數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航一般形式的柯西不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航1．掌握三維形式和多維形式的柯西不等式．2．會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問題．1．三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1,b2，b3是實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2，1）＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2，3））(beq\o\al（2，1)＋beq\o\al（2，2）＋beq\o\al(2,3)）≥(a1b1＋a2b2＋a3b3）2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2,3)時(shí)等號(hào)成立．【做一做1－1】已知x，y，z＞0，且x＋y＋z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是（)A．1B．eq\f(1，3）C．eq\f(1,2）D．3解析:由柯西不等式得（x2＋y2＋z2）·(12＋12＋12）≥(x＋y＋z)2＝1?！鄕2＋y2＋z2≥eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,3）時(shí)，等號(hào)成立，即所求最小值為eq\f(1,3）。答案：B【做一做1－2】已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1,則eq\r（3a＋1)＋eq\r（3b＋1)＋eq\r(3c＋1)的最大值為（）A．3B．3eq\r(2)解析：由柯西不等式得：（eq\r(3a＋1）＋eq\r(3b＋1）＋eq\r(3c＋1)）2≤(1＋1＋1）(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝3[3(a＋b＋c)＋3］，又∵a＋b＋c＝1，∴（eq\r(3a＋1)＋eq\r(3b＋1)＋eq\r（3c＋1））2≤3×6＝18，∴eq\r（3a＋1）＋eq\r(3b＋1）＋eq\r(3c＋1）≤3eq\r（2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時(shí)等號(hào)成立．答案:B2．一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2,a3,…，an，b1，b2,b3,…，bn是實(shí)數(shù)，則（aeq\o\al（2，1)＋aeq\o\al(2，2）＋…＋aeq\o\al(2，n）)（beq\o\al（2，1）＋beq\o\al（2,2）＋…＋beq\o\al(2,n))≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0（i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n）時(shí)，等號(hào)成立．歸納總結(jié)盡可能地構(gòu)造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常數(shù)；②重新安排某些項(xiàng)的次序；③改變結(jié)構(gòu)；④添項(xiàng)．【做一做2】若a12＋a22＋…＋an2＝1,b12＋b22＋…＋bn2＝4,則a1b1＋a2b