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文檔簡介
2025屆湖南省衡陽市衡陽縣江山學(xué)校高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件2.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612423.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.5.若函數(shù)有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知函數(shù)(,,),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的部分圖象如圖所示,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B. C. D.9.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)滿足,則對應(yīng)的點位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.對于定義在上的函數(shù),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的,則錯誤的一個是()A.在上是減函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.不是函數(shù)的最小值 D.對于,都有12.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),且滿足,當(dāng)時,,則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為()A.9 B.10 C.18 D.20二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的系數(shù)為________________.14.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個零點,則的取值范圍是__________.15.若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切,則實數(shù)的最小值為___________.16.設(shè)函數(shù),若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線,為了分析兩條生產(chǎn)線的效果,先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值.該項指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計頻數(shù)2184814162100(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖,以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率,估計從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率;(2)現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線,根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)?若有90%把握,請從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好?甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計合格品不合格品合計附:,.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87918.(12分)已知正實數(shù)滿足.(1)求的最小值.(2)證明:19.(12分)如圖在棱錐中,為矩形,面,(1)在上是否存在一點,使面,若存在確定點位置,若不存在,請說明理由;(2)當(dāng)為中點時,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點,求實數(shù)a的取值范圍.21.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.22.(10分)在三角形中,角,,的對邊分別為,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
解出兩個不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因為集合,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.2、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。3、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
令,進而求得,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,恰當(dāng)?shù)挠靡粋€未知數(shù)來表示和是本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、A【解析】試題分析:由題意得有兩個不相等的實數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點【方法點睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點,再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號.(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相反.6、B【解析】
先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像,分段討論函數(shù)的零點情況:易知為的一個零點;對于當(dāng)時,由代入解析式解方程可求得零點,結(jié)合即可求得的范圍;對于當(dāng)時,結(jié)合導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,畫出函數(shù)圖像如下圖所示:函數(shù)的零點,即.由圖像可知,,所以是的一個零點,當(dāng)時,,若,則,即,所以,解得;當(dāng)時,,則,且若在時有一個零點,則,綜上可得,故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法,函數(shù)零點定義及應(yīng)用,根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,屬于中檔題.8、D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.9、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點:雙曲線方程.10、D【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計算、復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,即可得答案;【詳解】,對應(yīng)的點,對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系,進行判斷即可.【詳解】由得關(guān)于對稱,若關(guān)于對稱,則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的,故錯誤的可能是或者是,若錯誤,則在,上是減函數(shù),在在上是增函數(shù),則為函數(shù)的最小值,與矛盾,此時也錯誤,不滿足條件.故錯誤的是,故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.12、B【解析】
由已知可得函數(shù)f(x)的周期與對稱軸,函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點的個數(shù),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點的個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點的個數(shù),由f(x)=f(2﹣x),得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=1對稱,∵f(x)為偶函數(shù),取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函數(shù)周期為2.又∵當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,且f(x)為偶函數(shù),∴當(dāng)x∈[﹣1,0]時,f(x)=﹣x,g(x),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖:由圖可知,兩函數(shù)圖象共10個交點,即函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點的個數(shù)為10.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
在二項展開式的通項中令的指數(shù)為,求出參數(shù)值,然后代入通項可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項為,令,因此,的展開式中的系數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,涉及二項展開式通項的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個零點,∴方程f(x)?g(x)=0有四個解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個交點,,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結(jié)合圖象可知,<b<2,故答案為.點睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時,應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時,先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗,看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.15、【解析】
設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于,,因為,所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即,因為,所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即,因為存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切,所以,所以,令,設(shè),則,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,所以實數(shù)的最小值為.16、【解析】試題分析:由題意得函數(shù)在[2,上單調(diào)遞增,當(dāng)時在[2,上單調(diào)遞增;當(dāng)時在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,因此實數(shù)a的取值范圍是考點:函數(shù)單調(diào)性三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.0081(2)見解析,保留乙生產(chǎn)線較好.【解析】
(1)先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率,“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件,恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進行5次獨立重復(fù)試驗,恰好發(fā)生2次的概率用二項分布概率即可解決.(2)獨立性檢驗算出的觀測值即可判斷.【詳解】(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖,樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為:.設(shè)“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品”為事件,事件發(fā)生的概率為,則由樣本可估計.那么“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件,恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進行5次獨立重復(fù)試驗,事件恰好發(fā)生2次,其概率為:.(2)列聯(lián)表:甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計合格品9096186不合格品10414合計100100200的觀測值,∵,,∴有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān).由(1)知甲生產(chǎn)線的合格率為0.9,乙生產(chǎn)線的合格率為,∵,∴保留乙生產(chǎn)線較好.【點睛】此題考查獨立重復(fù)性檢驗二項分布概率,獨立性檢驗等知識點,認(rèn)準(zhǔn)特征代入公式即可,屬于較易題目.18、(1);(2)見解析【解析】
(1)利用乘“1”法,結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,證明即可.【詳解】(1)因為,所以因為,所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立),所以(2)證明:因為,所以故(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立)【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了乘“1”法的技巧,考查了推理論證能力,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)要證明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需滿足即可,從而得到點E為中點;(2)求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.【詳解】(1)法一:要證明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在點E為PC中點.法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-XYZ,由題意知PD=CD=1,,設(shè),,,由,得,即存在點E為PC中點.(2)由(1)知,,,,,,設(shè)面ADE的法向量為,面PAE的法向量為由的法向量為得,得,同理求得所以,故所求二面角P-AE-D的余弦值為.【點睛】本題考查二面角的平面角的求法,考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查空間想象能力以及計算能力.20、(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)由題可得,結(jié)合的范圍判斷
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