個實數(shù)根，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，則一定有，故C正確；對于D：當(dāng)時，；，；由A知：為奇函數(shù)，當(dāng)時，；的值域為，故D錯誤；故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)具體函數(shù)的定義域可得，解之即可求解.【詳解】由題意可得，得或，即函數(shù)的定義域為.故答案為：13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則___________．【答案】【解析】【分析】將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，求出的值，即可求出函數(shù)解析式，最后代入求值即可.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，即，解得，所以，則.

故答案為：14.在實數(shù)運算中，定義新運算“”，如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，.則函數(shù)(其中)的最大值是_________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)新定義，分別求出和兩種情況下，的表達(dá)式，進(jìn)而可求出的最大值.【詳解】由題意，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則.所以時，單調(diào)遞增，此時的最大值為.又因為，，所以時，的最大值為2.故答案為：2.【點睛】本題考查新定義，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步嗓．15.已知函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給與證明；（2）求函數(shù)，的最大值和最小值．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見解析（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值.【小問1詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)任意的且，則，因為且，所以，，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以，.16.已知全集，，．求：（1）和；（2）和．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得；（2）根據(jù)補(bǔ)集、并集定義計算可得.【小問1詳解】由，即，解得，所以，又，所以；【小問2詳解】因為全集，所以，.17.已知函數(shù)．（1）證明函數(shù)是偶函數(shù)；（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（直接寫出答案即可）．【答案】（1）證明見解析（2）圖象見解析（3）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可；（2）首先將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象畫出的圖象；（3）結(jié)合圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)；【小問2詳解】因為，又，對稱軸為，開口向上，頂點坐標(biāo)為；所以的圖象如下所示：【小問3詳解】由（2）中函數(shù)圖象可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為，0,1.18.某小型機(jī)械廠有工人共名，工人年薪4萬元/人，據(jù)悉該廠每年生產(chǎn)臺機(jī)器，除工人工資外，還需投入成本為(萬元)，且每臺機(jī)器售價為萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的機(jī)器能全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）問：年產(chǎn)量為多少臺時，該廠所獲利潤最大？【答案】（1）；（2）100臺時，850萬元【解析】【分析】（1）利用利潤等于銷售額減去成本可得利潤函數(shù).（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式可求利潤的最大值.【詳解】（1）依題意有.（2）當(dāng)時，此時時，取得最大值萬元；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取得最大值萬元．綜上可知當(dāng)年產(chǎn)量為100臺時，該廠在生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤為850萬元．【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，一般地，函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并利用常見函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)或基本不等式去求數(shù)學(xué)模型的最值.19.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）在上是減函數(shù)，理由見解析；（3）.【解析】