第03講 復(fù)數(shù)（原卷版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講復(fù)數(shù)（9類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2024年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的模無2023年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無2023年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無2022年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無2022年新Ⅱ卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2021年新I卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)無2021年新Ⅱ卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無2020年新I卷，第1題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2020年新Ⅱ卷，第2題，5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復(fù)數(shù)分類，需要關(guān)注復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、及純虛數(shù)2.能正確計(jì)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長等問題，理解并掌握共軛復(fù)數(shù)3.熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、模長運(yùn)算、幾何意義，題型較為簡單。知識講解1．復(fù)數(shù)的定義我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做，滿足，虛數(shù)單位的周期為．2．復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的與．3．對于復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)；為虛數(shù)；為純虛數(shù)；為非純虛數(shù).即復(fù)數(shù)4．在復(fù)數(shù)集中任取兩個數(shù)，，規(guī)定與相等當(dāng)且僅當(dāng)，即復(fù)數(shù)相等：?.5．共軛復(fù)數(shù)（1）定義：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．（2）表示方法：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，那么．6．復(fù)數(shù)的幾何意義為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)說成點(diǎn)或說成向量，并且規(guī)定，的向量表示同一個復(fù)數(shù).7．復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做，x軸叫做，y軸叫做．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．8．復(fù)數(shù)的模向量的模稱為復(fù)數(shù)的模或絕對值，記作或．即，其中．如果，那么是一個實(shí)數(shù)a，它的模就等于．9．復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則設(shè)，則，．10．復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律對任意，有（1）交換律：．（2）結(jié)合律：．11．復(fù)數(shù)的乘法（1）復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積．（2）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對于任意，有交換律結(jié)合律乘法對加法的分配律12．設(shè)的三角形式分別是，那么，=.這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.簡記為：模相乘，輻角相加.13．設(shè)的三角形式分別是，且，那么，.這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡記為：模相除，輻角相減.考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1．（2024·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B．1 C．-1 D．22．（2023·全國·高考真題）（

）A． B．1 C． D．1．（2024·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則的實(shí)部是（

）A． B．i C．0 D．12．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（

）A． B．1 C．3 D．1．（2024·重慶·三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B． C．3 D．2．（2024·陜西·二模）復(fù)數(shù)的實(shí)部為（

）A．1 B．3 C． D．3．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．2考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等1．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．22．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．1．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，，滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B．C． D．3．（2024·河北保定·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查1．（2024·河北·二模）已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．22．（2024·河南·三模）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．1．（2024·遼寧大連·二模）設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C． D．2考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義1．（2023·全國·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2021·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024·山西·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．1．（2024·山東·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·江西·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．3．（2024·江西·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)的模長及與模相關(guān)的軌跡問題1．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．22．（2023·全國·高考真題）（

）A．1 B．2 C． D．53．（2024·廣東揭陽·二模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，且，則（

）A． B．C． D．1．（2024·福建南平·二模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．22．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．253．（2024·遼寧·二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．3考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)的三角形式1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)是以軸的非負(fù)半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復(fù)數(shù)的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，，例如：，，復(fù)數(shù)滿足：，則可能取值為（

）A． B．C． D．2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．02．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2022 B．2023 C． D．考點(diǎn)八、歐拉公式1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，和聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.則（

）A． B．0 C．1 D．2．（2022·重慶北碚·模擬預(yù)測）歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，（

）A． B． C． D．1．（2023·云南昆明·一模）歐拉公式：將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地位，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知，則在下列表達(dá)式中表示的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)多選題1．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則或 D．若且，則2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最小值為3 D．的最小值為31．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分條件 D．“”是“”的充分不必要條件3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知方程的兩個復(fù)數(shù)根分別為，則（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．2．（2024·河北·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．3．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中是假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．6．（2024·山東泰安·二模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．2 C． D．1二、多選題7．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（為實(shí)數(shù)），若，則的值可能為（

）A． B． C．1 D．38．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）設(shè)為虛數(shù)單位，下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（

）A． B．若互為共軛復(fù)數(shù)，則C．若，則 D．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則三、填空題9．（2024·上?！と＃┰O(shè)（為虛數(shù)單位），若z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為．10．（2024·廣東·二模）設(shè)，為虛數(shù)單位，定義，則復(fù)數(shù)的模為．一、單選題1．（2024·河北保定·二模）復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．2．（2024·浙江杭州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024·江蘇南通·三模）已知為復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．（2024·廣東廣州·三模）當(dāng)時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．7．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)和滿足，則（

）A．1 B． C． D．2二、多選題8．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個復(fù)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若為實(shí)數(shù)，則C．若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù) D．若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)三、填空題9．（2024·湖南衡陽·三模）已知是關(guān)于的方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個根，則的值為.10．（2024·江西南昌·三模）已知復(fù)數(shù)，，那么.一、單選題1．（2024·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C．10 D．2．（2